Système sexagésimal

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Signes numériques « proto-cunéiformes » avec le système sexagésimal (60, 600, 3600, etc.).

Le système sexagésimal est un système de numération utilisant la base 60. Au contraire de certaines bases utilisées dans d'autres systèmes (binaire, octal, décimal, hexadécimal), la base 60 n'est actuellement utilisée nulle part de manière systématique. Il subsiste cependant certains vestiges de la numération sexagésimale dans la mesure du temps, des angles et des arcs (y compris les coordonnées géographiques).

Histoire[modifier | modifier le code]

Photographie de la tablette YBC 7289 avec des annotations montrant l'approximation de la √2 par une numération sexagésimale.

Le système sexagésimal semble avoir été utilisé pour la première fois par les Sumériens au IIIe millénaire av. J.-C. puis, au IIe millénaire av. J.-C., par les Babyloniens, qui ont inventé la numération babylonienne, comme en témoigne la tablette Plimpton 322.

La mesure du temps en Chine suit le cycle sexagésimal chinois entre 1191 et 1154 av. J.-C (Dynastie Shang). Le calendrier hindou fait de même depuis 3102 av. J.-C.

Il a beaucoup été utilisé par les astronomes et géographes grecs, tels Ptolémée ou Théon d'Alexandrie, qui nous laissent une méthode pour calculer la racine carrée de nombres écrits dans le système sexagésimal. Par la suite il a été utilisé également dans le monde arabo-musulman pendant la dynastie des Omeyyades, en particulier dans les versions du zij du mathématicien ouzbek Al-Khwarizmi, aujourd'hui connues sous le nom de « Table indienne », et par des mathématiciens européens comme Fibonacci.

Compter avec ses mains[modifier | modifier le code]

Article détaillé : Compter sur ses doigts.

Certains peuples comme, par exemple, les vietnamiens, comptent leurs phalanges avec le pouce ; le pouce défile sur les trois phalanges des quatre autres doigts, soit douze phalanges.

Si par ailleurs on utilise les doigts de l'autre main pour les retenues, on a cinq retenues, soit 5×12 = 60 nombres. Selon l'historien des calculs Georges Ifrah, on peut supposer que la numération en base 60 vient de là[1].

Si on utilise les phalanges de l'autre main pour les retenues, soit 12 phalanges, on a 12×12 = 144 nombres, ce qui permet donc de compter jusqu'à 144+12 = 156 sur ses doigts.

Fractions[modifier | modifier le code]

La base 60 a beaucoup plus de diviseurs (1, 2, 3, 4, 5, 6, 10, 12, 15, 20, 30 et 60) que la base 10 (1, 2, 5 et 10) et soixante est le plus petit nombre divisible à la fois par 1, 2, 3, 4, 5 et 6. Cela a pu être un énorme avantage tant que l'algorithme actuel de la division n'était pas connu. Cependant, avec la généralisation de la numération décimale de position, cette caractéristique a perdu beaucoup de son intérêt. Il arrive par exemple que, dans l'industrie ou le tertiaire, les durées soient exprimées en dixièmes d'heure (sociétés de conseil) ou en centièmes d'heures (chronométrage industriel). Malgré des tentatives d'introduction du système décimal, l'utilisation de sous-multiples sexagésimaux de l'heure perdure en raison de la grande antiquité de ceux-ci et de leur universalité. De même, on divise parfois le degré d'angle ou d'arc en centièmes, plutôt qu'en minutes et secondes (voir conversions ci-dessous).

Les Babyloniens utilisaient des tables d'inverses. Par exemple :

1/2 = 0 + 30/60
1/3 = 0 + 20/60
1/4 = 0 + 15/60
1/5 = 0 + 12/60
1/6 = 0 + 10/60
1/8 = 0 + 7/60 + 30/60²
1/9 = 0 + 6/60 + 40/60²
1/10 = 0 + 6/60
1/12 = 0 + 5/60
1/15 = 0 + 4/60
1/20 = 0 + 3/60
1/30 = 0 + 2/60
1/40 = 0 + 1/60 + 30/60²
1/60 = 0 + 1/60

Conversion de minutes et secondes en fraction décimale de degré[modifier | modifier le code]

Les coordonnées géographiques sont souvent données en degrés (1/90 d'angle droit), minutes d'arc (1/60 de degré) et secondes d'arc (1/60 de minute d'arc), ce qui n'est pas gênant pour les ordinateurs qui travaillent en binaire. Cependant les informaticiens jugent parfois le système sexagésimal peu pratique à manipuler et, sans aller jusqu'à utiliser les grades (le grade étant 1/100 d'angle droit), préfèrent convertir les minutes et secondes en fractions décimales de degré (on emploie couramment dans ce cas le terme de "degrés décimaux", au risque de confusion avec les grades).

Formulation générale : latitude (degrés décimaux) = degrés + (minutes / 60) + (secondes / 3600)

Exemple : Soit une latitude de 45° 54' 36" (45 degrés, 54 minutes et 36 secondes).
Exprimée en degrés et fraction décimale de degré, la latitude sera : latitude = 45 + (54 / 60) + (36 / 3600) = 45,91°

Conversion d'une fraction décimale de degrés en minutes et secondes[modifier | modifier le code]

Exemple : soit une longitude de 121,136°.

  1. Le nombre avant la virgule indique les degrés ⇒ 121°
  2. Multiplier le nombre après la virgule par 60 ⇒ 0,136 * 60 = 8,16
  3. Le nombre avant la virgule indique les minutes (8')
  4. Multiplier le nombre après la virgule par 60 ⇒ 0,16 * 60 = 9,6
  5. Le résultat indique les secondes (9,6").
  6. La longitude est donc de 121° 8' 9,6"

Notes et références[modifier | modifier le code]

  1. (en) Samuel L. Macey, The Dynamics of Progress. Time, Method, and Measure, University of Georgia Press,‎ (lire en ligne), p. 92

Voir aussi[modifier | modifier le code]

Articles connexes[modifier | modifier le code]

Liens externes[modifier | modifier le code]