Cône tangent

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En analyse convexe, le cône tangent au sens de Bouligand, ou cône contingent[1], est une certaine approximation au premier ordre d'un ensemble en un point, comme l'application dérivée d'une fonction est son approximation au premier ordre en un point. Cette notion est par exemple utilisée pour établir les conditions d'optimalité du premier ordre des problèmes d'optimisation de dimension finie.

Notations[modifier | modifier le code]

Dans tout cet article, désigne un espace vectoriel réeltopologique si nécessaire (si est de dimension finie, on le suppose muni de sa topologie usuelle) — une partie non vide de et un point de . On note :

  • , pour tout (lorsque , on utilise la notation simplifiée ). est donc un cône si .
  • l'adhérence de  ;
  • son enveloppe affine, son intérieur relatif et sa frontière relative ;
  • si est un sous-espace affine : sa direction.

On note en outre :

Cône des directions admissibles[modifier | modifier le code]

Le cône des directions admissibles, ou cône radial[2] de en , noté , est défini par

pour tout réel petit

Ce cône est donc vide si , et égal à tout entier dès que est une partie absorbante de ce sous-espace.

Cône tangent[modifier | modifier le code]

Comme pour le calcul de la dérivée d'une fonction, la définition des directions tangentes qui sont les éléments du cône tangent requiert un passage à la limite. Il n'est pas satisfaisant en effet de prendre le cône des directions admissibles comme cône tangent à en . Par exemple, le cône des directions admissibles à un cercle de est vide en tout point, si bien que l'on ne retrouve pas, avec cette notion, celle des directions tangentes qui nous est familière. Une possibilité est de s'y prendre comme suit.

Direction tangente et cône tangent, au sens de Bouligand[3] — Le cône tangent, ou ensemble des directions tangentes (au sens de Bouligand) à en , noté (ou parfois )[4], est défini par :

.

Il résulte de cette définition que  :

  • est un cône fermé inclus dans l'adhérence de  ;
  • est égal à cette adhérence dès que (puisque ) ;
  • est vide si (donc n'a d'intérêt que si ) ;
  • est inchangé lorsqu'on remplace par  ;
  • commute aux réunions finies, c'est-à-dire : (pour toute partie de ) ;
  • est donc une fonction croissante de , c'est-à-dire : ,ce qui s'écrit aussi, par exemple : (pour toute famille non vide[5] de parties de ).

Lorsque est à bases dénombrables de voisinages, par exemple lorsque c'est un espace vectoriel normé, l'adhérence d'une partie de se réduit à sa fermeture séquentielle, et la définition du cône tangent se traduit alors par :

s'il existe des suites et telles que

ou encore, s'il existe des suites et telles que

Autrement dit, s'il existe une suite de vecteurs convergeant vers , telle que rencontre en des points de plus en plus proches de lorsque .

Cône normal[modifier | modifier le code]

Pour définir le cône normal, on a besoin d'un produit scalaire sur . On suppose donc que est un espace préhilbertien et l'on note son produit scalaire.

Vecteur normal, cône normal — Le cône normal, ou ensemble des vecteurs normaux à en , noté , est le cône dual négatif du cône tangent :  :

Par conséquent, est un cône convexe fermé.

Exemple
Soit le cône (non convexe) . Alors, donc .

Cas d'un convexe[modifier | modifier le code]

Dans le cas où l'ensemble est convexe, le calcul du cône tangent et du cône normal se simplifient.

Cônes tangent et normal à un convexe — Dans un espace vectoriel topologique , soit un point de l'adhérence d'un convexe . Alors :

  •  ;
  • et , en supposant que est préhilbertien.

Transport affine des cônes tangent et normal à un convexe : image directe — Soient et deux espaces vectoriels topologiques, une application affine continue ( est linéaire continue et ), et un point de l'adhérence d'un convexe .

  1.  ;
  2. , en supposant que est hilbertien et préhilbertien, et en notant l'adjoint de .

Cas d'un convexe en dimension finie[modifier | modifier le code]

En dimension finie, grâce à l'existence d'hyperplans d'appui, on déduit de l'expression ci-dessus de  :

Vecteur non nul normal à un convexe — Dans un espace euclidien, soit un point de la frontière relative d'un convexe . Alors, contient un vecteur non nul.

Cette section semble contenir un travail inédit ou des déclarations non vérifiées (février 2017). Vous pouvez aider en ajoutant des références.

Le transport affine par image réciproque est moins classique que celui (ci-dessus) par image directe, et nécessite plus de précautions :

Transport affine des cônes tangent et normal à un convexe : image réciproque[réf. nécessaire] — Soient et deux espaces euclidiens[6], une application affine, l'adjoint de , un convexe, et .

  1. . En particulier, l'ensemble est fermé ;
  2. .

Exemples[modifier | modifier le code]

Polyèdre convexe[modifier | modifier le code]

Soit un polyèdre convexe de , que l'on suppose donné comme une intersection d'un nombre fini de demi-espaces :

,

est une matrice de type , et l'inégalité est entendue composante par composante : pour tout . On note pour un point  :

.

Alors les cônes tangent et normal en s'écrivent

,

est le vecteur formé par la ligne de et «  » désigne l'opérateur qui prend l'enveloppe conique d'un ensemble (le plus petit cône convexe pointé contenant l'ensemble). Pour l'écriture du cône normal, on a supposé que était muni du produit scalaire euclidien.

Cône convexe fermé[modifier | modifier le code]

Soient un cône convexe fermé d'un espace euclidien[7] et . Alors,

,

en particulier, et .

Remarquons que n'est pas toujours fermé (donc l'image d'un cône convexe fermé par l'application linéaire n'est pas toujours fermée). Par exemple, dans l'espace des matrices symétriques réelles d'ordre , muni du produit scalaire usuel ( désigne la trace), soit le cône (autodual) de celles qui sont positives. Les cônes normal et tangent à en s'écrivent

Ainsi pour , et .

Qualification de contraintes[modifier | modifier le code]

Article détaillé : Qualification de contraintes.

Un ensemble peut être représenté au moyen de fonctions. Par exemple, on peut utiliser des contraintes d'égalité et d'inégalité comme ci-dessous

où les contraintes d'égalité sont définies au moyen de la fonction et les contraintes d'inégalité sont définies au moyen de la fonction . L'inégalité vectorielle doit ici être entendue composante par composante. On note l'ensemble des indices des contraintes d'égalité, qui s'écrivent donc aussi pour tout indice . De même pour l'ensemble des contraintes d'inégalité.

Se pose alors la question de savoir calculer le cône tangent en un point à partir des dérivées premières des fonctions et en .

Il est naturel de s'intéresser à l'expression suivante obtenue en linéarisant les fonctions et en  :

où l'on a noté

On peut montrer que, sous des hypothèses raisonnables, on a toujours

On aimerait avoir égalité pour pouvoir calculer le cône tangent par une formule explicite, mais cette égalité n'est pas toujours vérifiée. On dit que les contraintes (on devrait dire les fonctions définissant les contraintes) et sont qualifiées en si Comme ne dépend que de l'ensemble , pas des fonctions et , il s'agit d'une notion assurant que la représentation de par et convient.

Annexes[modifier | modifier le code]

Notes et références[modifier | modifier le code]

  1. G. Bouligand, Introduction à la géométrie infinitésimale directe, Paris, Gauthier-Villars, 1932.
  2. Bonnans et Shapiro 2000, p. 44. Pour de nombreuses autres dénominations, voir Khan, Tammer et Zălinescu 2015, p. 111.
  3. Bonnans et Shapiro 2000, p. 40 et 44.
  4. En géométrie différentielle, l'espace tangent est noté .
  5. En dimension finie, pour avoir l'égalité, on se sert de conditions de qualification des , un enjeu important dans l'écriture des conditions d'optimalité en optimisation.
  6. Dans l'expression du cône tangent (point 2), les produits scalaires (sur E et F de dimensions finies) sont un outil de calcul mais n'interviennent pas dans le résultat.
  7. Hiriart-Urruty et Lemaréchal 1993, p. 137, Examples 5.2.6 (a).

Bibliographie[modifier | modifier le code]

  • (en) J. F. Bonnans et A. Shapiro, Perturbation Analysis of Optimization Problems, New York, Springer, (lire en ligne)
  • J.-B. Hiriart-Urruty, Optimisation et analyse convexe, EDP Sciences, (1re éd. 1998, PUF) (lire en ligne)
  • (en) J.-B. Hiriart-Urruty et C. Lemaréchal, Convex Analysis and Minimization Algorithms, vol. 1, Springer, coll. « Grund. math. Wiss. » (no 305), (lire en ligne), p. 133-142
  • (en) J.-B. Hiriart-Urruty et C. Lemaréchal, Fundamentals of Convex Analysis, Springer, (1re éd. 2001) (lire en ligne)
  • (en) Johannes Jahn, Introduction to the Theory of Nonlinear Optimization, Springer, , 3e éd. (1re éd. 1994), chap. 4 (« Tangent Cones »), p. 79-104
  • (en) Akhtar A. Khan, Christiane Tammer et Constantin Zălinescu, Set-valued Optimization: An Introduction with Applications, Springer, (lire en ligne)
  • (en) R. T. Rockafellar, « Lagrange Multipliers and Optimality », SIAM Review, vol. 35,‎ , p. 183-238 (lire en ligne)

Lien externe[modifier | modifier le code]

J. Ch. Gilbert, Éléments d'Optimisation Différentiable — Théorie et Algorithmes, syllabus de cours à l'ENSTA ParisTech, Paris