Système sénaire

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Un système sénaire est un système de numération de base six.

La notation sénaire positionnelle nécessite l'emploi de six chiffres. On utilise d'habitude les chiffres 0 à 5 du système décimal. On différencie alors les notations décimales des notations sénaires au moyen d'un indice 10 ou 6. Ainsi, 1456 = 6510.

Passage du système sénaire au système décimal et réciproquement[modifier | modifier le code]

Du sénaire au décimal[modifier | modifier le code]

Voici les premiers nombres de 1 à 50 exprimés en notation positionnelle sénaire puis décimale.

base 6 1 2 3 4 5 10 11 12 13 14
base 10 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
base 6 15 20 21 22 23 24 25 30 31 32
base 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20
base 6 33 34 35 40 41 42 43 44 45 50
base 10 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30
base 6 51 52 53 54 55 100 101 102 103 104
base 10 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40
base 6 105 110 111 112 113 114 115 120 121 122
base 10 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50

Du décimal au sénaire[modifier | modifier le code]

Voici quelques points de repère.

base 10 1 2 3 4 5 6 7 12 18 24 36
base 6 1 2 3 4 5 10 11 20 30 40 100
base 10 42 72 108 144 216 432 648 777 864 1296 2592
base 6 110 200 300 400 1000 2000 3000 3333 4000 10000 20000

Fractions et divisibilité[modifier | modifier le code]

Six est le produit de deux nombres premiers, à savoir 2 et 3. Il en résulte que certaines propriétés de la notation positionnelle sénaire rappellent celles de la notation positionnelle décimale.

Toutes les fractions dont le dénominateur ne connaît d'autre facteur premier que 2 et 3 s'expriment en sénaire avec un nombre fini de chiffres après la virgule (comparer avec le rôle de 2 et 5 en décimal).

Tous les nombres se terminant en sénaire par un chiffre représentant un multiple de 2 — soit 0, 2, 4 — sont divisibles par 2 et tous les nombres se terminant par un chiffre représentant un multiple de 3 — soit 0 et 3 — divisibles par 3 (de même qu'en décimal, tous les nombres se terminant par un chiffre représentant un multiple de 2 — soit 0, 2, 4, 6, 8  sont divisibles par 2 et tous les nombres se terminant par un multiple de 5 — soit 0 et 5 — divisibles par 5).

Un nombre premier autre que 2 ou 3 ne peut donc se terminer en sénaire que par 1 ou 5 (en décimal un nombre premier autre que 2 ou 5 ne peut se terminer que par 1, 3, 7 ou 9).

Décimal Sénaire
1/2 = 0,5 1/2 = 0,3
1/3 = 0,33 répétition 1/3 = 0,2
1/4 = 0,25 1/4 = 0,13
1/5 = 0,2 1/5 = 0,11 répétition
1/6 = 0,166 répétition 1/10 = 0,1
1/7 = 0,142857142857 répétition 1/11 = 0,0505 répétition
1/8 = 0,125 1/12 = 0,043
1/9 = 0,11 1/13 = 0,04
1/10 = 0,1 1/14 = 0,033 répétition
1/11 = 0,0909 répétition 1/15 = 0,03134524210313452421 répétition
1/12 = 0,0833 1/20 = 0,03
1/14 = 0,0714285714285 répétition 1/22 = 0,02323 répétition
1/15 = 0,066 répétition 1/23 = 0,022 répétition
1/16 = 0,0625 1/24 = 0,0213

Dans les langues naturelles[modifier | modifier le code]

Les cultures qui comptent en base 6 sont rares. L'examen du développement des systèmes de numération suggère une limite de numérosité à la valeur 6, conceptualisé comme formant un tout, « le poing », « au delà des cinq doigts »[1]. Les chiffres 1 à 6 sont alors des formes pures et les nombres qui suivent sont construits ou sont des emprunts[2].

La langue ndom de Papouasie-Nouvelle-Guinée utilise un système sénaire[3].

Système sénaire du ndom
mer 6
mer an thef 6 × 2 = 12
nif 36
nif thef 36 × 2 = 72

Dans les langues morehead-maro, le système de numération est lié à des rituels de comptage d'ignames[4]. Ces langues comptent sur une base six et ont des termes spécifiques pour les puissances de six ; jusqu'à 66, soit 46 656, dans certaines de ces langues.

Système sénaire du kómnzo
nimbo 6
féta 36
tarumba 216
ntamno 1296
wärämäkä 7776
wi 46656

Certaines langues nigéro-congolaises utilisent un système sénaire, en complément d'un autre système (décimal ou vigésimal)[2]. Le proto-ouralien aurait utilisé un système sénaire, le chiffre 7 aurait été emprunté tardivement, bien que la construction des grands chiffres (8 et 9) par soustraction à partir de 10 suggère une autre hypothèse[2].

Références[modifier | modifier le code]

(en) Cet article est partiellement ou en totalité issu de la page de Wikipédia en anglais intitulée « Senary » (voir la liste des auteurs).

  1. Juliette Blevins, « Origins of Northern Costanoan ʃak:en ‘six’:A Reconsideration of Senary Counting in Utian », International Journal of American Linguistics, vol. 71, no 1,‎ , p. 87–101 (DOI 10.1086/430579, JSTOR 10.1086/430579)
  2. a, b et c « Archived copy » [archive du ] (consulté le 27 août 2014)
  3. (en) Kay Owens, « The Work of Glendon Lean on the Counting Systems of Papua New Guinea and Oceania », Mathematics Education Research Journal, vol. 13, no 1,‎ , p. 47–71 (DOI 10.1007/BF03217098, lire en ligne[archive du ])
  4. (en-US) « How to count to 1296 in Ngkolmpu – MORPH », sur morph.surrey.ac.uk (consulté le 25 juin 2018)

Lien externe[modifier | modifier le code]