Réponse impulsionnelle

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Pour un processus transformant un signal d’entrée en un signal de sortie (signaux électriques par exemple), la réponse impulsionnelle est la sortie qui est obtenue lorsque l'entrée est une impulsion, c'est-à-dire une variation soudaine et brève du signal. En effet, lorsqu'une impulsion est fournie à l'entrée d'un système linéaire, la sortie n'est en général plus une impulsion, mais un signal ayant une certaine durée (parfois infinie comme dans le cas d’un filtre à réponse impulsionnelle infinie (RII)). La réponse impulsionnelle permet la représentation d'un système en fonction de son entrée et de sa sortie uniquement, par opposition à une représentation d'état.

Définition mathématique de l’impulsion[modifier | modifier le code]

Pour un système à temps continu, le modèle mathématique d’une impulsion est une distribution de Dirac.

Pour un système à temps discret (et non le système lui-même), une impulsion est définie par la suite : \delta(n) = \left\{
\begin{array}{cl} 1 & \mathrm{si}\ n = 0 \\ 0 & \mathrm{sinon}\ \end{array} \right.

Dans les deux cas, la réponse impulsionnelle est la sortie du système en réponse à cette impulsion.

Réponse impulsionnelle d'un système linéaire invariant (SLI)[modifier | modifier le code]

Caractérisation d'un SLI par sa réponse impulsionnelle[modifier | modifier le code]

Représentation entrée-sortie d'un système d'entrée u et de sortie y = u*h, h étant la réponse impulsionnelle du système.
Exemple de sortie y d'un signal en fonction de son entrée u et de sa réponse impulsionnelle h (ici, des signaux binaires en temps discret).

Soit T la représentation mathématique d’un système à temps discret ; à une entrée u correspond une sortie y satisfaisant la relation :

\{y(n)\} =T\left[ \{u(n)\} \right] .

T est ainsi une application de l’espace des suites dans lui-même.

Supposons de plus que T soit linéaire et invariant par translation temporelle. Dans ce cas, la réponse impulsionnelle

\{h(n)\} =T\left[ \{\delta(n)\} \right]

caractérise entièrement le système, la sortie y pouvant être calculée à partir de n’importe quelle entrée u en appliquant la relation suivante dans le cas discret :

y(n) =\sum_{k \in \mathbb{Z}} h(n-k) u(k) = \sum_{k \in \mathbb{Z}} h(k) u(n-k)\


Dans le cas continu, cette relation d’écrit, similairement :

y(t) = \int_{-\infty}^{\infty} h(t-\tau) u(\tau) d\tau = \int_{-\infty}^{\infty} h(\tau) u(t-\tau) d\tau.


Ces opérations correspondent à un produit de convolution entre l'entrée u et la réponse impulsionnelle h, que l'on note u \ast h. On a donc la relation  y = u \ast h.

Preuve (cas discret)[modifier | modifier le code]

L'impulsion unité \delta possède la propriété suivante :  u(\cdot)\delta(\cdot) = u(0)\delta(\cdot) Cette propriété permet d'extraire la valeur du signal u en n = 0 en le multipliant simplement par \delta(\cdot). De même, pour récupérer la valeur du signal en un instant  n = k , il suffit de le multiplier par l'impulsion décalée \delta(\cdot-k).

On remarque ainsi qu'une entrée u est une suite d'impulsions discrètes décalées dans le temps. Puisque le système est invariant, le décalage des impulsions produit simplement une sortie elle aussi décalée (voir système invariant). La linéarité du système permet ensuite d’exprimer la sortie y par la somme des réponses spécifiques à chacune de ses impulsions.

Considérons alors la contribution à l'instant n de l'impulsion décalée de k_0 : pour une entrée u(k_0) \delta(\cdot-k_0) , la sortie à l'instant n vaut, h(n-k_0) u(k_0).

La réponse totale s'obtient ainsi en sommant les contributions de toutes les impulsions décalées, soit :

y(n) =\sum_{k \in \mathbb{Z}} h(n-k) u(k),

un produit de convolution qui, par commutativité, conduit à :

y(n) =\sum_{k \in \mathbb{Z}} h(k) u(n-k).

Un raisonnement similaire permet de généraliser ce résultat au cas continu. Les sommes seront remplacées par des intégrales.

Relation avec la fonction de transfert d'un SLI[modifier | modifier le code]

La transformée de Laplace (respectivement la transformée en Z) de la réponse impulsionnelle h d'un système linéaire invariant (SLI) à temps continu (respectivement discret) est égale à la fonction de transfert H(p)\ (respectivement H(z)\ ) de ce système.

Pour le démontrer, il suffit d'appliquer les transformées à la relation y(n) =\sum_{k \in \mathbb{Z}} h(k) u(n-k) en utilisant le fait qu'un produit de convolution devient un produit dans le domaine fréquentiel.

Applications physiques[modifier | modifier le code]

Une impulsion correspond à un pic d'intensité d'un phénomène.

En mécanique, un pic d'accélération correspond à un choc. Un pic d'à-coup (dérivée de l'accélération) correspond à une secousse, une saccade. Dans le modèle du solide indéformable, ces pics se caractérisent par une discontinuité (fonction de Heaviside) de la grandeur dont ils dérivent : discontinuité de la vitesse pour le choc, discontinuité de l'accélération pour la saccade.

Temps de réponse de SLI[modifier | modifier le code]

Le temps de réponse d'un SLI est liée à la durée de sa réponse impulsionnelle h(.). Il s'agit là d'une conséquence directe de la représentation convolutionnelle.

En effet, considérons un signal d'entrée u de durée Tu. La réponse du système à une telle entrée est donnée par le produit de convolution entre cette entrée et la réponse impulsionnelle h. La réponse impulsionnelle a elle aussi une durée; nous noterons cette dernière Th.

Le temps de réponse sera donc donné par Th+Tu.

Ce temps de réponse est un indicateur sur la rapidité du système à réagir à une entrée donnée. Si le système a une constante Th très grande, il ne saura pas réagir à une entrée variant rapidement.


Les systèmes à grandes constantes de temps sont idéal pour modéliser les filtres passe-bas. Ces systèmes sont en effet capables de réagir au signaux variant lentement (basses fréquences), mais ne seront que très peu influencé par les signaux rapides (hautes fréquences).


Il est à noter que la constante de temps Th de la réponse impulsionnelle n'est pas toujours bien définie. Dans grand nombre de cas, la réponse impulsionnelle a une allure d’exponentielle décroissante. Sa durée est donc infinie. Bien entendu, cette réponse finit par devenir très petite, ce qui signifie que la réponse du système après un temps fini sera négligeable.

Il existe des conventions pour déterminer le temps Th à partir duquel la réponse est négligeable.

Une de ces conventions est :


T_h = \frac{ \int_{-\infty}^\infty h(t) \, \mathrm dt} {\mbox{max} \mbox{ h}}

où max h désigne le maximum atteint par la réponse impulsionnelle.

Voir aussi[modifier | modifier le code]