Fonction multivaluée

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Ce diagramme représente une multifonction : à chaque élément de X on fait correspondre une partie de Y ; ainsi à l'élément 3 de X correspond la partie de Y formée des deux points b et c.

En mathématiques, une fonction multivaluée (aussi appelée fonction multiforme, fonction multivoque ou simplement multifonction) est une relation qui à un élément d'un ensemble associe un ou plusieurs éléments d'un second ensemble. On peut donc voir une multifonction comme une fonction classique prenant ses valeurs dans l'ensemble des parties du second ensemble, même si ce n'est pas nécessairement le point de vue le plus fructueux. Par contraste, si l'image de chaque point est un singleton, on dit que l'application est univoque.

Un exemple simple de fonction multivaluée est la fonction réciproque d'une application non injective : à tout point dans son image on fait correspondre l'image réciproque formée des antécédents de ce point.

Les fonctions multivaluées apparaissent en analyse complexe où l'on peut en considérer des déterminations, c'est-à-dire des restrictions sur ces relations qui en font des fonctions et qui permettent de calculer certaines intégrales réelles par le biais du théorème des résidus comme ce sera illustré plus bas ; l'utilisation en est cependant malaisée et a été remplacée par la considération plus abstraite de fonctions (univaluées) sur des surfaces de Riemann.

Les multifonctions se rencontrent également en analyse convexe et non lisse : les cônes tangent et normal à un ensemble, le sous-différentiel d'une fonction sont des multifonctions. Cette observation et d'autres ont donné une nouvelle impulsion au développement de l'analyse multifonctionnelle (voir la bibliographie).

Exemples[modifier | modifier le code]

La racine carrée[modifier | modifier le code]

Article détaillé : racine carrée.
Article détaillé : racine d'un nombre complexe.
  • Dans les réels, à chaque élément positif x, la relation "racine carrée" fait correspondre deux éléments |y| et -|y| avec  |y|^2 = x . On se restreint de manière habituelle à la valeur positive |y| pour avoir alors la fonction racine carrée.
  • Dans les complexes, en définissant un élément z du plan complexe \mathbb C par  z=|z|\mathrm{e}^{i\theta} avec  \theta l'argument de z, les racines carrées de z sont les nombres w_k (k\in\mathbb Z) donnés par :
 w_k = \sqrt{|z|}\mathrm{e}^{i\theta/2}\mathrm{e}^{i\pi k}
on vérifie en effet que  w_k^2 = |z|\mathrm{e}^{i\theta} \mathrm{e}^{2i\pi k} = z puisque  \mathrm{e}^{2i\pi k} vaut l'unité pour tout entier k.

Le logarithme complexe[modifier | modifier le code]

Article détaillé : logarithme complexe.

En définissant un élément z du plan complexe comme précédemment, le logarithme complexe de z sont les nombres w_k (k\in \mathbb Z) donnés par :

 w_k  = \ln|z| + i\theta + 2i\pi k

on vérifie en effet que  \exp(w_k) = |z|\mathrm{e}^{i\theta}\mathrm{e}^{2i\pi k} = z puisque, comme précédemment,  \mathrm{e}^{2i\pi k} vaut l'unité pour tout entier k.

Définitions[modifier | modifier le code]

Multifonction[modifier | modifier le code]

Soient X et Y deux ensembles. Une application multivoque ou simplement multifonction F:X\multimap Y est une application qui à un élément x\in X fait correspondre une partie F(x) de Y. Il s'agit donc d'une fonction de X dans \mathcal{P}(Y), l'ensemble des parties de Y.

Ce n'est cependant pas le point de vue de fonction à valeurs dans \mathcal{P}(Y) qui prime dans certaines définitions. Ainsi, on appelle graphe de F la partie de X\times Y, et non pas de X\times \mathcal{P}(Y), suivante


\mathcal{G}(F):=\{(x,y)\in X\times Y:y\in F(x)\}.

En fait, toute partie G de X\times Y est le graphe de la multifonction F:X\multimap Y définie par F(x):=\{y\in Y:(x,y)\in G\}. Il y a donc une bijection entre les multifonctions F:X\multimap Y et les parties de X\times Y.

Domaine, image, sélection[modifier | modifier le code]

Le domaine et l'image de F se définissent respectivement par


\mathcal{D}(F)~:=~\{x\in X: F(x)\ne\varnothing\}~=~\pi_X(\mathcal{G}(F))


\mathcal{R}(F)~:=~\{y\in Y: \exists\,x\in X ~\mbox{tel que}~y\in F(x)\}~=~\pi_Y(\mathcal{G}(F)),

\pi_X:X\times Y\to X:(x,y)\mapsto x et \pi_Y:X\times Y\to Y:(x,y)\mapsto y sont les projections canoniques sur X et Y.

L'image d'une partie P\subset X est définie par


F(P):=\bigcup_{x\in P} F(x)=\{y\in Y:F^{-1}(y)\cap P\ne\varnothing\}.

Clairement, \mathcal{R}(F)=F(X).

Une sélection de F est une fonction f:\mathcal{D}(F)\to Y telle que, pour tout x\in\mathcal{D}(F), on a f(x)\in F(x).

Multifonction réciproque[modifier | modifier le code]

La multifonction réciproque F^{-1}:Y\multimap X de la multifonction F:X\multimap Y est définie en y\in Y par


F^{-1}(y)=\{x\in X:y\in F(x)\}.

Pour x\in X et y\in Y, on a


y\in F(x)
\quad\Longleftrightarrow\quad
x\in F^{-1}(y),

ce qui s'exprime aussi par


(x,y)\in\mathcal{G}(F)
\quad\Longleftrightarrow\quad
(y,x)\in\mathcal{G}(F^{-1}).

Ceci permet de voir que


\mathcal{D}(F^{-1})=\mathcal{R}(F),
\quad
\mathcal{D}(F)=\mathcal{R}(F^{-1})

et pour une partie Q\subset Y :


F^{-1}(Q):=
\bigcup_{y\in Q} F^{-1}(y)=\{x\in X:F(x)\cap Q\ne\varnothing\}.

Analyse multifonctionnelle[modifier | modifier le code]

L'analyse multifonctionnelle s'intéresse à l'étude des multifonctions, à leur hémicontinuité, à leur caractère borné, à leur lipschitzianité, aux multifonctions polyédriques, à la recherche de leurs zéros (des points qui contiennent zéro dans leur image), etc.

Certaines propriétés se définissent naturellement pour des multifonctions, comme la monotonie, l'accrétivité, etc.

Déterminations[modifier | modifier le code]

Pour la racine carrée complexe et le logarithme complexe, on appelle détermination une restriction sur l'argument \theta de la valeur correspondante. Plus explicitement, une détermination pour la racine carrée est donnée par :

 \sqrt{z} = \sqrt{|z|}\mathrm{e}^{i\theta/2}, \quad (\theta \in [\theta_0, \theta_0+2\pi[)

avec  \theta_0 un angle quelconque caractérisant la détermination.

De même, une détermination pour le logarithme complexe est donnée par :

 \log{z} = \ln{|z|} + i\theta, \quad (\theta \in ]\theta_0, \theta_0+2\pi])

On appelle détermination principale du logarithme la restriction de l'argument à l'intervalle semi-ouvert  ]-\pi, \pi].

Remarquons que, à une détermination près, la fonction racine carrée complexe et le logarithme complexe sont des fonctions holomorphes sur tout le plan complexe excepté la demi-droite partant de l'origine et d'angle \theta_0 par rapport à l'axe des abscisses. Dans le cas de la détermination principale, les deux fonctions sont holomorphes sur \mathbb C\backslash]-\infty, 0] . La discontinuité sur l'axe réel négatif est illustrée sur les deux figures ci-dessous.

Application au calcul d'intégrales réelles[modifier | modifier le code]

Considérer une détermination particulière permet, en s'aidant du théorème des résidus, de calculer certaines intégrales réelles qu'il serait autrement ardu de calculer.

Remarque : la relation suivante est souvent utilisée comme ce sera illustré dans l'exemple ci-dessous :  z^\alpha = \mathrm{e}^{\alpha\mathrm{log}(z)}.

Exemple avec le logarithme complexe[modifier | modifier le code]

Figure 3 : Illustration du contour \gamma (en bleu) employé pour le premier exemple. Les deux pôles simples \pm i sont représentés en rouge. La partie \gamma_R représente le cercle extérieur de rayon R, la partie \gamma_\epsilon représente le demi-cercle intérieur de rayon \epsilon. \gamma_{1,2} sont les deux segments restants.

Problème : calculer l'intégrale suivante :

 I = \int_0^{+\infty} {x^a\over 1+x^2}\mathrm{d}x

pour  |a|<1 .

Solution : En considérant le contour \gamma illustré à la figure 3 ainsi que la détermination suivante du logarithme :

 \mathrm{log}(z) = \ln|z| + i\theta, \quad (\theta\in[0, 2\pi[)

(le contour "entoure" donc la discontinuité de la détermination que nous avons choisie), on obtient : pour 0<|a|<1  : I = \pi{\sin(a\pi/2)+\sin(3a\pi/2)\over \sin(a\pi/2)} et pour  a=0, l'intégrale vaut \pi.

Exemple avec la racine carrée complexe[modifier | modifier le code]

Figure 4 : Illustration du contour \gamma (en bleu) employé pour le second exemple. Les deux points de branchement \pm 1 sont représentés en rouge. Le pôle simple restant (l'origine) est représenté en vert. \gamma_R représente le cercle extérieur de rayon R, \gamma_\epsilon et son homologue représentent les demi-cercles intérieurs de rayon \epsilon, les \gamma_i sont les segments restants.

Problème : calculer l'intégrale suivante par la méthode des résidus :

 I = \int_{1}^{+\infty} {\mathrm{d}x\over x\sqrt{x^2-1}}

(la fonction est uniformisée par la coupure le long de l'axe réel reliant -\infty à -1 et 1 à +\infty.)

Solution : l'intégrande a une primitive (à savoir -\mathrm{atan}\left[\left(x^2-1\right)^{-1/2}\right] ) et on a donc immédiatement  I = {\pi\over 2} . On obtient ce même résultat en considérant le contour \gamma illustré à la figure 4 ci-contre et en utilisant :

\sqrt{z^2-1} = \sqrt{z-1}\sqrt{z+1}

Pour le premier terme du produit, on considèrera la détermination suivante :

 \sqrt{z-1} = \sqrt{|z-1|}\mathrm{e}^{i\theta_1/2},\quad \theta_1 \in [0, 2\pi[ ,

pour l'autre, on considérera la détermination principale :

\sqrt{z+1} = \sqrt{|z+1|}\mathrm{e}^{i\theta_2/2},\quad \theta_2\in [-\pi, \pi[.

sous ces déterminations, la fonction est holomorphe sur  \mathbb C\backslash \left(]-\infty, -1]\cup[+1, \infty[\right) .

Surfaces de Riemann[modifier | modifier le code]

Article détaillé : surface de Riemann.
Surface de Riemann associée à la fonction racine carrée.

La théorie peu opérante des fonctions multivaluées pour les fonctions de la variable complexe est remplacée dans les mathématiques modernes par le concept plus abstrait de fonction (univaluée) définie sur une surface de Riemann.

Ce point de vue consiste à considérer le domaine de définition d'une fonction multivaluée comme un objet plus élaboré que le plan complexe : une variété complexe de dimension 1.

Annexes[modifier | modifier le code]

Notes[modifier | modifier le code]

  1. on parle ici de singularité au sens large du terme (et donc pas uniquement d'une singularité isolée) c'est-à-dire que la fonction n'est pas analytique en la singularité mais que n'importe quel voisinage ouvert non vide de la singularité contient au moins un point pour lequel la fonction est analytique. [MATHEWS, HOWELL - p.232]

Voir aussi[modifier | modifier le code]

Bibliographie[modifier | modifier le code]

  • (en) J.-P. Aubin, Arrigo Cellina (1984). Differential Inclusions, Set-Valued Maps And Viability Theory. Grundlehren der mathematischen Wissenschaften, vol. 264, Springer Verlag, Berlin.
  • (en) J.-P. Aubin, H. Frankowska (1990). Set-Valued Analysis, Birkhäuser, Basel.
  • (en) John H. Mathews, Russel W. Howell (1997). Complex Analysis for Mathematics and Engineering, 3d edition. Jones and Bartlett Publishers International. (ISBN 0-7637-0270-6)
  • (en) R.T. Rockafellar, R. Wets (1998). Variational Analysis. Grundlehren der mathematischen Wissenschaften, vol. 317, Springer.
  • Murray R. Spiegel (1973). Variables Complexes. Schaum, (ISBN 2-7042-0020-3)