Théorème d'inversion de Lagrange

En mathématiques, le théorème d'inversion de Lagrange fournit le développement en série de certaines fonctions définies implicitement ; la formule d'inversion de Lagrange, connue aussi sous le nom de formule de Lagrange-Bürmann, en est un cas particulier donnant le développement en série de Taylor de la bijection réciproque d'une fonction analytique.

Formule générale[modifier | modifier le code]

Si $z$ est une fonction de $x$ , de $y$ et d'une fonction $f$ indéfiniment dérivable, telle que

z=x+yf(z)

alors pour toute fonction $g$ indéfiniment dérivable, on a

g(z)=g(x)+\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {y^{k}}{k!}}\left({\frac {\partial }{\partial x}}\right)^{k-1}\left(f(x)^{k}g'(x)\right)

pour $y$ petit, si la série converge (voir plus loin pour la version formelle de cette identité).

Si $g$ est la fonction identité on obtient alors

z=x+\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {y^{k}}{k!}}\left({\frac {\partial }{\partial x}}\right)^{k-1}\left(f(x)^{k}\right)

Cas particuliers[modifier | modifier le code]

Cas de la bijection réciproque[modifier | modifier le code]

Si on prend $x = 0$ et $f (z) = z ⁄ h (z)$ où $h$ est une fonction analytique telle que $h (0) = 0$ et $h' (0) \neq 0$ , on obtient la relation $y = h (z)$ et la formule d'inversion de Lagrange permet d'obtenir la série de Taylor de la fonction $h -1$ , à savoir :

z=h^{-1}(y)=\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {y^{k}}{k!}}\left({\frac {\partial }{\partial x}}\right)^{k-1}\left({\frac {x}{h(x)}}\right)^{k}

les dérivées étant calculées en $x = 0$ .

Plus précisément, soit $f$ une fonction (de variable complexe) analytique au point $a$ telle que $f'(a) \neq 0$ . On peut alors résoudre l'équation en $w$ , $f (w) = z$ pour $z$ appartenant à un voisinage de $f (a)$ , obtenant $w = g (z)$ , où $g$ est analytique au point $b = f (a)$ . On dit que $g$ est obtenu par inversion de série.

Le développement en série de $g$ est donné par^[1]

g(z)=a+\sum _{n=1}^{\infty }\left(\lim _{w\to a}\left({\frac {\mathrm {d} ^{\,n-1}}{\mathrm {d} w^{\,n-1}}}\left({\frac {w-a}{f(w)-b}}\right)^{n}\right){\frac {(z-b)^{n}}{n!}}\right).

Cette formule est en fait valable pour des séries formelles, et peut se généraliser de diverses façons : pour des fonctions de plusieurs variables, pour le cas où $f'(a) = 0$ (l'inverse $g$ étant alors une fonction multivaluée), et pour des extensions à des algèbres d'opérateurs, comme pour l'exponentielle ou le logarithme de matrices.

Ce théorème fut démontré par Lagrange^[2] et généralisé par Hans Heinrich Bürmann (en)^[3]^,^[4]^,^[5] à la fin du XVIII^e siècle. On peut l'obtenir à l'aide de la théorie (plus tardive) de l'intégrale de contour, mais c'est en réalité un résultat purement formel, dont on peut donner une preuve directe^[6].

Formule de Lagrange-Bürmann[modifier | modifier le code]

Un cas particulier du théorème, utilisé en combinatoire analytique, correspond à $f (w) = w / ϕ (w)$ et $ϕ (0) \neq 0$ . Prenant $a = 0$ et $b = f (0) = 0$ , on obtient

g(z)=\sum _{n=1}^{\infty }\left(\lim _{w\to 0}\left({\frac {\mathrm {d} ^{n-1}}{\mathrm {d} w^{n-1}}}\left({\frac {w}{w/\phi (w)}}\right)^{n}\right){\frac {z^{n}}{n!}}\right)

=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n}}\left({\frac {1}{(n-1)!}}\lim _{w\to 0}\left({\frac {\mathrm {d} ^{n-1}}{\mathrm {d} w^{n-1}}}\phi (w)^{n}\right)\right)z^{n},

ce qui peut aussi s'écrire

[z^{n}]g(z)={\frac {1}{n}}[w^{n-1}]\phi (w)^{n},

où $[w r]$ désigne le coefficient de $w r$ dans l'expression qui le suit.

Une généralisation utile de cette formule est connue comme la formule de Lagrange–Bürmann :

[z^{n}]H(g(z))={\frac {1}{n}}[w^{n-1}](H'(w)\phi (w)^{n})

,

où $H$ peut être une série formelle ou une fonction analytique arbitraire, par exemple $H (w) = w k$ .

Applications[modifier | modifier le code]

Fonction W de Lambert[modifier | modifier le code]

La fonction W de Lambert est la fonction $W (z)$ définie par l'équation implicite

W(z)\mathrm {e} ^{W(z)}=z.\,

Le théorème de Lagrange permet de calculer la série de Taylor de $W (z)$ près de $z = 0$ . Prenant $f (w) = w e w$ et $a = b = 0$ , on remarque que

{\frac {\mathrm {d} ^{n}}{\mathrm {d} x^{n}}}\ \mathrm {e} ^{\alpha \,x}\,=\,\alpha ^{n}\,\mathrm {e} ^{\alpha \,x}

ce qui donne

W(z)=\sum _{n=1}^{\infty }\lim _{w\to 0}\left({\frac {\mathrm {d} ^{\,n-1}}{\mathrm {d} w^{\,n-1}}}\ \mathrm {e} ^{-nw}\right){\frac {z^{n}}{n!}}\,=\,\sum _{n=1}^{\infty }(-n)^{n-1}\,{\frac {z^{n}}{n!}}=z-z^{2}+{\frac {3}{2}}z^{3}-{\frac {8}{3}}z^{4}+{\frac {125}{24}}z^{5}-\dotsb .

Le rayon de convergence de cette série est $e -1$ (ce qui correspond à la branche principale de la fonction de Lambert).

On peut obtenir une série ayant un plus grand rayon de convergence par la même méthode : la fonction $f (z) = W (e z) - 1$ vérifie l'équation

1+f(z)+\ln(1+f(z))=z.\,

Développant $z + ln (1 + z)$ en série et inversant celle-ci, on obtient pour $f (z + 1) = W (e z + 1) - 1$ :

W(\mathrm {e} ^{1+z})=1+{\frac {z}{2}}+{\frac {z^{2}}{16}}-{\frac {z^{3}}{192}}-{\frac {z^{4}}{3072}}+{\frac {13z^{5}}{61440}}-{\frac {47z^{6}}{1474560}}-{\frac {73z^{7}}{41287680}}+{\frac {2447z^{8}}{1321205760}}+O(z^{9}).

$W (x)$ peut s'en déduire en substituant $ln x - 1$ à $z$ dans cette série. Par exemple, prenant $z = -1$ , on trouve $W (1) = 0,567143$ à 10^-6 près.

Combinatoire analytique[modifier | modifier le code]

Notes et références[modifier | modifier le code]

Notes[modifier | modifier le code]

(en) Cet article est partiellement ou en totalité issu de l’article de Wikipédia en anglais intitulé « Lagrange inversion theorem » (voir la liste des auteurs).

Références[modifier | modifier le code]

↑ (en) Milton Abramowitz et Irene Stegun, Handbook of Mathematical Functions with Formulas, Graphs, and Mathematical Tables [détail de l’édition] (lire en ligne), chap. 3.6.6. : « Lagrange's Expansion », p. 14
↑ Joseph-Louis Lagrange, « Nouvelle méthode pour résoudre les équations littérales par le moyen des séries », Mémoires de l'Académie Royale des Sciences et Belles-Lettres de Berlin, vol. 24,‎ 1770, p. 251–326 (lire en ligne) (soumis en 1768)
↑ Hans Heinrich Bürmann, « Essai de calcul fonctionnaire aux constantes ad-libitum », Institut National de France,‎ soumis en 1796. Pour un résumé de cet article, cf. (de) Bürmann, « Versuch einer vereinfachten Analysis; ein Auszug eines Auszuges », dans C. F. Hindenburg, Archiv der reinen und angewandten Mathematik, vol. 2, Leipzig, Schäferischen Buchhandlung, 1798 (lire en ligne), p. 495-499
↑ Hans Heinrich Bürmann, Formules du développement, de retour et d'intégration, soumis à l'Institut National de France. Le manuscrit de Bürmann est conservé dans les archives de l'École nationale des ponts et chaussées à Paris
↑ Lagrange et Legendre, « Rapport sur deux mémoires d'analyse du professeur Burmann », Mémoires de l'Institut National des Sciences et Arts: Sciences Mathématiques et Physiques, vol. 2,‎ 1799, p. 13-17 (lire en ligne)
↑ Voir l'article anglais sur les séries formelles