Cône dual

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En mathématiques, et plus précisément en analyse convexe, le cône dual d'une partie d'un espace euclidien est l'ensemble des vecteurs de qui font un angle plus petit que avec les vecteurs de . C'est un cône convexe fermé non vide.

Définitions[modifier | modifier le code]

Soit une partie non vide d'une espace euclidien , dont le produit scalaire est noté . Le cône dual de est l'ensemble défini par

Ce cône porte aussi parfois le nom de cône dual positif, tandis que son opposé

porte le nom de cône dual négatif (ou parfois cône polaire, bien que ce dernier renvoie aussi à un autre concept).

Le cône bidual de est le cône dual de son cône dual . On le note

On dit qu'un cône est autodual si

Un tel cône est nécessairement convexe et fermé (voir ci-dessous).

Notations[modifier | modifier le code]

Soit une partie non vide d'un espace vectoriel . On note

  • l'enveloppe convexe de ,
  • l'enveloppe convexe fermée de ,
  • l'intérieur relatif de ,
  • ou l'adhérence de .

Premières propriétés[modifier | modifier le code]

On peut voir comme une intersection de demi-espaces fermés de  :

On en déduit la propriété suivante.

Propriétés I — Soit une partie non vide de . Alors son cône dual est un cône convexe fermé non vide de .

On a aussi les propriétés suivantes.

Propriétés II — Soient un espace euclidien, , et des parties non vides de et une famille quelconque de parties non vides de . Alors

  1. et ,
  2. , , ,
  3. , en particulier ,
  4. si, et seulement si, est un cône convexe fermé,
  5. , avec égalité si ,
  6. .

Lemme de Farkas et conséquences[modifier | modifier le code]

Le lemme de Farkas a diverses interprétations (voir l'article Lemme de Farkas). Nous le voyons ici comme un moyen de calculer le cône dual d'un ensemble défini au moyen d'une application linéaire.

Un lemme de Farkas généralisé[modifier | modifier le code]

La notion de cône dual généralise celle de sous-espace vectoriel orthogonal, puisque si est un sous-espace vectoriel, . On connaît bien la relation

,

qui nous apprend ce qu'est le cône dual d'un ensemble défini par des équations linéaires homogènes (on a noté l'image d'une matrice et l'orthogonal du noyau de sa transposée). Une question naturelle est alors de se demander ce qu'est le cône dual d'un ensemble donné par des inégalités linéaires homogènes. La réponse à cette question sera un corollaire du résultat plus général suivant. Dans celui-ci, on note l'application linéaire adjointe de l'application linéaire et l'image du cône par .

Lemme de Farkas généralisé — Soient et deux espaces euclidiens, une application linéaire, un cône convexe non vide de et un cône convexe non vide de . Alors

On ne peut pas se passer de l'adhérence dans le membre de droite de l'identité car le cône convexe n'est pas nécessairement fermé (même si est un cône convexe fermé) alors que, en tant que cône dual, le cône du membre de droite est toujours fermé. Signalons toutefois que si et sont des cônes polyédriques (comme l'orthant positif d'un certain ), alors est aussi un cône polyédrique, donc un fermé ; dans ce cas, on peut ôter l'adhérence dans le membre de droite.

Observons que est l'intersection du cône convexe fermé et de l'image réciproque par l'application linéaire (continue) du cône convexe fermé  ; il s'agit donc d'un cône convexe fermé. Il est donc égal à son bidual. Dès lors, par le lemme de Farkas généralisé :

sans que l'on ait besoin de prendre d'adhérence à gauche.

Lemme de Farkas généralisé.

Le résultat de la proposition peut s'interpréter géométriquement comme suit. De manière à simplifier la présentation, supposons que et donc que . Alors le résultat devient

et signifie qu'un vecteur si, et seulement si, , ce qui revient à dire qu'il existe un vecteur tel que et . Cette propriété exprime donc le fait que l'hyperplan sépare strictement le singleton de l'adhérence du cône convexe . La démonstration de ce lemme généralisé peut d'ailleurs se faire par séparation stricte de ces deux derniers convexes (Hahn-Banach).

L'identité précédente permet de donner une condition nécessaire pour que le système linéaire ait une solution dans . Il faut en effet que et donc que

Si est fermé, cette condition sur et est aussi suffisante. Si n'est pas fermé, on peut trouver des conditions nécessaires et suffisantes pour que , qui renforcent l'expression ci-dessus, voir Lasserre (1997[1]). Lorsque est l'orthant positif de , est fermé et le résultat, exprimé sous une forme différente, est alors connu sous le nom de théorème de l'alternative (diverses variantes sont considérées dans l'article Théorèmes de l'alternative).

Corollaires[modifier | modifier le code]

Voici un premier corollaire, plus proche de la contribution originale de Farkas.

Corollaire 1 (Farkas) — Soient et deux matrices ayant le même nombre de lignes. Alors

désigne le cône dual pour le produit scalaire euclidien.

On retrouve l'identité lorsque et .

Le second corollaire concerne la polyédricité du cône dual.

Corollaire 2 (dual d'un polyèdre convexe) — Soit un polyèdre convexe d'un espace euclidien . Alors est un polyèdre convexe.

Le troisième corollaire donne une règle de calcul du cône dual d'une intersection.

Corollaire 3 (dual d'une intersection) — Si , , sont des cônes convexes fermés d'un espace euclidien , alors

On peut enlever l'adhérence si les sont polyédriques ou si .

On ne peut pas se passer de l'adhérence dans le résultat précédent, même si . Par exemple, dans , si , si est le cornet et si , alors (autodualité du cornet), , , , , alors que , n'est pas fermé.

Aspects topologiques[modifier | modifier le code]

Intérieur et intérieur relatif du cône dual — Soient un espace euclidien (produit scalaire et norme associés notés et respectivement), et le projecteur orthogonal sur le sous-espace vectoriel , qui est l'enveloppe affine du cône dual de . Alors

Décomposition de Moreau[modifier | modifier le code]

Clairement, si , on peut écrire

(composante par composante) et (composante par composante). On observe que est la projection orthogonale (pour le produit scalaire euclidien) de sur et que est la projection orthogonale (pour le produit scalaire euclidien) de sur (le cône dual négatif de ). La décomposition de Moreau[2] généralise l'identité pour des cônes différents de l'orthant positif .

Décomposition de Moreau — Soient un espace euclidien dont le produit scalaire est noté , un cône convexe fermé de et son cône dual négatif. On note et les projecteurs orthogonaux sur et respectivement. Alors, pour , et donnés dans , les propriétés suivantes sont équivalentes :

  1. , , et ,
  2. et .

La décomposition de en comme au point 1 ci-dessus est appelée la décomposition de Moreau de , correspondant au cône .

Annexes[modifier | modifier le code]

Notes[modifier | modifier le code]

  1. (en) J. B. Lasserre (1997). A Farkas lemma without a standard closure condition. SIAM Journal on Control and Optimization, 35, 265–272.
  2. J.-J. Moreau (1965). Proximité et dualité dans un espace hilbertien. Bulletin de la Société Mathématique de France, 93, 273–299.

Articles connexes[modifier | modifier le code]

Bibliographie[modifier | modifier le code]

  • (en) J.-B. Hiriart-Urruty, C. Lemaréchal (2001). Fundamentals of convex analysis. Springer-Verlag, Berlin.
  • (en) R.T. Rockafellar (1970). Convex Analysis. Princeton Mathematics Ser. 28. Princeton University Press, Princeton, New Jersey.