Filtre numérique

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En électronique, un filtre numérique est un élément qui effectue un filtrage à l'aide d'une succession d'opérations mathématiques sur un signal discret. C'est-à-dire qu'il modifie le contenu spectral du signal d'entrée en atténuant ou éliminant certaines composantes spectrales indésirées. Contrairement aux filtres analogiques, qui sont réalisés à l'aide d'un agencement de composantes physiques (résistance, condensateur, inductance, transistor, etc.), les filtres numériques sont réalisés soit par des circuits intégrés dédiés, des processeurs programmables (FPGA, microprocesseur, DSP, microcontrôleur, etc.), soit par logiciel dans un ordinateur.

Les filtres numériques peuvent, en théorie, réaliser la totalité des effets de filtrage pouvant être définis par des fonctions mathématiques ou des algorithmes. Les deux principales limitations des filtres numériques sont la vitesse et le coût. La vitesse du filtre est limitée par la vitesse (l'horloge, le « clock » en anglais) du processeur. Pour ce qui est du coût, celui-ci dépend du type de processeur utilisé. Par contre, le prix des circuits intégrés ne cesse de diminuer, et les filtres numériques se retrouvent partout dans notre environnement, radio, téléphone cellulaire, télévision, lecteurs MP3, etc.

Les filtres numériques étant généralement réalisés par des processeurs, ils sont définis à l'aide de langages de programmation.

Définition[modifier | modifier le code]

Un filtre numérique peut être défini par une équation aux différences, c'est-à-dire l'opération mathématique du filtre dans le domaine temporel (discret).

La forme générale du filtre d'ordre M est l'une des suivantes :

y[n] = {\sum_{k=0}^N} b_k \cdot x[n-k] - {\sum_{k=1}^M} a_k \cdot y[n-k] ,
y[n] =  b_0 \cdot x[n]  +  b_1 \cdot x[n-1]  +  b_2 \cdot x[n-2]  +  ....  +  b_N \cdot x[n-N]  -  a_1 \cdot y[n-1]  -  a_2 \cdot y[n-2]  -  ....  -  a_M \cdot y[n-M].
Exemple  :

 y[n] =   x[n]  +  1,5 \cdot y[n-1]  - 0,85 \cdot y[n-2]

Fonction de transfert[modifier | modifier le code]

Une fonction de transfert, dans le domaine fréquentiel (Transformée en Z), permet également de définir un filtre numérique. Ainsi, la fonction de transfert générale d'ordre N d'un filtre numérique est la suivante :


H(z) = 
\frac {Y(z)} {X(z)} =
\frac {{\sum_{k=0}^N} b_k\cdot z^{-k}} {{\sum_{k=0}^M} a_k\cdot z^{-k}}
,

ou autrement écrit


H(z) = 
\frac {b_0 + b_1 \cdot z^{-1} + b_2 \cdot z^{-2} + .... + b_N \cdot z^{-N}} {1 + a_1 \cdot z^{-1} + a_2 \cdot z^{-2} + .... + a_M \cdot z^{-M}}
.

La valeur des coefficients a et b fixera le type de filtre, passe-bas, passe-haut, etc.

Exemple  :


H(z) = 
\frac { 1 } {1 - 1,5 \cdot z^{-1} + 0,85 \cdot z^{-2} }

Classification[modifier | modifier le code]

RIF — Filtre à réponse impulsionnelle finie[modifier | modifier le code]

Il y a deux grandes familles de filtres numériques : la première, les filtres RIF (filtres à réponse impulsionnelle finie), en anglais FIR (finite impulse response). Ce type de filtre est dit fini, car sa réponse impulsionnelle se stabilisera ultimement à zéro. Un filtre FIR est non récursif, c'est-à-dire que la sortie dépend uniquement de l'entrée du signal, il n'y a pas de contre-réaction. Ainsi, les coefficients a de la forme générale des filtres numériques sont tous égaux à zéro.

Une propriété importante des filtres RIF est que les coefficients du filtre b sont égaux à la réponse impulsionnelle h du filtre. D'autre part, la forme temporelle du filtre est tout simplement la convolution du signal d'entrée x avec les coefficients (ou réponse impulsionnelle) b (ou  h).

Un exemple de filtre FIR simple est une moyenne. Effectivement, effectuer la moyenne sur une série de données est équivalent à appliquer un filtre FIR à coefficient constant 1/N.

Voici un exemple de mise en œuvre d'un filtre FIR en C/C++ dans le domaine temporel :

// si la taille de NB_COEF = 2^n utiliser un masque au lieu du modulo (%)
// %=NB_COEF => &=(NB_COEF-1)
 
#define NB_COEF 16  // nombre de coef du filtre
double x_buffer[NB_COEF]={0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0}; // x_buffer est un buffer circulaire
double coef[NB_COEF]={0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0};
int ptr_x_buffer=0;
 
double FiltreFIR(double x)
// x: Signal d'entrée
// y: Signal de sortie
{
  int n, y=0;
  x_buffer[ptr_x_buffer++] = x;
  ptr_x_buffer %= NB_COEF;
 
  for( n = (NB_COEF-1) ; n >= 0 ; n-- )
  {
    y += coef[n] * x_buffer[ptr_x_buffer++];
    ptr_x_buffer %= NB_COEF;
  }
  return(y);
}

Note : Voir ce qu'est un buffer circulaire.

RII — Filtre à réponse impulsionnelle infinie[modifier | modifier le code]

Les filtres de la seconde famille, les RII (Filtre à réponse impulsionnelle infinie), en l'anglais IIR (infinite impulse response), possèdent une réponse impulsionnelle qui ne se stabilisera jamais, et ce, même à l'infini. Ce type de filtre est récursif, c'est-à-dire que la sortie du filtre dépend à la fois du signal d'entrée et du signal de sortie, il possède ainsi une boucle de contre-réaction (feedback). Les filtres IIR sont principalement la version numérique des filtres analogiques traditionnels : Butterworth, Tchebychev, Bessel, Elliptique.

Voir aussi[modifier | modifier le code]

Liens externes[modifier | modifier le code]