Système quater-imaginaire

Le système de numération quater-imaginaire fut proposé en premier par Donald Knuth en 1955, lors d'une soumission à une recherche de talent scientifique au lycée. C'est un système positionnel non standard (en) car à base complexe (en), qui utilise comme base le nombre imaginaire pur 2i. Il peut représenter chaque nombre complexe en utilisant seulement les chiffres 0, 1, 2 et 3 (les réels négatifs, dont la représentation dans un système standard utilise le signe moins, sont représentables en quater-imaginaire par une simple suite de chiffres).

Puissances de 2i

n	−8	−7	−6	−5	−4	−3	−2	−1	0	1	2	3	4	5	6	7	8
(2i)n	1/256	i/128	−1/64	−i/32	1/16	i/8	−1/4	−i/2	1	2i	−4	−8i	16	32i	−64	−128i	256

Du système décimal vers le système quater-imaginaire

Base 10 Base 2i 1 1 2 2 3 3 4 10300 5 10301 6 10302 7 10303 8 10200 9 10201 10 10202 11 10203 12 10100 13 10101 14 10102 15 10103 16 10000

Base 10 Base 2i –1 103 −2 102 −3 101 −4 100 −5 203 −6 202 −7 201 −8 200 −9 303 −10 302 −11 301 −12 300 −13 1030003 −14 1030002 −15 1030001 −16 1030000

Base 10 Base 2i i 10,2 2i 10   3i 20,2 4i 20   5i 30,2 6i 30   7i 103000,2 8i 103000   9i 103010,2 10i 103010   11i 103020,2 12i 103020   13i 103030,2 14i 103030   15i 102000,2 16i 102000

Base 10 Base 2i −i 0,2 −2i 1030   −3i 1030,2 −4i 1020   −5i 1020,2 −6i 1010   −7i 1010,2 −8i 1000   −9i 1000,2 −10i 2030   −11i 2030,2 −12i 2020   −13i 2020,2 −14i 2010   −15i 2010,2 −16i 2000

Exemples

• Deux exemples d'entiers :

$-31_{10}=d_{0}+d_{2}(2{\rm {i}})^{2}+d_{4}(2{\rm {i}})^{4}+d_{6}(2{\rm {i}})^{6}+\dots =d_{0}-4d_{2}+16d_{4}-64d_{6}+\dots \Leftrightarrow$

$d_{0}=1,\quad 8_{10}=d_{2}-4d_{4}+16d_{6}-\dots \Leftrightarrow$

$d_{0}=1,\quad d_{2}=0,\quad -2_{10}=d_{4}-4d_{6}+\dots \Leftrightarrow$

$d_{0}=1,\quad d_{2}=0,\quad d_{4}=2,\quad d_{6}=1,\quad d_{8}=\dots =0$

donc

$-31_{10}=1020001_{2{\rm {i}}}.$

De même, $15_{10}=10103_{2{\rm {i}}}.$

• La conversion d'un nombre dyadique se ramène à celle d'un entier :

${\frac {31}{4}}=-31(2{\rm {i}})^{-2}=10200{,}01_{2{\rm {i}}}.$

• La conversion du produit par i d'un nombre dyadique aussi :

$-{\frac {15{\rm {i}}}{2}}=15(2{\rm {i}})^{-1}=1010{,}3_{2{\rm {i}}}.$

• La partie réelle et la partie imaginaire s'additionnent :

${\frac {31}{4}}-{\frac {15}{2}}{\rm {i}}=10200{,}01_{2{\rm {i}}}+1010{,}3_{2{\rm {i}}}=11210{,}31_{2{\rm {i}}}.$

Notes et références

(en) Cet article est partiellement ou en totalité issu de l’article de Wikipédia en anglais intitulé « Quater-imaginary base » (voir la liste des auteurs).

Voir aussi

Liens externes

• (en) D. Knuth, The Art of Computer Programming, vol. 2, 3^e éd., Addison-Wesley, p. 205, « Positional Number Systems »