En mathématiques , l'inégalité arithmético-géométrique (IAG) établit un lien entre la moyenne arithmétique et la moyenne géométrique . C'est un résultat classique lié à la convexité .
Énoncé
La moyenne géométrique de
n
{\displaystyle n}
réels strictement positifs
x
1
,
…
,
x
n
{\displaystyle x_{1},\,\dots ,\,x_{n}}
est inférieure à leur moyenne arithmétique :
x
1
…
x
n
n
⩽
x
1
+
⋯
+
x
n
n
{\displaystyle {\sqrt[{n}]{x_{1}\dots x_{n}}}\leqslant {\frac {x_{1}+\dots +x_{n}}{n}}}
,
avec égalité (si et) seulement si
x
1
=
x
2
=
⋯
=
x
n
{\displaystyle x_{1}=x_{2}=\dots =x_{n}}
.
Démonstration
Les deux réels
x
1
+
⋯
+
x
n
n
{\displaystyle {\frac {x_{1}+\dots +x_{n}}{n}}}
(moyenne arithmétique) et
x
1
…
x
n
n
=
(
x
1
…
x
n
)
1
/
n
{\displaystyle {\sqrt[{n}]{x_{1}\dots x_{n}}}=(x_{1}\dots x_{n})^{1/n}}
(moyenne géométrique) étant strictement positifs, l'inégalité à démontrer équivaut (par croissance stricte du logarithme naturel ) à
ln
(
(
x
1
…
x
n
)
1
/
n
)
⩽
ln
(
x
1
+
⋯
+
x
n
n
)
,
{\displaystyle \ln \left((x_{1}\dots x_{n})^{1/n}\right)\leqslant \ln \left({\frac {x_{1}+\dots +x_{n}}{n}}\right),}
ou encore (d'après l'équation fonctionnelle du logarithme ) à
ln
(
x
1
)
+
⋯
+
ln
(
x
n
)
n
⩽
ln
(
x
1
+
⋯
+
x
n
n
)
.
{\displaystyle {\frac {\ln(x_{1})+\cdots +\ln(x_{n})}{n}}\leqslant \ln \left({\frac {x_{1}+\cdots +x_{n}}{n}}\right).}
Cette dernière inégalité n'est autre que l'inégalité de Jensen pour des isobarycentres , appliquée à la fonction logarithme , qui est concave .
Le cas d'égalité provient du fait que cette concavité est stricte .
L'inégalité arithmético-géométrique peut également être démontrée comme un corollaire de l'inégalité de Muirhead , appliquée aux suites (1,0, etc. 0) et (1/n, etc.,1/n).
Généralisation
Pondération
L'inégalité arithmético-géométrique se généralise aux moyennes pondérées arithmétique et géométrique :
Si
x
1
,
…
,
x
n
⩾
0
{\displaystyle x_{1},\ldots ,x_{n}\geqslant 0}
et
α
1
,
…
,
α
n
>
0
{\displaystyle \alpha _{1},\ldots ,\alpha _{n}>0}
alors, en notant
α
=
α
1
+
…
+
α
n
{\displaystyle \alpha =\alpha _{1}+\ldots +\alpha _{n}}
:
x
1
α
1
…
x
n
α
n
α
⩽
α
1
x
1
+
…
+
α
n
x
n
α
,
{\displaystyle {\sqrt[{\alpha }]{x_{1}^{\alpha _{1}}\ldots x_{n}^{\alpha _{n}}}}\leqslant {\frac {\alpha _{1}x_{1}+\ldots +\alpha _{n}x_{n}}{\alpha }},}
avec égalité si et seulement si tous les
x
k
{\displaystyle x_{k}}
sont égaux.
En effet, en supposant sans perte de généralité qu'aucun
x
k
{\displaystyle x_{k}}
n'est nul et en notant
t
k
:=
α
k
/
α
{\displaystyle t_{k}:=\alpha _{k}/\alpha }
(strictement positifs et de somme
1
{\displaystyle 1}
), l'inégalité équivaut (voir supra ) à
t
1
ln
(
x
1
)
+
⋯
+
t
n
ln
(
x
n
)
⩽
ln
(
t
1
x
1
+
⋯
+
t
n
x
n
)
{\displaystyle t_{1}\ln(x_{1})+\dots +t_{n}\ln(x_{n})\leqslant \ln(t_{1}x_{1}+\dots +t_{n}x_{n})}
,
qui n'est autre que l'inégalité de Jensen générale pour la fonction (concave) logarithme, et le cas d'égalité provient de la stricte concavité.
Inégalité de Maclaurin
On peut également généraliser l'inégalité arithmético-géométrique en remarquant que la moyenne arithmétique correspond à la première fonction symétrique élémentaire, et la moyenne géométrique à la dernière. L'inégalité arithmético-géométrique se réécrit :
σ
n
(
n
n
)
n
⩽
σ
1
(
n
1
)
1
{\displaystyle {\sqrt[{n}]{\frac {\sigma _{n}}{\displaystyle {\binom {n}{n}}}}}\leqslant {\sqrt[{1}]{\frac {\sigma _{1}}{\displaystyle {\binom {n}{1}}}}}}
Et on peut généraliser :
σ
n
(
n
n
)
n
⩽
σ
n
−
1
(
n
n
−
1
)
n
−
1
⩽
⋯
⩽
σ
1
(
n
1
)
1
{\displaystyle {\sqrt[{n}]{\frac {\sigma _{n}}{\displaystyle {\binom {n}{n}}}}}\leqslant {\sqrt[{n-1}]{\frac {\sigma _{n-1}}{\displaystyle {\binom {n}{n-1}}}}}\leqslant \dots \leqslant {\sqrt[{1}]{\frac {\sigma _{1}}{\displaystyle {\binom {n}{1}}}}}}
soit
x
1
…
x
n
n
⩽
x
1
…
x
n
−
1
+
⋯
+
x
2
…
x
n
n
n
−
1
⩽
⋯
⩽
x
1
x
2
+
⋯
+
x
n
−
1
x
n
(
n
2
)
⩽
x
1
+
⋯
+
x
n
n
{\displaystyle {\sqrt[{n}]{x_{1}\dots x_{n}}}\leqslant {\sqrt[{n-1}]{\frac {x_{1}\dots x_{n-1}+\dots +x_{2}\dots x_{n}}{n}}}\leqslant \dots \leqslant {\sqrt {\frac {x_{1}x_{2}+\dots +x_{n-1}x_{n}}{\displaystyle {\binom {n}{2}}}}}\leqslant {\frac {x_{1}+\dots +x_{n}}{n}}}
Ce sont les inégalités de Maclaurin .
Voir aussi
Articles connexes
Bibliographie
Augustin Cauchy , Œuvres complètes , Gauthier-Villard, 1867 (lire en ligne ) , p. 376 lire en ligne sur Gallica
Martin Aigner et Günter M. Ziegler , Raisonnements divins , Springer , 2008 , 2e éd. (lire en ligne ) , p. 127-129
(en) Peter S. Bullen, Handbook of Means and Their Inequalities , Kluwer Academic Publishers , 2003 (lire en ligne ) , p. 71-153
(en) G. H. Hardy , J. E. Littlewood et G. Pólya , Inequalities , CUP , 1952 , 2e éd. (lire en ligne ) , p. 16-21
Convexité
Géométrie convexe
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