Système undécimal

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Le système numérique undécimal ou en base 11 est un système numérique positionnel qui utilise le nombre onze comme base. Bien qu'aucune société connue ne compte par onze, deux sont supposées l'avoir fait : les Maoris, un des deux peuples polynésiens de Nouvelle-Zélande, et les Pangwa, un peuple de langue bantoue de Tanzanie. L'idée de compter par onze est notable pour sa relation avec une méthode traditionnelle de comptage pratiquée en Polynésie et dans le Pacifique[1].

Pendant la Révolution française, ce système a été brièvement mentionné comme une base possible pour le système de mesure réformé[2].

Les chiffres en base 11 apparaissent également dans le système de numérotation internationale normalisée du livre[3].

Doubles[modifier | modifier le code]

Base 10 Base 11
1 1
2 2
4 4
8 8
16 15
32 2A
64 59
128 107
256 213
512 426
1024 851
2048 15A2

Utilisations culturelles de la base 11[modifier | modifier le code]

Utilisation par les Maoris[modifier | modifier le code]

Conant et Williams[modifier | modifier le code]

Pendant environ un siècle, l'idée que les Maoris comptaient par onze était surtout connue depuis sa mention dans les écrits du mathématicien américain Levi Leonard Conant. Il l'a identifié comme une "erreur" provenant d'un dictionnaire du XIXe siècle de la langue néo-zélandaise publié par le révérant William Williams, alors archidiacre de Waiapu[4]:123.

« Il y a de nombreuses années, une déclaration attira la curiosité : Il semblait que les Maoris, les habitants aborigènes de la Nouvelle-Zélande, utilisaient comme base de leur système numérique le nombre 11 ; et que le système était assez largement développé, ayant des mots simples pour 121 et 1331, c'est-à-dire pour le carré et le cube de 11. » [4] :122–123

Telle que publiée par Williams dans les deux premières éditions de la série de dictionnaires, cette déclaration se lit comme suit :

« Le mode de comptage des indigènes est basé sur onze, jusqu'à ce qu'ils arrivent au dixième onze, qui est leur centaine ; puis jusqu'au dixième cent, qui est leur millier : mais ces indigènes qui ont des relations avec des Européens ont, pour la plupart, abandonné cette méthode, et, en laissant de côté ngahuru, comptez tekau ou tahi tekau comme 10, rua tekau comme 20, etc. Il semblerait avoir pour principe de mettre de côté un tous les dix, comme logique de pointage. Un parallèle s'observe chez les Anglais, avec la comptage par douzaine pratiqué par le boulanger. » [5] :xv

Lesson et Blosseville[modifier | modifier le code]

En 2020, une origine continentale antérieure a été attribuée aux écrits de deux explorateurs scientifiques du XIXe siècle : René Primevère Lesson et Jules de Blosseville[1]. Ils avaient visité en 1824 dans le cadre d'un voyage de circumnavigation de la Nouvelle-Zélande, sur la Coquille[6], une corvette française commandée par Louis Isidore Duperrey et secondée par Jules Dumont d'Urville. À son retour en France en 1825, Lesson publie sa traduction française d'un article écrit par le botaniste allemand Adelbert von Chamisso[7]. À l'affirmation de von Chamisso selon laquelle le système de numération néo-zélandais était basé sur vingt ( vigésimal ), Lesson a inséré une note de bas de page pour marquer une erreur :

« ... de l'E. de la mer du Sud ... c'est là qu'on trouve premièrement le système arithmétique fondé sur une échelle de vingt, comme dans la Nouvelle- Zélande (2)... » [7] :27

texte de Von Chamisso, traduit en français par Lesson, suivi d'une note de bas de page :

« (2) Erreur. Le système arithmétique des Zélandais est undécimal, et les Anglais sont les premiers qui ont propagé cette fausse idée. (L.) » [7]:27

Von Chamisso avait mentionné lui-même son erreur en 1821, faisant remonter la source de sa confusion et sa clarification à Thomas Kendall, le missionnaire anglais de Nouvelle-Zélande qui a fourni le matériel sur la langue maorie qui a servi de base à une grammaire publiée en 1820 par l'anglais linguiste Samuel Lee[8],[9]. Dans la même publication de 1821, von Chamisso a également identifié le système numérique maori comme décimal, notant que la source de la confusion était la pratique polynésienne de compter les choses par paires, où chaque paire était comptée comme une seule unité, de sorte que dix unités étaient numériquement équivalent à vingt[8],[9] :

« Nous avons maintenant une grammaire et un vocabulaire de la langue de la Nouvelle-Zélande, publiés par la Church Missionary Society de Londres en 1820. L'auteur de cette grammaire est le même M. Kendall qui nous a communiqué le Vocabulaire dans le voyage de Nicolas. La langue nous étant maintenant mieux connue, cela nous permet de corriger nos connaissances. » [8] :13

Et,

« Il est loin d'être simple de connaître le système arithmétique d'un peuple. En Nouvelle-Zélande, comme aux Tonga, le système est décimal. Ce qui a peut-être induit en erreur M. Kendall, dans sa première tentative, durant le voyage de Nicholas, et que nous avons suivi, c'est la coutume des Néo-Zélandais de compter les choses par paires. Les indigènes de Tonga comptent les bananes et les poissons également par paires et par vingt (Tecow, traduit par score en anglais, total en français)." [8] :441–442

L'utilisation par Lesson du terme « undécimal » en français en 1825 était peut-être une erreur d'imprimeur, qui joignait l'expression voulue « un décimal », qui aurait correctement identifié la numération néo-zélandaise comme décimale[1]. Lesson savait que les nombres polynésiens étaient décimaux et très similaires dans toute la région, car il avait beaucoup appris sur les systèmes de numération du Pacifique au cours de ses deux années sur la Coquille, collectant des vocabulaires numériques et finalement publiant ou commentant plus d'une douzaine d'entre eux[1]. Il connaissait également le travail de Thomas Kendall et de Samuel Lee grâce à sa traduction de l'œuvre de von Chamisso[7]. Ces circonstances suggèrent qu'il était peu probable que Lesson ait mal compris la Nouvelle-Zélande comptant comme procédant par onze[1].

Lesson et son compagnon de bord et ami, Blosseville[10], ont envoyé des comptes rendus de leur prétendue découverte du comptage basé sur les onze en Nouvelle-Zélande à leurs contemporains. Au moins deux de ces correspondants ont publié ces rapports, dont le géographe italien Adriano Balbi, qui a détaillé une lettre qu'il a reçue de Lesson en 1826[11], et l'astronome hongrois Franz Xaver von Zach, qui a brièvement mentionné la découverte présumée dans le cadre d'un lettre de Blosseville qu'il avait reçue par l'intermédiaire d'un tiers[12]. Lesson était aussi probablement l'auteur d'un essai non daté, écrit par un français mais par ailleurs anonyme, trouvé parmi et publié avec les papiers du linguiste prussien Wilhelm von Humboldt en 1839[13].

L'histoire s'est développée dans son récit[1] : La lettre de 1826 publiée par Balbi a ajouté un vocabulaire numérique présumé avec des termes pour onze au carré (Karaou) et onze au cube (Kamano), ainsi qu'un compte rendu de la façon dont les mots-nombres et la procédure de comptage auraient été obtenues auprès d'informateurs locaux[11]. Dans une tournure intéressante, cela a également changé la classification erronée nécessitant une correction de vigésimal à décimal[7],[11]. L'essai de 1839, publié avec les articles de von Humboldt nommé Thomas Kendall, le missionnaire anglais dont la confusion sur les effets du comptage par paires sur les nombres maoris avait amené von Chamisso à les identifier à tort comme vigésimaux[7],[8],[13]. Il énumérait également les endroits d'où les informateurs locaux présumés étaient censés être[13].

Relation avec le comptage traditionnel[modifier | modifier le code]

L'idée que les Maoris comptaient par onze met en évidence une forme de comptage ingénieuse et pragmatique autrefois pratiquée dans toute la Polynésie[1],[14]. Cette méthode de comptage met de côté chaque dixième élément pour marquer dix des éléments comptés ; les éléments mis de côté sont ensuite comptés de la même manière, un élément sur dix marquant désormais cent (deuxième tour), mille (troisième tour), dix mille éléments (quatrième tour), etc. [1] La méthode de comptage fonctionnait de la même manière, que l'unité de base soit un seul élément, une paire ou un groupe de quatre — unités de comptage de base utilisées dans toute la région — et c'était la base du comptage binaire unique trouvé à Mangareva, où le comptage pouvait également procéder par groupes de huit[1],[15].

La méthode de comptage résout également un autre mystère : pourquoi le mot hawaïen pour vingt, iwakalua, signifie « neuf et deux » ? Lorsque la méthode de comptage était utilisée avec des paires, neuf paires étaient comptées (18) et la dernière paire (2) était définie de côté pour le tour suivant[1].

Utilisation par les Pangwa[modifier | modifier le code]

On en sait moins sur l'idée que le peuple Pangwa de Tanzanie comptait par onze. Il a été mentionné en 1920 par l'anthropologue britannique Northcote W. Thomas :

"Un autre système de numération anormal est celui des Pangwa, au nord-est du lac Nyassa, qui utilisent une base de onze." [16] :59

Et,

« Si nous pouvions être certains que ki dzigo avait à l'origine le sens de onze, et non de dix, en pangwa, il serait tentant de corréler le dzi ou či avec le même mot en Walegga-Lendu, où il signifie douze, et ainsi de mettre en une relation, bien que de nature plus fragile et plus éloignée, les trois domaines dans lesquels des systèmes anormaux sont utilisés. » [16] :59

L'affirmation a été répétée par l'explorateur britannique et administrateur colonial Harry H. Johnston dans le volume II de son étude de 1922 sur les langues bantoues et semi-bantoues . Il a également noté des similitudes suggestives entre le terme Pangwa pour onze et les termes pour dix dans des langues apparentées[17] :

« Parfois, il y a des termes spéciaux pour 'onze'. En ce qui concerne mes informations, ils sont les suivants: Ki-dzigꞷ 36 (dans cette langue, les Pangwa du nord-est du Nyassaland, le comptage se fait en fait par onze. Ki-dzigꞷ-kavili = 'vingt-deux', Ki-dzigꞷ-kadatu = 'trente-trois'). Pourtant, la racine -dzigꞷ est évidemment la même que le -tsigꞷ, qui signifie 'dix' dans le n° 38. Il peut également être lié au -digi (« dix ») de 148, -tuku ou -dugu des langues Ababua et Congo, -dikꞷ de 130, -liku de 175 (« huit ») et le Tiag de 249. » [17] :477

Dans la classification de Johnston des langues bantoues et semi-bantoues[17],

  • 36 est Pañgwa, Groupe Bantu J, N. Ruvuma, NE Nyasaland
  • 38 est Kiñga, Groupe Bantu K, Ukiñga
  • 130 est Ba-ñkutu (Ba-ñkpfutu), Group Bantu DD, Central Congꞷland
  • 148 est Li-huku, Groupe Bantu HH, Haut Ituri
  • 175 est Ifumu ou Ifuru (E. Teke), Group Bantu LL, Kwa-Kasai-Upper Ꞷgꞷwe (Teke)
  • 249 est Afudu, Groupe semi-bantou D, S. Benue

Aujourd'hui, Pañgwa est censé avoir des nombres décimaux, avec les nombres six et plus empruntés au swahili[18].

Base 11 dans l'histoire de la mesure[modifier | modifier le code]

Peu de temps après la Révolution française, l'Académie des sciences a créé un comité (la Commission des poids et mesures) pour normaliser les systèmes de mesures, une réforme populaire qui a été une première étape vers la création du système métrique international[19]. Le 27 octobre 1790, le comité rapporta qu'il avait envisagé d'utiliser le duodécimal (base 12) comme base pour les poids, les longueurs / distances et l'argent en raison de sa plus grande divisibilité par rapport au décimal (base 10)[20]. Cependant, ils ont finalement rejeté l'initiative, estimant qu'une échelle commune basée sur des chiffres parlés simplifierait les calculs et les conversions et rendrait le nouveau système plus facile à mettre en œuvre[20]. Le mathématicien Joseph-Louis Lagrange, membre du comité, a été crédité d'influencer le comité pour sélectionner la décimale[2],[21].

Delambre a écrit : « Il était peu frappé de l'objection que l'on tirait contre ce système du petit nombre des diviseurs de sa base. Il regrettait presque qu'elle ne fut pas un nombre premier, tel que 11, qui devait nécessairement donner un même dénominateur à toutes les fractions. On regardera, si l'on veut, cette idée comme une de ces exagérations qui échappent aux meilleurs esprits dans le feu de la dispute ; mais il n'employait ce nombre 11 que pour écarter le nombre 12, que des innovateurs plus intrépides auraient voulu substituer à celui de 10, qui fait partout la base de la numération. » [2] :lxvi

En 1795, dans les conférences publiques publiées à l'École Normale, Lagrange a observé que les fractions avec des dénominateurs variables (par exemple, 1⁄2 ,1⁄3 ,1⁄4 ,1⁄5 ,1⁄7 ), bien que simples en eux-mêmes, étaient gênants, car leurs dénominateurs différents les rendaient difficilement comparables[22]. Autrement dit, les fractions ne sont pas difficiles à comparer si le numérateur est 1 (par exemple, 1⁄2 est plus grand que1⁄3, qui à son tour est plus grand que 1⁄4). Cependant, les comparaisons deviennent plus difficiles lorsque les numérateurs et les dénominateurs sont mélangés : 3⁄4 est plus grand que 5⁄7, qui à son tour est plus grand que 2⁄3, bien que cela ne puisse pas être déterminé par une simple inspection des dénominateurs de la manière possible si le numérateur est 1. Il a noté que la difficulté était résolue si toutes les fractions avaient le même dénominateur :

Lagrange a écrit : « On voit aussi par-là, qu'il est indifférent que le nombre qui suit la base du système, comme le nombre 10 dans notre système décimal, ait des diviseurs ou non ; peut-être même y aurait-il, à quelques requis, de l'avantage à ce que ce nombre n'eût point de diviseurs, comme le nombre 11, ce qui aurait lieu dans le système undécimal, parce qu'on en serait moins porté à employeur les fractions 1⁄2, 1⁄3, etc. » [22] :23

Base 11 dans les numéros internationaux normalisés du livre (ISBN)[modifier | modifier le code]

Les numéros à 10 chiffres du système des numéros internationaux normalisés du livre (ISBN) utilisaient la base 11 comme chiffre de contrôle[3]. Un chiffre de contrôle est le chiffre final d'un ISBN qui est lié mathématiquement à tous les autres chiffres qu'il contient et qui est utilisé pour vérifier leur exactitude[23]. Il représente la réponse à un calcul mathématique, dans ce cas, celui qui multiplie les 10 chiffres de l'ISBN par les entiers 10 (chiffre le plus à gauche) à 2 (avant-dernier chiffre le plus à droite, le dernier étant le chiffre de contrôle lui-même), puis additionne leur[24]. Le calcul doit donner un multiple de 11, avec son chiffre final, représenté par les chiffres de 0 à 9 ou un X (pour 10), étant égal au dixième chiffre de l'ISBN[24]. Cependant, depuis le 1er janvier 2007, les ISBN à 13 chiffres sont devenus la norme et [3] l'agence internationale de l'ISBN a fourni un calculateur en ligne qui convertira les ISBN à 10 chiffres en 13 chiffres[25].

Voir aussi[modifier | modifier le code]

Références[modifier | modifier le code]

  1. ↑ a b c d e f g h i et j Overmann, « The curious idea that Māori once counted by elevens, and the insights it still holds for cross-cultural numerical research », Journal of the Polynesian Society, vol. 129, no 1,‎ , p. 59–84 (DOI 10.15286/jps.129.1.59-84, lire en ligne, consulté le )
  2. ↑ a b et c Jean Baptiste Joseph Delambre, Mémoires de la classe des Sciences mathématiques et physiques de l'Institut de France, Année 1812, Seconde Partie, Paris, Firmin Didot, , xxvii–lxxx (lire en ligne), « Notice sur la vie et les ouvrages de M. Malus, et de M. le Comte Lagrange »
  3. ↑ a b et c ISBN Users' Manual, International Edition, 7th ed., London, International ISBN Agency, (ISBN 978-92-95055-12-4)
  4. ↑ a et b Levi Leonard Conant, The number concept: Its origin and development, New York, Macmillan and Co., , 122–123 p. (OCLC 990771340)
  5. ↑ William Williams, A dictionary of the New-Zealand language, and a concise grammar; to which are added a selection of colloquial sentences, Paihia, NZ, The Press of the Church Mission Society, (OCLC 504512293)
  6. ↑ Louis Isidore Duperrey, Voyage autour du monde, exécuté par ordre du Roi, sur la Corvette de Sa Majesté, la Coquille, pendant les années 1822, 1823, 1824 et 1825. Hydrographie et physique, Paris, Arthus Bertrand, , 84–87 p. (OCLC 257721098, lire en ligne), « Tableaux des routes parcourues par la Corvette de Sa Majesté, la Coquille, et des observations météorologiques faites a bord du bâtiment, pendant les années 1822, 1823, 1824 et 1825 »
  7. ↑ a b c d e et f Adelbert Von Chamisso, Annales maritimes et coloniales, année 1825 — II.e partie — Tome 2, Paris, L'imprimerie Royale, , 1–41 p. (lire en ligne), « Du Grand Océan, de ses îles et de ses côtes: par A. de Chamisso, Docteur en philosophie, &c. &c.; traduit sur l'édition anglaise par R. P. Lesson, Médecin de la corvette la Coquille, Pharmacien de la marine, Membre de plusieurs sociétés savantes, &c. »
  8. ↑ a b c d et e Adelbert Von Chamisso, A voyage of discovery, into the South Sea and Beering's Straits, for the purpose of exploring a north-east passage, undertaken in the years 1815–1818, at the expense of his highness the Chancellor of the Empire, Count Romanzoff, in the ship Rurick: Vol. III, London, Longman, Hurst, Rees, Orme, and Brown, , 439–442 p. (lire en ligne), « Corrections and remarks »
  9. ↑ a et b Samuel Lee, A grammar and vocabulary of the language of New Zealand, London, Church Missionary Society, (OCLC 561056725)
  10. ↑ Rallet, « Un naturaliste saintongeais: René-Primevère Lesson (1794–1849) », Annales de La Société Des Sciences Naturelles de La Charente-Maritime, vol. 3, no 1,‎ , p. 77–131 (lire en ligne, consulté le )
  11. ↑ a b et c Adriano Balbi, Atlas ethnographique du globe, ou classification des peuples anciens et modernes d'aprés leur langue. Vol. 1, Discours préliminaire et introduction, Paris, Paul Renouard, , 230–278 p. (lire en ligne), « Observations sur la classification des langues Océaniennes »
  12. ↑ Franz Xaver Von Zach, Bulletin des sciences mathématiques, astronomiques, physiques et chimiques, 1ère section, tome V, Paris, Bureau du Bulletin, , 120–123 p. (lire en ligne), « Correspondance astronomique, géographique, hydrographique et statistique »
  13. ↑ a b et c Wilhelm Von Humboldt, Über die Kawi-Sprache aus der Insel Java, nebst einer Einleitung über die Verschiedenheit des menschlichen Sprachbaues und ihren Einsluss aus die geistige Entwickelung des Menschengeschlechts. Band III. Südsee-Sprachen, als östlicher Zweig des Malayischen, Berlin, F. Dümmler, (OCLC 889950161)
  14. ↑ Overmann, « Counting by ‘elevens’ and why nine and two make twenty: The material roots of Polynesian numbers », Journal of Mathematics and Culture, vol. 15, no 3,‎ , p. 1–32 (lire en ligne, consulté le )
  15. ↑ Bender et Beller, « Mangarevan invention of binary steps for easier calculation », Proc. Natl. Acad. Sci. USA, vol. 111, no 4,‎ , p. 1322–1327 (PMID 24344278, PMCID 3910603, DOI 10.1073/pnas.1309160110, lire en ligne, consulté le )
  16. ↑ a et b Thomas, « Duodecimal base of numeration », Man, vol. 20, no 1,‎ , p. 56–60 (lire en ligne, consulté le )
  17. ↑ a b et c Harry H Johnston, A comparative study of the Bantu and Semi-Bantu languages, Vol. II, Oxford, Oxford University Press, , 463-482 p. (OCLC 872099614), « The Bantu and Semi-Bantu numerals »
  18. ↑ « Pangwa, Tanzania », Numeral systems of the world's languages, Max Planck Institute, (consulté le )
  19. ↑ Hellman, « Legendre and the French reform of weights and measures », Osiris, vol. 1,‎ , p. 314–340 (lire en ligne, consulté le )
  20. ↑ a et b Jean-Charles de Borda, Joseph-Louis Lagrange, Antoine Laurent Lavoisier, Mathieu Tillet et Condorcet, Histoire de l'Académie Royale des Sciences. Année M.DCC.LXXXVIII. Avec les Mémoires de Mathématique & de Physique, pour la même Année, tirés des Registres de cette Académie, Paris, L'Imprimerie Royale, , 1–6 p. (lire en ligne), « Rapport fait à l'Académie des Sciences, par MM. Borda, Lagrange, Lavoisier, Tillet & Condorcet, le 27 Octobre 1790 »
  21. ↑ Anton Glaser, History of Binary and Other Nondecimal Numeration, Los Angeles, Tomash Publishers, (OCLC 923223696)
  22. ↑ a et b Joseph-Louis Lagrange et Pierre-Simon Laplace, Séances des écoles normales, recueillies par des sténographes, et revues par les professeurs. Seconde partie. Débats. Tome premier, Paris, L. Reynier, , 3–23 p. (OCLC 780161317), « Mathématiques »
  23. ↑ « What is an ISBN? », International ISBN Agency, (consulté le )
  24. ↑ a et b « ISBN Information: Anatomy of a 10-digit ISBN », (consulté le )
  25. ↑ « ISBN Calculator », International ISBN Agency, (consulté le )
v · m
1 à 9 unaire (1), binaire (2), ternaire (3), quaternaire (4), quinaire (5), sénaire (6), septénaire (7), octal (8), nonaire (9) Mathématiques
10 à 60 décimal (10), undécimal (11), duodécimal (12), tridécimal (13), quindécimal (15), hexadécimal (16), octodécimal (18), vicésimal (20), base 36, sexagésimal (60)
Autre base base d'or (φ), mixte, négabinaire (–2), négaternaire (-3), bases complexes (en) : quater-imaginaire (2i)
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