Espace de Kolmogorov

Un article de Wikipédia, l'encyclopédie libre.
Aller à : navigation, rechercher
Page d'aide sur l'homonymie Pour les articles homonymes, voir T0.

En topologie et dans d'autres branches des mathématiques, un espace de Kolmogorov (ou espace T0) est un espace topologique dans lequel tous les points peuvent être « distingués du point de vue topologique ». De tous les axiomes de séparation qui peuvent être demandés à un espace topologique, cette condition est la plus faible.

Les espaces de Kolmogorov doivent leur nom au mathématicien russe Andreï Kolmogorov.

Définition[modifier | modifier le code]

Un espace topologique X est dit de Kolmogorov si pour tout couple d'éléments distincts x et y de X, il existe un voisinage de x qui ne contient pas y ou un voisinage de y qui ne contient pas x.

De façon équivalente, X est de Kolmogorov si pour tous points distincts, il existe un ouvert qui contient l'un des deux points mais pas l'autre, ou encore, l'un des deux points n'est pas adhérent à l'autre.

On dit aussi d'un tel espace qu'il satisfait à la propriété de séparation T0.

Exemples[modifier | modifier le code]

Espaces non T0[modifier | modifier le code]

Espaces T0 mais pas T1[modifier | modifier le code]

Un espace T1 est un espace dans lequel pour tous éléments distincts x et y, il existe un voisinage de x qui ne contient pas y et un voisinage de y qui ne contient pas x, ou encore dans lequel tous les singletons sont fermés.

Indiscernabilité[modifier | modifier le code]

Dans un espace topologique, deux points sont dits indiscernables (en) s'ils appartiennent exactement aux mêmes ouverts, ou encore s'ils ont exactement les mêmes voisinages. C'est la relation d'équivalence associée au préordre de spécialisation (en) : xy si et seulement si x appartient à l'adhérence du singleton {y}. Un espace est donc T0 lorsque les classes d'équivalence sont toutes réduites à des singletons, autrement dit lorsque le préordre est un ordre.

Propriétés[modifier | modifier le code]

Le quotient d'un espace topologique quelconque par la relation d'équivalence précédente, appelé quotient de Kolmogorov, est toujours un espace de Kolmogorov.

Un produit d'espaces non vides est de Kolmogorov si et seulement si chaque facteur l'est.

Tout sous-espace d'un espace de Kolmogorov est encore de Kolmogorov.

Tout espace de Kolmogorov X est homéomorphe à un sous-espace du produit QC(X, Q), où Q est l'intervalle [0, 1] muni de la topologie stricte à gauche et C(X, Q) est l'ensemble des applications continues de X dans Q[1]. Il se plonge aussi naturellement dans le produit SC(X, S)ST, où S est la paire {0, 1} munie de la topologie de Sierpiński et C(X, S) est l'ensemble des applications continues de X dans S, équipotent à l'ensemble T des ouverts de X.

Note et références[modifier | modifier le code]

(en) Cet article est partiellement ou en totalité issu de l’article de Wikipédia en anglais intitulé « Kolmogorov space » (voir la liste des auteurs)

  1. François Guénard et Gilbert Lelièvre, Compléments d'analyse, Vol. 1 : Topologie, première partie, ENS Fontenay éd.,‎ 1985 (lire en ligne), p. 28. Ces auteurs appellent « supérieure » ou « droite » la topologie de Q, mais ce n'est pas la topologie droite.