Extremum

L'expression « élément extremum (pluriel extrema) » signifie « élément maximum » ou « élément minimum ».

Dans un ensemble ordonné E, un élément d'une partie A est le plus grand élément ou maximum de A, s'il appartient à A et est supérieur à tout autre élément de A. L'existence d'un maximum n'est en général pas assurée pour toute partie d'un ensemble ordonné. En revanche, sous condition d'existence, un tel élément est unique (ce qui justifie l'emploi de l'article défini « le » dans la définition). De manière analogue, le plus petit élément ou minimum est, s'il existe, un élément de A inférieur à tout autre élément de A.

Généralités

Unicité

Si une partie A de E admet deux maxima, m₁ et m₂, alors m₁ est plus grand que tout élément de A, donc en particulier que m₂ ; et de même, m₂ est plus grand que m₁. Par antisymétrie des relations d'ordre, l'égalité m₁ = m₂ s'en déduit.

Comparaison avec d'autres notions

D'autres notions relatives aux ensembles ordonnés sont proches de celles de maximum ; les comparer permet de mieux les appréhender :

• La notion de majorant : un élément de E est un majorant de A s'il est plus grand que tout élément de A. Ainsi, le maximum (s'il existe) fait partie des majorants ;
• La notion de borne supérieure : la borne supérieure de A est le plus petit de tous les majorants de A dans E (la borne supérieure de A est donc définie comme le minimum d'une certaine partie de E et son unicité est garantie mais pas son existence). A admet un maximum si et seulement si sa borne supérieure existe et appartient à A (et dans ce cas, elle est égale au maximum), ainsi que la notion associée de borne inférieure ;
• La notion d'élément maximal : un élément de A est maximal dans A, s'il appartient à A, et n'est inférieur à aucun autre élément de A. Un maximum est toujours un élément maximal, et les deux notions coïncident dans les ensembles munis d'un ordre total. De plus, lorsque E est fini, il y a équivalence entre l'existence d'un unique élément maximal, et l'existence d'un plus grand élément.

Vérifications

• Un élément m de E est le maximum de A si et seulement si m est la borne supérieure de A et m appartient à A : si A possède un maximum m alors dans E, les majorants de A sont exactement les majorants de m et m est le plus petit d'entre eux donc c'est la borne supérieure de A. Réciproquement, si la borne supérieure de A existe et appartient à A, alors c'est un majorant de A qui appartient à A, donc c'est le maximum de A.
• Le maximum, s'il existe, est maximal : si A possède un maximum m alors, pour tout élément a de A, m majore a donc (par antisymétrie de la relation d'ordre) ne lui est pas strictement inférieur, ce qui montre que m est bien maximal dans A.
• Si l'ordre est total, tout élément maximal est maximum : on suppose maintenant E muni d'un ordre total. Soit a un élément maximal de A. Soit b un autre élément de A. Alors a n'est pas inférieur à b donc, puisque l'ordre est total, b est inférieur à a. Donc a est bien supérieur ou égal à tout élément de A, donc c'est le maximum de A.

Exemples

Dans l'ensemble N des entiers naturels muni de son ordre usuel, toute partie non vide admet un plus petit élément et toute partie majorée (c'est-à-dire admettant un majorant) est finie donc admet même un maximum. Par exemple N lui-même a pour minimum 0 et n'a pas de maximum.

Dans l'ensemble R des nombres réels muni de son ordre usuel, certaines parties majorées n'admettent pas de plus grand élément, par exemple l'intervalle ]0, 1[ des nombres strictement compris entre 0 et 1.

Dans R, les fonctions minimum et maximum d'une paire peuvent s'exprimer à l'aide de valeurs absolues :

$\min {(x,y)}={\frac {x+y-|x-y|}{2}},\quad \max {(x,y)}={\frac {x+y+|x-y|}{2}}$.

Dans un ensemble ordonné muni d'un ordre non total, certaines parties admettent des éléments maximaux qui ne sont pas des maxima.

Par exemple dans l'ensemble E = {∅, {0}, {1}, {0, 1}} des parties de l'ensemble {0, 1}, ordonné par l'inclusion, la partie A = {∅, {0}, {1}} admet (un minimum et) deux éléments maximaux non comparables donc pas de maximum (seulement une borne supérieure : {0, 1}, qui n'appartient pas à A).

Les extrema de la fonction f (bleu) correspondent aux zéros de sa dérivée (rouge). Le maximum global de f est $\star$, son minimum global est ☐, un maximum local est ◇, un minimum local est +, un point d'inflexion est ╳.

Extrema d'une fonction

Le maximum d'une fonction f définie sur un ensemble E et à valeurs dans un ensemble F ordonné est le maximum de l'ensemble des valeurs prises par f (de la partie f(E) de F). Ainsi m est le maximum de f s'il existe un élément a de E tel que f(a) = m et tel que pour tout élément x de E, f(x) ≤ f(a) ; l'élément a (qui n'est pas nécessairement unique) est appelé point de maximum de f.

Dans le cas où l'espace de départ de f est muni d'une structure topologique (par exemple si f est une fonction d'une ou plusieurs variables réelles à valeurs réelles), on distingue deux types d'extrema : les extrema globaux, qui correspondent à la définition précédente, et les extrema locaux.

Extremum local d'une fonction

Soient f une fonction définie sur un espace topologique E et a un point de E. On dit que f atteint en a un maximum local s'il existe un voisinage V de a tel que pour tout élément x de V, on ait f(x) ≤ f(a).

On dit alors que f(a) est un « maximum local » de f sur E et que a est un point de maximum local de f.

Lorsqu'il existe un voisinage V de a tel que pour tout élément x de V différent de a, on ait f(x) < f(a), on dit que f atteint en a un maximum local strict.

Lorsque E est une partie d'un espace métrique (par exemple d'un espace vectoriel normé, comme R^k), les voisinages de a dans ces définitions peuvent être choisis égaux à des boules. Par exemple : f atteint en a un maximum local s'il existe un réel ε > 0 tel que pour tout élément x de E à distance < ε de a, on ait f(x) ≤ f(a).

Théorèmes topologiques d'existence d'extrema globaux

Soit une fonction $f:D\to \mathbb {R}$, où D est un espace topologique. Par exemple, D peut être une partie de R (cas d'une fonction d'une variable réelle), ou d'un espace R^k, avec k un entier naturel (cas d'une fonction de k variables réelles).

L'existence d'extrema globaux est assurée dès lors que la fonction f est continue et que la partie D est compacte : en effet, l'image f(D) est alors une partie compacte de l'espace d'arrivée R ; en tant que partie bornée de R, elle admet une borne supérieure, et cette borne supérieure est dans f(D) puisque cette partie est fermée.

En dimension k = 1, c'est en particulier le cas si I est un intervalle fermé borné, c'est-à-dire de la forme [a, b] (voir Théorème des bornes). En dimension supérieure k, c'est en particulier le cas si D est une boule fermée (de la forme $D=B(A,r)=\{X\in \mathbb {R} ^{k}\mid \|X-A\|\leq r\}$, où $\|~\|$ désigne une norme sur R^k).

Méthodes issues du calcul différentiel pour la recherche d'extrema locaux

Soit une fonction $f:U\to \mathbb {R}$, où U est un ouvert de R^k ; par exemple, dans le cas d'une variable réelle, U peut être un intervalle ouvert de la forme ]a, b[ (avec a et b des nombres réels, ou $a=-\infty$, ou $b=+\infty$).

L'étude des extrema passe souvent par la recherche des zéros de la dérivée, appelés points critiques (ou points stationnaires) de f. Un point critique n'est pas nécessairement un point d'extremum, comme le montre l'exemple de la fonction $f:\mathbb {R} \to \mathbb {R} ,\,x\mapsto x^{3}$ au point 0. On peut cependant, sous certaines hypothèses supplémentaires, affirmer qu'un point critique est un point d'extremum.

Cas d'une fonction d'une variable

Condition nécessaire pour un extremum local

Dans le cas d'une fonction dérivable f d'une seule variable, si f possède un extremum local en un point de l'ouvert de définition de f, alors la dérivée de f en ce point est nulle.

Condition suffisante pour un extremum local

Si f est dérivable sur l'ouvert U et si, en un point $a\in U$, la dérivée de f s'annule en changeant de signe, alors f atteint un extremum local en $a$. Plus précisément, en supposant $f\,'(a)=0$ :

S'il existe un réel $\alpha >0$ tel que $[a-\alpha ,\,a+\alpha ]\subset U$

et $f\,'\geq 0$ sur $[a-\alpha ,\,a]$, $f\,'\leq 0$ sur $[a,\,a+\alpha ]$,

alors f atteint un maximum local en $a$.

S'il existe un réel $\alpha >0$ tel que $[a-\alpha ,\,a+\alpha ]\subset U$

et $f\,'\leq 0$ sur $[a-\alpha ,\,a]$, $f\,'\geq 0$ sur $[a,\,a+\alpha ]$,

alors f atteint un minimum local en $a$.

Cas d'une fonction de plusieurs variables

Condition nécessaire pour un extremum local

Si la fonction f atteint un extremum local en un point a de U où elle est différentiable, alors toutes ses dérivées partielles s'annulent en a.

Condition suffisante pour un extremum local

On suppose que f est deux fois dérivable en un point $a$ de U. Sa matrice hessienne en $a$ est notée $\nabla ^{2}f(a)$, c'est-à-dire que $\nabla ^{2}f(a)_{i,j}={\frac {\partial ^{2}f}{\partial x_{i}\,\partial x_{j}}}(a)$ ; d'après le théorème de Schwarz, cette matrice est symétrique.

Si $\nabla f(a)=0$ et si $\nabla ^{2}f(a)$ est définie négative, alors f atteint un maximum local strict en $a$.

Si $\nabla f(a)=0$ et si $\nabla ^{2}f(a)$ est définie positive, alors f atteint un minimum local strict en $a$.

Cas d'une fonction de plusieurs variables avec contraintes

Les conditions d'optimalité de ces problèmes sont présentées dans « Conditions d'optimalité (dimension finie) ».