Théorème de Lagrange sur les groupes

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Joseph-Louis Lagrange

En mathématiques, le théorème de Lagrange en théorie des groupes énonce un résultat élémentaire fournissant des informations combinatoires sur les groupes finis.

Énoncé

Théorème de Lagrange — Pour un groupe G fini, et pour tout sous-groupe H de G, le cardinal (encore appelé l'ordre) de H divise le cardinal de G :

$\mbox{card}(H) \mid \mbox{card} (G)$.

Démonstration

L'indice [G:H] de H dans G est par définition le cardinal de l'ensemble G/H des classes à gauche suivant H des éléments de G. Or ces classes forment une partition de G, et chacune d'entre elles a même cardinal que H. Par le principe des bergers, on en déduit :

$\mbox{card}(G)= \mbox{card} (H)\times[G:H]\,$.

Remarquons que cette formule reste vraie quand les trois cardinaux qu'elle relie sont infinis, et qu'elle est un cas particulier de la formule des indices.

Applications

• L'ordre d'un élément $x$ d'un groupe fini peut se définir comme le cardinal du sous-groupe qu'il engendre. (C'est aussi le plus petit entier n>0 vérifiant : $x^n=e$.) Par le théorème de Lagrange, cet ordre divise l'ordre du groupe.
• Un groupe G d'ordre premier p est cyclique et simple. En effet, tout élément non neutre x de G est d'ordre strictement supérieur à 1 et par ce qui précède un diviseur de p. Comme p est premier, l'ordre de x est p ; autrement dit, x engendre un groupe cyclique d'ordre p, nécessairement égal à G.
• Ce théorème peut servir à démontrer le petit théorème de Fermat et sa généralisation, le théorème d'Euler.

Réciproques partielles

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Voir le paragraphe correspondant de l'article en anglais

Un groupe fini dont l'ordre est divisible par d n'admet pas toujours de sous-groupe d'ordre d. Le plus petit contre-exemple est le groupe alterné A₄, qui est d'ordre 12 mais n'a pas de sous-groupe d'ordre 6.

Le théorème de Cauchy, les théorèmes de Sylow, le théorème prouvé par Hall sur les sous-groupes de Hall, forment des réciproques partielles du théorème de Lagrange.

Historique

Le mathématicien français Joseph-Louis Lagrange a démontré que, par permutation des n indéterminées d'une expression polynômiale, le nombre d'expressions obtenues est un diviseur de $n!$. L'ensemble des permutations est vu aujourd'hui comme un groupe à $n!$ éléments, agissant sur les polynômes à n variables. Le travail de Lagrange se réinterprète comme le calcul du cardinal d'une orbite de cette action : il apparait ainsi comme précurseur de l'émergence de la notion de groupe, dont la définition formelle n'a été donnée qu'à la fin du XIX^e siècle.