Théorème de Schwarz

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Le théorème de Schwarz[1] est un théorème d'analyse portant sur les dérivées partielles secondes d'une fonction de plusieurs variables. Il apparaît pour la première fois dans un cours de calcul différentiel donné par Weierstrass en 1861 auquel assistait alors Hermann Schwarz à Berlin.

Énoncé[modifier | modifier le code]

Théorème de Schwarz[2] —  Soient E et F deux espaces vectoriels normés, U un ouvert de E, et f : UF une application deux fois dérivable[3] en un point a de U. Alors, l'application bilinéaire d2fa : E×EF est symétrique.

Corollaire — Soit f une fonction à valeurs réelles définie sur un ouvert de n. Si f est deux fois dérivable en un point, alors sa matrice hessienne en ce point est symétrique[4].

La symétrie de la hessienne signifie que le résultat d'une dérivation partielle à l'ordre 2 par rapport à deux variables ne dépend pas de l'ordre dans lequel se fait la dérivation par rapport à ces deux variables :

Un contre-exemple[modifier | modifier le code]

Le résultat ci-dessus peut tomber en défaut lorsque les hypothèses ne sont pas vérifiées. Un premier contre-exemple, assez compliqué, a été donné par Schwarz lui-même en 1873. Un deuxième contre-exemple, plus simple, est proposé par Peano en 1884[5] :

La fonction f ne possède pas de dérivée seconde en (0, 0).

Considérons la fonction :

Ses dérivées partielles premières sont :

et

de sorte que

Application aux formes différentielles[modifier | modifier le code]

Considérons, en dimension 2, la 1-forme différentielle exacte suivante, où f est de classe C2 :

Alors,

En appliquant le théorème de Clairaut-Schwarz, on en déduit :

Ceci est donc une condition nécessaire d'exactitude de la forme différentielle. Une forme différentielle vérifiant cette condition nécessaire est dite fermée.

Plus généralement, en dimension n :

toute forme exacte de classe C1 est fermée,

ce qui, dans le cas particulier d'une 1-forme ω, s'écrit :

Notes et références[modifier | modifier le code]

  1. En France, il est parfois appelé théorème de Clairaut. Cf. James Stewart, Analyse. Concepts et contextes, vol. 2 : Fonctions de plusieurs variables, De Boeck, (ISBN 978-2-80415031-0, lire en ligne), p. 764.
  2. Sylvie Benzoni-Gavage, Calcul différentiel et équations différentielles : cours et exercices corrigés, Dunod, , 2e éd. (lire en ligne), p. 72.
  3. Le théorème est souvent énoncé et démontré sous l'hypothèse plus restrictive que f est de classe C2 sur U.
  4. Henri Cartan, Cours de calcul différentiel, Hermann, 1967, rééd. 1977, p. 65-69.
  5. Ernst Hairer (en) et Gerhard Wanner (trad. de l'anglais), L'analyse au fil de l'histoire [« Analysis by Its History »], Springer, (1re éd. 1996) (lire en ligne), p. 316-317.

Article connexe[modifier | modifier le code]

Lemme de Poincaré