Courbe de Lissajous

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Courbe de Lissajous

La courbe de Lissajous, aussi dénommée figure de Lissajous ou courbe de Bowditch, est la trajectoire d'un point dont les composantes rectangulaires ont un mouvement sinusoïdal.

Cette famille de courbes fut étudiée par Nathaniel Bowditch en 1815, puis plus en détail par Jules Lissajous en 1857.

Définition mathématique[modifier | modifier le code]

Courbe de Lissajous obtenue sur un oscilloscope

Une courbe de Lissajous peut être définie par l'équation paramétrique suivante :


et

Le nombre est appelé le paramètre de la courbe, et correspond au rapport des pulsations des deux mouvements sinusoïdaux. D'ailleurs, si ce rapport est rationnel, il peut être exprimé sous la forme et l'équation paramétrique de la courbe devient :



Propriétés[modifier | modifier le code]

  • Si n est irrationnel, la courbe est dense dans le rectangle [-a,a]×[-b,b].
  • Si n est rationnel,
    • la courbe est une courbe algébrique (unicursale) de degré 2q si pour p impair ou pour p pair.
    • la courbe est une portion de courbe algébrique de degré q si pour p impair ou pour p pair.
  • Si n est un entier pair et , ou si n est un entier impair et , la courbe est une portion de la courbe du n-ième polynôme de Tchebychev.

Cas particuliers[modifier | modifier le code]

  • si n=1, la courbe est une ellipse.
    • si a=b et , cette ellipse est un cercle
    • si , cette ellipse est un segment de droite
  • si a=b et n=q=2 (donc p=1), la courbe est une besace
    • si , cette besace est une portion de parabole
    • si , cette besace est une lemniscate de Gerono

Voici quelques exemples de tracés avec , p impair, q pair, |pq| = 1.

Liens avec d'autres courbes[modifier | modifier le code]

Les courbes de Lissajous sont des projections de couronnes sinusoïdales sur un plan parallèle à l'axe de symétrie.

Applications[modifier | modifier le code]

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  • Sur un oscilloscope analogique, le mode XY (Abscisse (composante horizontale) et Ordonnée (composante verticale)) permet notamment de mesurer un déphasage et une différence de fréquence entre deux signaux sinusoïdaux par la visualisation de courbes de Lissajous. Cette méthode est néanmoins peu précise.

Liens externes[modifier | modifier le code]

Sur les autres projets Wikimedia :

  • (en) Julio Castiñeira Merino: « Lissajous Figures and Chebyshev Polynomials », in: The college mathematics Journal [The mathematical association of America], voL 32, n° 2, March 2003, p.  122-127, Texte intégral.