Théorème de Lagrange sur les groupes

Un article de Wikipédia, l'encyclopédie libre.
Aller à : navigation, rechercher
Page d'aide sur l'homonymie Pour les articles homonymes, voir Théorème de Lagrange.

En mathématiques, le théorème de Lagrange en théorie des groupes énonce un résultat élémentaire fournissant des informations combinatoires sur les groupes finis.

Joseph-Louis Lagrange

Énoncé[modifier | modifier le code]

Théorème de Lagrange — Pour un groupe G fini et pour tout sous-groupe H de G, le cardinal (encore appelé l'ordre) de H divise le cardinal de G :

\mbox{card}(H) \mid \mbox{card} (G).

Démonstration[modifier | modifier le code]

L'indice [G:H] de H dans G est par définition le cardinal de l'ensemble G/H des classes à gauche suivant H des éléments de G. Or ces classes forment une partition de G et chacune d'entre elles a même cardinal que H. Par le principe des bergers, on en déduit :

\mbox{card}(G)= \mbox{card} (H)\times[G:H]\,.

Remarquons que cette formule reste vraie quand les trois cardinaux qu'elle relie sont infinis, et qu'elle est un cas particulier de la formule des indices.

Applications[modifier | modifier le code]

  • L'ordre d'un élément x d'un groupe fini peut se définir comme le cardinal du sous-groupe qu'il engendre. (C'est aussi le plus petit entier n > 0 vérifiant : xn = e.) Par le théorème de Lagrange, cet ordre divise l'ordre du groupe.
  • Un groupe G d'ordre premier p est cyclique et simple. En effet, tout élément non neutre x de G est d'ordre strictement supérieur à 1 et par ce qui précède un diviseur de p. Comme p est premier, l'ordre de x est p ; autrement dit, x engendre un groupe cyclique d'ordre p, nécessairement égal à G.
  • Ce théorème peut servir à démontrer le petit théorème de Fermat et sa généralisation, le théorème d'Euler.

Réciproques partielles[modifier | modifier le code]

Un groupe fini G ne vérifie pas toujours la « réciproque du théorème de Lagrange », c'est-à-dire qu'il peut exister un diviseur d de l'ordre de G pour lequel G n'admet aucun sous-groupe d'ordre d. Le plus petit contre-exemple[1] est le groupe alterné A4, qui est d'ordre 12 mais n'a pas de sous-groupe d'ordre 6 (car tout sous-groupe d'indice 2 contient les carrés du groupe, or dans A4 il y a 9 carrés).

Le théorème de Cauchy, les théorèmes de Sylow, le théorème prouvé par Hall sur les sous-groupes de Hall, forment des réciproques partielles du théorème de Lagrange.

Pour qu'un groupe fini vérifie la « réciproque du théorème de Lagrange », il est nécessaire qu'il soit résoluble (mais non suffisant : A4 est résoluble) et suffisant qu'il soit super-résoluble (en) (mais non nécessaire : le groupe symétrique S4 n'est pas super-résoluble, puisqu'il admet S3 comme sous-groupe maximal d'indice non premier).

Historique[modifier | modifier le code]

Le mathématicien français Joseph-Louis Lagrange a démontré[2] que, par permutation des n indéterminées d'une expression polynomiale, le nombre d'expressions obtenues est un diviseur de n!. L'ensemble des permutations est vu aujourd'hui comme un groupe à n! éléments, agissant sur les polynômes à n variables. Le travail de Lagrange se réinterprète comme le calcul du cardinal d'une orbite de cette action : il apparait ainsi comme précurseur de l'émergence de la notion de groupe, dont la définition formelle n'a été donnée qu'à la fin du XIXe siècle.

Notes et références[modifier | modifier le code]

  1. C'est « le plus petit » au sens où c'est le seul d'ordre inférieur ou égal à 12.
  2. J.-L. Lagrange, « Réflexions sur la résolution algébrique des équations, II », Nouveaux Mémoires de l’Académie Royale des Sciences et Belles-Lettres de Berlin,‎ 1771, p. 138-254 (spéc. p. 202-203), réédité dans Œuvres de Lagrange, t. 3, Paris, 1869, p. 305-421, consultable en ligne (spéc. p. 369-370)