Système quater-imaginaire

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Le système de numération quater-imaginaire fut proposé en premier par Donald Knuth en 1955, lors d'une soumission à une recherche de talent scientifique au lycée. C'est un système de numération positionnel non-standard qui utilise le nombre imaginaire 2i\, pour base. Par analogie avec le système de numération quaternaire, il est capable de représenter chaque nombre complexe en utilisant seulement les chiffres 0, 1, 2 et 3, sans un signe.

Puissances de 2i[modifier | modifier le code]

n (2i)^n
−8 1/256
−7 1/128 i
−6 −1/64
−5 −1/32 i
−4 1/16
−3 1/8 i
−2 −1/4
−1 −1/2 i
0 1
1 2i
2 −4
3 −8i
4 16
5 32i
6 −64
7 −128i
8 256

Du système décimal vers le système quater-imaginaire[modifier | modifier le code]

Base 10 Base 2i Base 10 Base 2i Base 10 Base 2i Base 10 Base 2i
1 1 −1 103 1i 10,2 −1i 0,2
2 2 −2 102 2i 10,0 −2i 1030,0
3 3 −3 101 3i 20,2 −3i 1030,2
4 10300 −4 100 4i 20,0 −4i 1020,0
5 10301 −5 203 5i 30,2 −5i 1020,2
6 10302 −6 202 6i 30,0 −6i 1010,0
7 10303 −7 201 7i 103000,2 −7i 1010,2
8 10200 −8 200 8i 103000,0 −8i 1000,0
9 10201 −9 303 9i 103010,2 −9i 1000,2
10 10202 −10 302 10i 103010,0 −10i 2030,0
11 10203 −11 301 11i 103020,2 −11i 2030,2
12 10100 −12 300 12i 103020,0 −12i 2020,0
13 10101 −13 1030003 13i 103030,2 −13i 2020,2
14 10102 −14 1030002 14i 103030,0 −14i 2010,0
15 10103 −15 1030001 15i 102000,2 −15i 2010,2
16 10000 −16 1030000 16i 102000,0 −16i 2000,0

Exemples[modifier | modifier le code]

5 = 16 + (3\cdot-4) + 1 = 10301_{2i}
i = 2i + 2\left(-\frac{1}{2}i\right) = 10,2_{2i}
\frac{31}{4} - \frac{15}{2}i = 1(16) + 1(-8i) + 2(-4) + 1(2i) + 3\left(-\frac{1}{2}i\right) + 1\left(-\frac{1}{4}\right) = 11210,31_{2i}

Références[modifier | modifier le code]

  • D. Knuth. The Art of Computer Programming. Volume 2, 3rd Édition. Addison-Wesley. p. 205, "Positional Number Systems"