Système sénaire

Un article de Wikipédia, l'encyclopédie libre.
Sauter à la navigation Sauter à la recherche

Un système sénaire est un système de numération de base six.

La notation sénaire positionnelle nécessite l'emploi de six chiffres. On utilise d'habitude les chiffres 0 à 5 du système décimal. On différencie alors les notations décimales des notations sénaires au moyen d'un indice 10 ou 6. Ainsi, 1456 = 6510.

Notation[modifier | modifier le code]

Numéro de puissance[modifier | modifier le code]

  • Sénaire : 10 = 2×3
  • Décimal : 10 = 2×5
  • Duodécimal : 10 = 22×3
puissance de six par la notation sénaire
Exponent Sénaire Equivalent en décimal Equivalent en duodécimal
1 10 6 6
2 100 62 = 36 62 =30
3 1 000 63 = 216 63 = 160
4 10 000 64 = 1 296 64 = 900
5 100 000 65 = 7 776 65 = 4 600
106 = 6 1 000 000 66 = 46 656 66 = 23 000
116 = 7 10 000 000 67 = 279 936 67 = 116 000
126 = 8 100 000 000 68 = 1 679 616 68 = 690 000
136 = 9 1 000 000 000 69 = 10 077 696 69 = 3 460 000
146 = 1010 10 000 000 000 610 = 60 466 176 6A = 18 300 000
156 = 1110 100 000 000 000 611 = 362 797 056 6B = A1 600 000
206 = 1210 1 000 000 000 000 612 = 2 176 782 336 610 = 509 000 000
-1 0.1 1/6 0.2
-2 0.01 1/36 0.04
-3 0.001 1/216 0.008
-4 0.0001 1/1296 0.0014

Passage du système sénaire au système décimal et réciproquement[modifier | modifier le code]

Du sénaire au décimal[modifier | modifier le code]

Voici les premiers nombres de 1 à 60 exprimés en notation positionnelle sénaire puis décimale.

Sénaire 1 2 3 4 5 10 11 12 13 14
Décimal 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
Sénaire 15 20 21 22 23 24 25 30 31 32
Décimal 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20
Sénaire 33 34 35 40 41 42 43 44 45 50
Décimal 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30
Sénaire 51 52 53 54 55 100 101 102 103 104
Décimal 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40
Sénaire 105 110 111 112 113 114 115 120 121 122
Décimal 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50
Sénaire 123 124 125 130 131 132 133 134 135 140
Décimal 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60
Décomposition de la notation
  • 810 = 126 = 1×6 + 2
  • 1010 = 146 = 1×6 + 4
  • 2710 = 436 = 4×6 + 3
  • 3610 = 1006 = 1×62
  • 5610 = 1326 = 1×62 + 3×61 + 2
  • 8110 = 2136 = 2×62 + 1×61 + 3
  • 10010 = 2446 = 2×62 + 4×61 + 4
  • 21610 = 10006 = 1×63
  • 100010 = 43446 = 4×63 + 3×62 + 4×61 + 4
  • 129610 = 100006 = 1×64
  • 194410 = 130006 = 1×64 + 3×63
  • 200010 = 131326 = 1×64 + 3×63 + 1×62 + 3×61 + 2
Exemples d'opérations arithmétiques
Décimal Sénaire
1944 + 56 = 2000 13000 + 132 = 13132
100 - 60 = 40 244 - 140 = 104
81×16 = 1296 213 × 24 = 10000
216 ÷ 27 = 8 1000 ÷ 43 = 12

Du décimal au sénaire[modifier | modifier le code]

Voici quelques points de repère.

Décimal 1 2 3 4 5 6 7 9 12 18 24 27 36
Sénaire 1 2 3 4 5 10 11 13 20 30 40 43 100
Décimal 42 72 108 144 216 324 432 648 777 972 1296 1944 2592
Sénaire 110 200 300 400 1000 1300 2000 3000 3333 4300 10000 13000 20000

Fractions et divisibilité[modifier | modifier le code]

Six est le produit de deux nombres premiers, à savoir 2 et 3. Il en résulte que certaines propriétés de la notation positionnelle sénaire rappellent celles de la notation positionnelle décimale.

Toutes les fractions dont le dénominateur ne connaît d'autre facteur premier que 2 et 3 s'expriment en sénaire avec un nombre fini de chiffres après la virgule (comparer avec le rôle de 2 et 5 en décimal). Six et dix sont seul nombre pair, un quart est exprimé en deux chiffres après la virgule. Ainsi, système sénaire et décimal, la position de 3 et 5 est inversée. (comparer avec le rôle de 2 et 5 en décimal).

Tous les nombres se terminant en sénaire par un chiffre représentant un multiple de 2 — soit 0, 2, 4 — sont divisibles par 2 et tous les nombres se terminant par un chiffre représentant un multiple de 3 — soit 0 et 3 — divisibles par 3 (de même qu'en décimal, tous les nombres se terminant par un chiffre représentant un multiple de 2 — soit 0, 2, 4, 6, 8  sont divisibles par 2 et tous les nombres se terminant par un multiple de 5 — soit 0 et 5 — divisibles par 5).

Un nombre premier autre que 2 ou 3 ne peut donc se terminer en sénaire que par 1 ou 5 (en décimal un nombre premier autre que 2 ou 5 ne peut se terminer que par 1, 3, 7 ou 9).

Décimal Sénaire
1/2 = 0,5 1/2 = 0,3
1/3 = 0,33 répétition 1/3 = 0,2
1/4 = 0,25 1/4 = 0,13
1/5 = 0,2 1/5 = 0,11 répétition
1/6 = 0,166 répétition 1/10 = 0,1
1/7 = 0,142857142857 répétition 1/11 = 0,0505 répétition
1/8 = 0,125 1/12 = 0,043
1/9 = 0,11 répétition 1/13 = 0,04
1/10 = 0,1 1/14 = 0,033 répétition
1/11 = 0,0909 répétition 1/15 = 0,03134524210313452421 répétition
1/12 = 0,08333 répétition 1/20 = 0,03
1/14 = 0,0714285714285 répétition 1/22 = 0,02323 répétition
1/15 = 0,066 répétition 1/23 = 0,022 répétition
1/16 = 0,0625 1/24 = 0,0213
1/18 = 0,055 répétition 1/16 = 0,02
1/20 = 0,05 1/32 = 0,0144 répétition
1/24 = 0,04166 répétition 1/40 = 0,013
1/25 = 0,04 1/41 = 0.0123501235 répétition
1/27 = 0,037037 répétition 1/43 = 0,012
1/36 = 0,0277 répétition 1/100 = 0,01
1/81 = 0,012345679012345679 répétition 1/213 = 0,0024

Dans les langues naturelles[modifier | modifier le code]

Les cultures qui comptent en base 6 sont rares. L'examen du développement des systèmes de numération suggère une limite de numérosité à la valeur 6, conceptualisé comme formant un tout, « le poing », « au delà des cinq doigts »[1]. Les chiffres 1 à 6 sont alors des formes pures et les nombres qui suivent sont construits ou sont des emprunts[2].

La langue ndom de Papouasie-Nouvelle-Guinée utilise un système sénaire[3].

Système sénaire du ndom
mer 6
mer an thef 6 × 2 = 12
nif 36
nif thef 36 × 2 = 72

Dans les langues morehead-maro, le système de numération est lié à des rituels de comptage d'ignames[4]. Ces langues comptent sur une base six et ont des termes spécifiques pour les puissances de six ; jusqu'à 66, soit 46 656, dans certaines de ces langues.

Système sénaire du kómnzo
nimbo 6
féta 36
tarumba 216
ntamno 1296
wärämäkä 7776
wi 46656

Certaines langues nigéro-congolaises utilisent un système sénaire, en complément d'un autre système (décimal ou vigésimal)[2]. Le proto-ouralien aurait utilisé un système sénaire, le chiffre 7 aurait été emprunté tardivement, bien que la construction des grands chiffres (8 et 9) par soustraction à partir de 10 suggère une autre hypothèse[2].

Références[modifier | modifier le code]

(en) Cet article est partiellement ou en totalité issu de la page de Wikipédia en anglais intitulée « Senary » (voir la liste des auteurs).

  1. Juliette Blevins, « Origins of Northern Costanoan ʃak:en ‘six’:A Reconsideration of Senary Counting in Utian », International Journal of American Linguistics, vol. 71, no 1,‎ , p. 87–101 (DOI 10.1086/430579, JSTOR 10.1086/430579)
  2. a b et c « Archived copy » [archive du ] (consulté le 27 août 2014)
  3. (en) Kay Owens, « The Work of Glendon Lean on the Counting Systems of Papua New Guinea and Oceania », Mathematics Education Research Journal, vol. 13, no 1,‎ , p. 47–71 (DOI 10.1007/BF03217098, lire en ligne[archive du ])
  4. (en-US) « How to count to 1296 in Ngkolmpu – MORPH », sur morph.surrey.ac.uk (consulté le 25 juin 2018)

Lien externe[modifier | modifier le code]