Sous-groupe de Hall

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En théorie des groupes (une branche des mathématiques), les sous-groupes de Hall d'un groupe fini sont les sous-groupes dont l'ordre et l'indice sont premiers entre eux. Ils portent le nom du mathématicien Philip Hall.

Définition[modifier | modifier le code]

Soit G un groupe fini. Un sous-groupe de G est appelé un sous-groupe de Hall de G si son ordre est premier avec son indice dans G. Autrement dit, un sous-groupe H de G est dit sous-groupe de Hall si \ |H| est premier avec \frac{|G|}{|H|}. Cela revient encore à dire que pour tout diviseur premier p de \ |H|, la puissance à laquelle p figure dans \ |H| est la même que celle à laquelle il figure dans \ |G|.

Propriétés[modifier | modifier le code]

  • Le fait ci-dessus a par exemple pour conséquence importante que le complément normal dont le théorème du complément normal de Burnside assure l'existence est non seulement normal mais caractéristique.
  • P. Hall a prouvé[2],[3] que si G est un groupe fini, les deux conditions suivantes sont équivalentes :
    • pour tout diviseur d de |G| tel que d soit premier avec \frac{|G|}{d}, il existe un sous-groupe (de Hall) d'ordre d de G
    • G est résoluble

Dans ce cas, les sous-groupes de Hall d'un ordre donné de G forment une classe de conjugaison dans G.

Exemple[modifier | modifier le code]

Parmi les diviseurs d de |G| tels que d soit premier avec |G|/d figurent en particulier les d=pn, où p est un nombre premier et n l'entier maximum tel que pn divise |G|. Les sous-groupes de Hall correspondants sont exactement les p-sous-groupes de Sylow de G. Hall étend donc à tous les diviseurs d de |G| tels que d soit premier avec |G|/d le théorème classique sur l'existence des p-sous-groupes de Sylow d'un groupe fini, mais seulement sous l'hypothèse supplémentaire que G est résoluble[4].

Notes et références[modifier | modifier le code]

  1. (en) J. J. Rotman, An Introduction to the Theory of Groups,‎ 1999, 4e éd., 2e tirage, exerc. 5.26, p. 107 ; exerc. 5.31, p. 111. Le fait que si G est un groupe fini et H un sous-groupe de Hall normal d'ordre r de G, alors H est l'ensemble des éléments x de G tels que xr = 1 a été énoncé et démontré par G. Frobenius, « Über endliche Gruppen », Sitzungsberichte der Königlich Preussischen Akademie der Wissenschaften zu Berlin, janvier à mai 1895, p. 170, consultable sur le site Internet Archive. (Référence à Frobenius donnée par W. Burnside, Theory of Groups of Finite Order, 2e édition, 1911, réimpr. Dover, 2004, p. 53.)
  2. Ne pas confondre avec un autre théorème de Hall, résultat combinatoire plus connu sous le nom de « lemme des mariages ».
  3. (en) P. Hall, « A note on soluble groups », J. London Math. Soc., vol. 3,‎ 1928, p. 98-105
  4. Rotman 1999, théor. 5.28, p. 108 et théor. 5.29, p. 110