Groupe nilpotent

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En théorie des groupes, les groupes nilpotents forment une certaine classe de groupes contenue dans celle des groupes résolubles et contenant celle des groupes abéliens. Les groupes nilpotents apparaissent naturellement dans la théorie de Galois et dans la classification des groupes de Lie ou des groupes algébriques linéaires.

Définition[modifier | modifier le code]

Soit G un groupe noté multiplicativement, d'élément neutre e. Si A et B sont deux sous-groupes de G, on note [A,B] le sous-groupe engendré par les commutateurs de la forme [x,y] pour x dans A et y dans B.

On définit alors par récurrence une suite de sous-groupes de G, notés Cn(G), par : C1(G) = G et Cn + 1(G) = [G, Cn(G)].

Cette suite (qu'on note aussi[1]n)n), est appelée la suite centrale descendante de G[2]. On dit que G est nilpotent s'il existe un entier n tel que Cn(G) = { e }. En outre, si G est un groupe nilpotent, sa classe de nilpotence est le plus petit entier n tel que Cn + 1(G) = { e }.

On peut également définir la nilpotence à l'aide de la suite centrale (en) ascendanten(G))n de G, définie par récurrence de la façon suivante : ζ0(G) = {1} et ζn+1(G) est le sous-groupe de G formé par les éléments x de G tels que, pour tout élément g de G, [g, x] appartienne à ζn(G). Cette suite est également la suite de sous-groupes normaux de G définie comme suit : ζ0(G) = {1} et, pour tout n, ζn+1(G) est le seul sous-groupe de G contenant ζn(G) et tel que ζn+1(G)/ζn(G) soit le centre de G/ζn(G). (Par exemple, ζ1(G) est le centre de G.) On prouve[3] que G est nilpotent si et seulement sa suite centrale ascendante atteint G et que, dans ce cas, la classe de nilpotence de G est le plus petit nombre naturel n tel que ζn(G) = G.

Exemples[modifier | modifier le code]

  • Un groupe est nilpotent de classe 0 si et seulement s'il est trivial.
  • Un groupe est nilpotent de classe 1 si et seulement s'il est abélien et non trivial.
  • Le sous-groupe du groupe général linéaire GLn(K) formé des matrices triangulaires supérieures avec des 1 sur la diagonale principale est nilpotent de classe n – 1[4]. Daprès les premières propriétés ci-dessous, tous les conjugués (dans GLn(K)) de ses sous-groupes sont donc nilpotents. Le théorème de Kolchin les caractérise : ce sont les groupes de matrices unipotentes (en), c'est-à-dire de la forme In + N, où N est une matrice nilpotente.
  • L'exemple précédent est un cas particulier de la situation suivante : soient A un anneau (unitaire, non forcément commutatif) et P un sous-pseudo-anneau de A (autrement dit, P est un sous-groupe du groupe additif de A et est stable pour la multiplication. Soit n un nombre entier ≥ 1 tel que le produit de n éléments de P soit toujours nul. (Un pseudo-anneau pour lequel il existe un tel n est dit nilpotent.) Alors 1 + P est un sous-groupe du groupe multiplicatif des éléments inversibles de A et est nilpotent de classe ≤ n – 1[5].
  • Un p-groupe fini est nilpotent[6].
  • Le groupe de Heisenberg discret est nilpotent de classe 2.

Propriétés[modifier | modifier le code]

  • Un sous-groupe d'un groupe nilpotent est nilpotent. L'image d'un groupe nilpotent par un morphisme de groupes est un groupe nilpotent.
  • Soit Z(G) le centre d'un groupe nilpotent G. Si G n'est pas le groupe trivial, alors Z(G) n'est pas non plus trivial. Plus généralement, si N est un sous-groupe normal non trivial de G, alors N ∩ Z(G) n'est pas non plus trivial[7]. (Si on ne suppose pas N normal dans G, cet énoncé n'est plus vrai. Prendre par exemple pour G le groupe diédral D8 d'ordre 8 et pour N un sous-groupe d'ordre 2 de D8 non contenu dans le sous-groupe cyclique d'ordre 4 de D8.)
  • Si G/Z(G) est nilpotent, alors G est nilpotent.
  • Tout groupe nilpotent est résoluble. Plus précisément, on prouve que si un groupe est nilpotent de classe ≤ 2n – 1, il est résoluble de classe ≤ n.
  • Un groupe nilpotent est noethérien si et seulement s'il est de type fini[8]. Il est dans ce cas non seulement résoluble mais polycyclique (en)[9] et même super-résoluble (en)[réf. souhaitée].
  • Tout groupe nilpotent est clairement de Engel (en), c'est-à-dire qu'il vérifie :
    \forall x,y\in\text{G},\exists m\in\N,[[[y,x],x]\ldots,x]=e\quad\mathrm{o\grave u}~x~\mathrm{est~\acute ecrit}~m~\text{fois}.
    Il existe une réciproque partielle : tout groupe de Engel noethérien (en particulier tout groupe de Engel fini) est nilpotent[10],[11]. Il existe des groupes de Engel de type fini non nilpotents, mais on ne sait pas s'il en existe qui soient « n-Engel » pour un certain entier n, c'est-à-dire pour lesquels le m ci-dessus peut être fixé égal à n pour tous les éléments x et y du groupe[12].
  • Les éléments d'ordre fini d'un groupe nilpotent G forment un sous-groupe de G. Ce sous-groupe est appelé le sous-groupe de torsion de G. C'est un sous-groupe pleinement caractéristique de G. Pour tout nombre premier p, les éléments de G ayant pour ordres des puissances de p forment eux aussi un sous-groupe de G, sous-groupe lui aussi pleinement caractéristique. Si on désigne ce sous-groupe de G par Tp, le sous-groupe de torsion de G est la somme restreinte des Tp (où p parcourt tous les nombres premiers)[13].
  • Le fait que les éléments d'ordre fini d'un groupe nilpotent G forment un sous-groupe de G peut se préciser comme suit : si G est un groupe nilpotent de classe c, si x et y sont deux éléments d'ordres finis de G, si n est un nombre naturel tel que xn = yn = 1, alors[14] (xy)nc = 1.
  • Si G est un groupe fini, les conditions suivantes sont équivalentes[15] :
  1. G est nilpotent ;
  2. tout sous-groupe de G est sous-normal (en) dans G, c'est-à-dire que si H est un sous-groupe de G, il existe une séquence finie croissante de sous-groupes allant de H à G telle que chacun de ces sous-groupes soit normal dans le suivant ;
  3. tout sous-groupe propre de G est sous-groupe propre de son normalisateur dans G ;
  4. tout sous-groupe maximal de G est normal dans G ;
  5. G est produit direct de ses sous-groupes de Sylow ;
  6. G est un produit direct de groupes dont les ordres sont des puissances de nombres premiers ;
  7. pour tout nombre premier p, G est p-clos (anglais p-closed), c'est-à-dire que les éléments de G dont l'ordre est puissance de p forment un sous-groupe de G, ou encore que G admet un p-sous-groupe de Sylow normal (qui est alors l'unique p-sous-groupe de Sylow de G).
  • Pour un groupe G infini, on a encore[16] 1 ⇒ 2 ⇒ 3 ⇒ 4, avec
  1. G est nilpotent ;
  2. tout sous-groupe de G est sous-normal dans G, c'est-à-dire que si H est un sous-groupe de G, il existe une séquence finie croissante de sous-groupes allant de H à G telle que chacun de ces sous-groupes soit normal dans le suivant ;
  3. tout sous-groupe propre de G est sous-groupe propre de son normalisateur dans G ;
  4. tout sous-groupe maximal de G est normal dans G.
  • Un groupe diédral est nilpotent si et seulement si son ordre est une puissance de deux[17]. Un groupe diédral d'ordre 2r, avec r > 1, est nilpotent de classe r – 1[18]. D'autre part, la classe de résolubilité d'un groupe diédral est ≤ 2. (En effet, le groupe diédral D2n admet un sous-groupe cyclique Cn d'indice 2 et donc normal ; le groupe quotient D2n/Cn, étant d'ordre 2, est commutatif, donc Cn contient le dérivé de D2n, donc ce dérivé est commutatif, donc la classe de résolubilité de D2n est ≤ 2.) Les groupes diédraux illustrent ainsi le fait que la classe de nilpotence d'un groupe nilpotent ne peut pas être majorée en fonction de sa classe de résolubilité[19] (alors que, d'après un fait signalé plus haut, sa classe de résolubilité peut être majorée en fonction de sa classe de nilpotence).

Notes et références[modifier | modifier le code]

  1. Voir par exemple G. Endimioni, Une introduction aux groupes nilpotents : Cours de D.E.A., Université de Provence, Centre de Mathématiques et d'Informatique,‎ 1996/1997 (pdf lire en ligne), p. 3.
  2. N. Bourbaki, Algèbre, I, chap. 1, § 6, n° 3, p. I.68.
  3. Voir par exemple J. Calais, Éléments de théorie des groupes, Paris, 1984, p. 247, ou encore G. Endimioni, Une introduction aux groupes nilpotents : Cours de D.E.A., Université de Provence, Centre de Mathématiques et d'Informatique,‎ 1996/1997 (pdf lire en ligne), p. 3-4.
  4. Pour une démonstration, voir par exemple Jean Fresnel, Groupes, Paris, Hermann, 2001, exerc. 8.70, p. 135-136.
  5. Endimioni 1996/1997, p. 4-5, ou encore (en) D. J. S. Robinson (de), A Course in the Theory of Groups, Springer,‎ 1996, 2e éd. (lire en ligne), p. 127.
  6. Ce n'est pas forcément le cas d'un p-groupe infini. Voir Robinson 1996, p. 139.
  7. N. Bourbaki, Algèbre, Paris,‎ 1970, chap. 1, p. 71
  8. Endimioni 1996/1997, prop. 5.3
  9. Endimioni 1996/1997, prop. 6.1 et cor. 6.1
  10. Endimioni 1996/1997, prop. 5.4
  11. (de) B. Baer, « Engelsche Elemente Noetherscher Gruppen », Math. Ann., vol. 133,‎ 1957, p. 256-270 (lire en ligne)
  12. (en) Gunnar Traustason, « Engel Groups », dans Groups St Andrews 2009 in Bath, coll. « Groups St Andrews, A series of conferences on group theory » (lire en ligne)
  13. Voir par exemple Robinson 1996, p. 132.
  14. Appliquer (en) John C. Lennox et Derek J. S. Robinson, The Theory of Infinite Soluble Groups, Clarendon Press,‎ 2004 (ISBN 978-0-19850728-4, lire en ligne), énoncé 1.2.14 (ii), p. 11, au sous-groupe de G engendré par x et y, sous-groupe qui est nilpotent de classe au plus c.
  15. Pour l'équivalence entre 1, 5, 6 et 7, voir par exemple Bourbaki 1970, ch. 1, § 6, n° 7, théorème 4 et remarque 2, p. I.76-I.77. Pour l'équivalence entre 1, 3, 4, 6 et 7, voir par exemple (en) J. S. Rose, A Course on Group Theory, rééd. Dover,‎ 1994, théor. 11.3, p. 266-267.
  16. Voir Robinson 1996, 5.2.4, p. 130, où la finitude de G n'est pas utilisée dans la démonstration des trois premières implications.
  17. (en) Joseph J. Rotman, An Introduction to the Theory of Groups [détail de l’édition], 4e éd., tirage de 1999, exerc. 5.41, p. 118.
  18. (en) C. Charles Richard Leedham-Green (en) et Susan R. McKay, The Structure of Groups of Prime Power Order, Oxford University Press, 2002, cor. 3.3.4, (iii), p. 60-61.
  19. Robinson 1996, exerc. 5.1.9, p. 128.

Voir aussi[modifier | modifier le code]

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