Élément maximal
En mathématiques, un élément est dit maximal dans un ensemble ordonné (voire préordonné) s'il n'existe aucun autre élément de cet ensemble qui lui soit supérieur. Il est dit minimal si aucun autre élément ne lui est inférieur. En particulier un maximum ou plus grand élément est un élément strictement supérieur à tous les autres, tandis qu’un minimum ou plus petit élément est strictement inférieur à tous les autres. Ces notions ne dépendent pas seulement de l’élément lui-même mais surtout de l’ensemble considéré.
Dans un ensemble totalement ordonné, un élément maximal est toujours le maximum, mais ce n’est pas toujours vrai dans un ensemble qui n’est que partiellement ordonné. En revanche, lorsqu’il existe un maximum, c’est toujours le seul élément maximal.
Le maximum et le minimum définissent les extrémités d’un segment dans ℝ, tandis qu’un intervalle ouvert de la forme n’a ni maximum, ni minimum.
![{\displaystyle [a,b]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9c4b788fc5c637e26ee98b45f89a5c08c85f7935)
![{\displaystyle ]a,b[}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7b51ec208e9582e11a4f340a42d4f17fb4748fcb)
La recherche des éléments maximaux ou minimaux est l’objectif du domaine de l’optimisation.
En analyse, on dit qu’une fonction numérique f admet un maximum global en un point a si f(a) est le maximum de l’ensemble image de f. On définit également la notion de maximum local lorsque la valeur f(a) est le maximum de la restriction de f à un voisinage de a.
Définition
[modifier | modifier le code]On dit que a est dit élément maximal d'un ensemble préordonné (E, ≤) si a est un élément de E tel que[1] :
De même, a est un élément minimal de E si :
Propriétés
[modifier | modifier le code]Pour tout élément maximal a de E, on a les équivalences et l'implication (stricte) :
Si l'ordre est total, les notions d'élément maximal et de plus grand élément sont confondues (de même pour élément minimal et plus petit élément).
Exemples
[modifier | modifier le code]- L'ensemble des parties d'un ensemble E, muni de la relation d'inclusion, admet pour minimum l’ensemble vide et pour maximum l’ensemble E.
Le sous-ensemble des parties non vides de E a pour éléments minimaux les singletons de E. Il n’a donc pas de minimum dès lors que E contient au moins deux éléments. Par passage au complémentaire, l’ensemble des parties propres de E (c’est-à-dire différentes de l'ensemble E lui-même) a pour éléments maximaux toutes les parties de la forme E\{a} pour a ∈ E. - L'ensemble des entiers naturels muni de l'ordre usuel admet 0 comme minimum mais n'a pas d'élément maximal. En revanche, pour la relation de divisibilité, le minimum est 1 et le maximum est 0.
- L'ensemble des suites finies de 0 et de 1, muni de l'ordre préfixe, (u0, …, un) ≤ (v0, …, vp) quand n ≤ p et pour tout i ≤ n, ui = vi, est un ordre partiel qui n'a pas d'éléments maximaux, et la suite vide pour plus petit élément.
- Un arbre muni de la relation « est un ancêtre de » a pour éléments maximaux toutes ses feuilles (il n'en existe pas forcément, les branches pouvant être infinies).
Applications
[modifier | modifier le code]- En arithmétique, l’ensemble des diviseurs communs à deux entiers admet un plus grand élément (pour la relation de divisibilité) appelé PGCD. L’ensemble des multiples communs à deux entiers admet un plus petit élément pour la divisibilité, qui est appelé PPCM.
- En statistique, le maximum et le minimum sont des indicateurs de position pour une série quantitative ou ordinale, et permettent de calculer l’étendue.
- En algèbre, les idéaux maximaux le sont pour l’inclusion parmi les idéaux propres dans un anneau commutatif, et sont caractérisés par le fait que le quotient de l’anneau par cet idéal forme un corps.
- En algèbre linéaire, une famille libre maximale est une base.
- En théorie des jeux, l’algorithme minimax consiste à minimiser la perte maximale dans un jeu à deux joueurs, à somme nulle et à information complète.
- En théorie des ensembles, le lemme de Zorn stipule que si toute chaine d’un ensemble ordonné est majorée dans cet ensemble, alors l’ensemble possède au moins un élément maximal.
Notes et références
[modifier | modifier le code]- ↑ N. Bourbaki, Éléments de mathématique : Théorie des ensembles [détail de l’édition], III.8 Définition 3
Voir aussi
[modifier | modifier le code]Articles connexes
[modifier | modifier le code]Liens externes
[modifier | modifier le code]- (en) Eric W. Weisstein, « Maximal Element », sur MathWorld
