Sous-espace affine engendré

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En géométrie, dans un espace affine , le sous-espace affine engendré par une partie non vide , également dénommé l'enveloppe affine de , est le plus petit sous-espace affine de contenant .

Définition[modifier | modifier le code]

Dans un espace affine, l'intersection d'une famille (non vide) de sous-espaces affines est soit l'ensemble vide, soit un sous-espace affine[1] et l'espace lui-même est un sous-espace, ce qui justifie la définition suivante :

Soit un espace affine. Pour toute partie non vide de , il existe un plus petit sous-espace affine de contenant  : l'intersection de tous les sous-espaces affines de contenant [1].

On l'appelle le sous-espace affine engendré par , et on le note souvent [1] ou [2], ou encore [3].

Propriétés[modifier | modifier le code]

Soient et des espaces affines et , deux parties non vides de et une partie non vide de .

  • est égal à l'ensemble des barycentres des points de [4].
  • Si est une application affine alors [5].
  • (dans l'espace affine produit ).
  • et son enveloppe convexe engendrent le même sous-espace affine.
  • Pour tout point de , la direction de est le sous-espace vectoriel engendré (dans l'espace vectoriel associé à ) par .
  • est un opérateur de clôture : , , et .

Notes et références[modifier | modifier le code]

  1. a, b et c Dany-Jack Mercier, Cours de géométrie: préparation au CAPES et à l'agrégation, Publibook université, (lire en ligne), p. 33.
  2. Daniel Guinin et Bernard Joppin, Algèbre et géométrie PCSI, Bréal, (lire en ligne), p. 256.
  3. (en) R. Tyrrell Rockafellar, Convex Analysis, Princeton, New Jersey, Princeton University Press, coll. « Princeton Mathematical Series » (no 28), (lire en ligne), p. 6 (se limite au cas ).
  4. Mercier 2005, p. 37.
  5. Mercier 2005, p. 49.