Théorème du point fixe de Ryll-Nardzewski
Le théorème du point fixe de Ryll-Nardzewski est un théorème de point fixe d'analyse fonctionnelle, annoncé[1] puis démontré[2] par le mathématicien polonais Czesław Ryll-Nardzewski (de), qui garantit l'existence d'un point fixe commun pour certains demi-groupes d'applications affines d'un compact convexe dans lui-même.
Énoncé[modifier | modifier le code]
Soient X un espace localement convexe, Q un convexe non vide faiblement compact de X et G un demi-groupe d'applications affines de X dans X, faiblement continues et laissant Q stable.
Si G est non contractant sur Q, alors il existe dans Q un point fixe par tous les éléments de G.
Dire que l'ensemble d'applications G est un demi-groupe signifie simplement qu'il est stable par composition.
L'hypothèse qu'il est non contractant sur Q est définie par :
Remarques[modifier | modifier le code]
- Le plan de l'une des preuves[3],[4] est le suivant : par compacité, il suffit de démontrer l'existence d'un point fixe commun à un nombre fini d'éléments T1, … Tn de G. Le théorème du point fixe de Markov-Kakutani montre que la moyenne de ces Ti admet un point fixe x. Il reste alors à montrer que ce point est fixe par chaque Ti, par l'absurde et en supposant même, sans perte de généralité, qu'aucun Ti ne le fixe. L'hypothèse que G est non contractant sur Q fournit dans ce cas une semi-norme continue p telle que pour tout T dans G et tout indice i, p(TTix – Tx) > 1. Or un lemme technique (déduit du théorème de Krein-Milman) montre que pour tout convexe non vide K faiblement compact et séparable, il existe un convexe fermé C strictement inclus dans K tel que le p-diamètre de K\C soit majoré par 1. On en tire facilement la contradiction souhaitée en prenant pour K l'enveloppe convexe fermée de Hx, où H est le sous-demi-groupe engendré par les Ti.
- L'hypothèse que G est non contractant est automatiquement vérifiée si X est un espace vectoriel normé et si les éléments de G sont des isométries.
- Un corollaire est l'existence d'une mesure de Haar sur tout groupe compact.
Notes et références[modifier | modifier le code]
- (en) C. Ryll-Nardzewski, « Generalized random ergodic theorems and weakly almost periodic functions », Bull. Acad. Polon. Sci. Sér. Sci. Math. Astronom. Phys., vol. 10, , p. 271-275.
- (en) C. Ryll-Nardzewski, « On fixed points of semi-groups of endomorphisms of linear spaces », dans Proc. 5-th Berkeley Symp. on Math. Statist. and Prob., vol. 2.1, Univ. California Press, (lire en ligne), p. 55-61.
- (en) Isaac Namioka et Edgar Asplund, « A geometric proof of Ryll-Nardzewski's fixed point theorem », Bull. Amer. Math. Soc., vol. 73, no 3, , p. 443-445 (lire en ligne).
- (en) John B. Conway (en), A Course in Functional Analysis, Springer, coll. « GTM » (no 96), , 2e éd., 400 p. (ISBN 978-0-387-97245-9, lire en ligne), chap. V, § 10 (« The Ryll-Nardzewski fixed-point theorem »).
Liens externes[modifier | modifier le code]
- (en) Andrzej Granas et James Dugundji, Fixed Point Theory, Springer, , 690 p. (ISBN 978-0-387-00173-9, lire en ligne), chap. II, § 7.9 (« Theorem of Ryll-Nardzewski »)
- (en) Anna Kiesenhofer, « Haar measure on compact groups », sur TU Wien,
