Équation du temps

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En France^[1], on appelle équation du temps la courbe qui montre, jour après jour et sur une année en un lieu donné, la différence entre le temps solaire moyen et le temps solaire vrai^[2]^,^[3];

le temps solaire moyen est l'heure indiquée par une horloge parfaitement régulière^[4],
le temps solaire ou temps vrai est l'heure indiquée par un cadran solaire. Autrement, cette mesure de temps se base sur la définition de midi vrai: l'instant où le Soleil passe par le méridien local.

Pour donner un sens à cette différence, elle est calculée à midi vrai, c'est à dire lorsque midi est indiqué sur le cadran solaire;

lorsqu'elle est positive, le soleil est en retard par rapport au temps solaire moyen,
lorsqu'elle est négative, le soleil est en avance par rapport au temps solaire moyen.

Exemple: si cette différence est égale à +8 minutes, alors il sera 12h08 du temps solaire moyen lorsque le cadran indiquera midi vrai.

Sommaire

1 Origine et caractéristiques
2 Usage
3 Formule
- 3.1 Version simplifiée
- 3.2 Version plus précise
4 Explications et démonstration de la formule
- 4.1 Remarques
5 Notes et références
6 Voir aussi

[modifier] Origine et caractéristiques

La forme de la courbe « équation du temps » résulte de la superposition de deux caractéristiques du mouvement de la Terre autour du Soleil^[5]:

l'ellipticité de son orbite, caractérisée par son excentricité,
l'inclinaison de son axe de rotation sur le plan de l'écliptique, aussi appelée obliquité.

Équation du temps (courbe rouge)

Les courbes verte et bleue sur la figure ci-contre montre la contribution respective de chacune d'elles, et la courbe rouge leur somme, c'est à dire l'équation du temps. Elle s'annule quatre fois par an, vers la mi-avril, la mi-juin, début septembre et à Noël. Elle atteint son maximum vers la mi-février, de l'ordre de 14 minutes 6 secondes, et son minimum vers le début novembre − 16 min 33 secondes environ.

La forme de la courbe « équation du temps », c'est à dire la valeur des extrema et leur position ainsi que les instants de son annulation, évolue très lentement au cours des années pour au moins 2 raisons:

la Terre dans son mouvement autour du Soleil subit l'influence des autres planètes du système solaire, ce qui entraine une variation de l'excentricité de son orbite,
la Terre dans sa rotation sur elle-même subit l'nfluence du couple (Lune, Soleil), ce qui entraine une variation de son obliquité en inclinaison et direction; ces phénomènes sont connus et décrits sous le nom de nutation en longitude, nutation en obliquité et précession des équinoxes.

[modifier] Usage

L'équation du temps sert à corriger l'heure donnée par les cadrans solaires, le temps solaire vrai, pour obtenir le temps solaire moyen. À cet effet, l'équation du temps est parfois représentée sur les cadrans solaires par une courbe appelée analemme ou courbe en 8. Certains cadrans peuvent même donner directement le temps moyen, soit parce que les droites horaires sont transformées en courbes corrigées de l'équation du temps, soit parce que le gnomon a reçu une forme tenant compte de cette correction. Dans les deux cas, il faut tenir compte de la période de l'année ou disposer de deux cadrans.

L'équation du temps est aussi à l'origine des curiosités à propos des jours de l'année où le Soleil se lève ou se couche le plus tôt ou le plus tard. Ainsi, si le jour le plus court de l'année est bien le jour du solstice d'hiver, vers le 21 décembre, c'est quelques jours avant ce solstice, vers le 13 décembre, que le Soleil se couche le plus tôt dans l'année. De même c'est quelques jours après le solstice, vers le 3 janvier, que le Soleil se lève le plus tard; en fait, l'importance de cet écart dépend également de la latitude. Les mêmes décalages, inversés et moins importants, se retrouvent autour du solstice d'été.

[modifier] Formule

Puisqu'elle est liée au déplacement de la Terre autour du Soleil, l'équation du temps peut se calculer très précisément. On en trouve aussi des tables détaillées dans les éphémérides astronomiques.

[modifier] Version simplifiée

L'équation du temps (E = « temps solaire moyen » - « temps solaire vrai ») peut être approchée par la formule:

$E=-9,87\sin(2B)+7,53\cos(B)+1,5\sin(B)~$

où $E$ est exprimée en minutes, et la quantité

$B=\frac{2\pi(N-81)}{365}$

exprimée en radians, dépend du numéro du jour de l'année ( $N = 1$ le premier janvier).

[modifier] Version plus précise

Étapes du calcul :

Calcul de l'anomalie moyenne $M=357,5291^\circ+0,98560028(J-J_{2000}),$

avec $J 2000 = 2451545$ . $J$ est le jour julien de la date considérée. En première approximation, $(J - J 2000)$ peut être remplacé par le numéro $d$ du jour dans l'année ( $d = 1$ le premier janvier).

Contribution de l'ellipticité de la trajectoire : c'est l'équation du centre en radian $C=\left(2e-\frac{1}{4}e^3\right)\sin(M)+\frac{5}{4}e^2\sin(2M)+\frac{13}{12}e^3\sin(3M)$ où $e = 0,01671$ représente l'excentricité de la trajectoire de la Terre autour du Soleil. Application numérique : $C=1,9148^\circ\sin(M)+0,0200^\circ\sin(2M)+0,0003^\circ\sin(3M)\,$
Calcul de la longitude écliptique $\lambda_s=280,4665^\circ+0,98564736(J-J_{2000})+C,$

la petite différence de période entre $λ s$ et M est est due à la précession des équinoxes

Contribution de l'obliquité de la Terre : c'est la réduction à l'équateur (en radian) $R=(-y^2)\sin(2\lambda_s) +\left(\frac{1}{2}y^4\right)\sin(4\lambda_s)-\left(\frac{1}{3}y^6\right)\sin(6\lambda_s) \,$ où $y = tan(ε / 2)$ ; $ε = 23,43929 o$ représente l'inclinaison de l'axe de la Terre par rapport au plan de l'écliptique. Application numérique : $R= -2,4680^\circ\sin(2\lambda_s) + 0,0530^\circ\sin(4\lambda_s) -0,0014^\circ\sin(6\lambda_s)\,$
Valeur de l'équation du temps

E = C + R

Equation du temps en minutes:

$\Delta T = E \times 4$

où $E$ est exprimé en degrés.

[modifier] Explications et démonstration de la formule

La figure 1 montre la Terre $T$ qui tourne sur elle même et qui tourne autour du Soleil $S$ en un an dans le plan de l'écliptique. La situation présentée correspond à l'automne. Le point $P$ est le périhélie atteint au début du mois de janvier. L'angle $θ$ s'appelle anomalie vraie. L'axe $γ$ appelé axe vernal ou point vernal est l'intersection du plan de l'écliptique avec le plan équatorial. Il sert d'origine pour mesurer la longitude écliptique $λ s$ .

figure 1

La figure 2 représente la Terre dans un repère fixe par rapport aux étoiles. L'obliquité $\varepsilon$ est l'angle entre le plan de l'écliptique et le plan de l'équateur.

figure 2

Appellons $t$ le temps qui s'écoule. Considérons un point $A\left(t\right)$ fixé sur Terre et positionné sur l'équateur. Il fait donc un tour en un jour sidéral de façon régulière.

Partant du centre de la terre, le point $S\left(t\right)$ est situé en direction du Soleil. Il se situe donc sur le cercle de l'écliptique. Le point $S\left(t\right)$ fait un tour en une année sidérale.

Comme l'orbite terrestre est elliptique et d'après les lois de Kepler, $S\left(t\right)$ ne tourne pas de façon régulière. Considérons le méridien passant par $S\left(t\right)$ et appelons $B\left(t\right)$ l'intersection de ce méridien avec l'équateur. Remarquons qu'il est midi solaire au point $A$ lorsque le point $A\left(t\right)$ traverse ce méridien (i.e. lorsque les points $A\left(t\right)$ et $B\left(t\right)$ coïncident). Remarquons aussi qu'un jour solaire

vrai est la durée qui sépare deux croisements de $A\left(t\right)$ et $B\left(t\right)$ . Plus généralement l'heure solaire vraie est l'angle entre $A\left(t\right)$ et $B\left(t\right)$ :

$H_{V}\left(t\right)=\widehat{BA}=\widehat{B\gamma}+\widehat{\gamma A}$

$H V$ est l'heure qu'indiquerait un cadran solaire.

Pour définir l'heure solaire moyenne, il faut se référer à des mouvements réguliers (moyennés). Nous avons vu que le point $A\left(t\right)$ a un mouvement régulier. Ce n'est pas le cas du point $B\left(t\right)$ , ni même du point $S\left(t\right)$ . A la place de $S\left(t\right)$ on considère un point virtuel $\tilde{S}\left(t\right)$ sur l'écliptique qui a un mouvement régulier et de même période (on verra que $\tilde{S}\left(t\right)$ est directement relié à l'anomalie moyenne $M\left(t\right)$ ).

Par conséquent l'heure solaire moyenne est:

$H_{M}\left(t\right)=\widehat{\tilde{S}\gamma}+\widehat{\gamma A}$

Par définition l'équation du temps est la différence:

$E\left(t\right)=H_{M}-H_{V}=\widehat{\tilde{S}\gamma}+\widehat{\gamma B}$

Or une relation de trigonométrie donne:

$\tan\left(\widehat{\gamma B}\right)=\cos\varepsilon\tan\left(\widehat{\gamma S}\right)$

En effet, projetons à partir du centre de la terre le triangle sphérique $S γ B$ sur le plan tangent à la terre au point vernal $γ$ . Il devient un triangle rectangle d'angle $\varepsilon$ au sommet $γ$ et de côté adjacent $a=\tan(\widehat{\gamma B})$ et d'hypothénuse $h=\tan(\widehat{\gamma S})$ . On déduit la relation $a=h\cos\varepsilon$ .

On déduit:

$\tan\left(\widehat{\gamma\tilde{S}}+E\right)=\cos\varepsilon\tan\left(\widehat{\gamma S}\right)$

et l'expression de l'équation du temps:

$E\left(t\right)=-\widehat{\gamma\tilde{S}}+\arctan\left(\cos\varepsilon\tan\left(\widehat{\gamma S}\right)\right)$

[modifier] Remarques

Dans cette dernière équation tout est connu. D'une part, d'après la figure 1 il apparaît que l'angle $\widehat{\gamma S}$ est reliée à la longitude écliptique $λ s$ par $\widehat{S\gamma}+\lambda_{s}=(\widehat{\overrightarrow{TS},\gamma})+(\widehat{\gamma,\overrightarrow{ST}})=\pi$

et $λ s$ elle même est reliée à l'anomalie vraie $\theta\left(t\right)$ par $\lambda_{s}=\theta+\overline{\omega}$ où $\overline{\omega}$ est la longitude du périhélie. Donc

$\begin{matrix} \widehat{\gamma S} & = & \theta\left(t\right)+\overline{\omega}-\pi & \simeq & \theta\left(t\right)+102.94^\circ \end{matrix}$

De même $\widehat{\gamma\tilde{S}}$ est relié à l'anomalie moyenne $M\left(t\right)$ par

$\widehat{\gamma\tilde{S}}=M\left(t\right)+\overline{\omega}-\pi$

Traditionnellement on décompose $E (t)$ de la façon suivante: $E\left(t\right)=\underbrace{\left(\widehat{\gamma S}-\widehat{\gamma\tilde{S}}\right)}_{C}+\underbrace{\left(-\widehat{\gamma S}+\arctan\left(\cos\varepsilon\tan\left(\widehat{\gamma S}\right)\right)\right)}_{R}$

Le premier terme $C$ appelé "contribution de l'ellipticité" ou équation du centre $C=\left(\widehat{\gamma S}-\widehat{\gamma\tilde{S}}\right)=\theta\left(t\right)-M\left(t\right)$ est dû à l'ellipticité de l'orbite terrestre. Dans un modèle où la Terre aurait un mouvement circulaire et régulier, on aurait $\tilde{S}=S$ et seul le deuxième terme $R$ appelé réduction à l'équateur dû à l'obliquité $\varepsilon$ interviendrait. Remarquer que si $\varepsilon=0$ (le soleil en permanence dans le plan de l'équateur) ce dernier terme serait nul.

A l'aide d'un développement limité et posant $y:=\tan\frac{\varepsilon}{2}\simeq0.20$ le terme réduction à l'équateur ci-dessus peut s'écrire

$\begin{align} R & = & \arctan\left(\cos\varepsilon\tan\left(\widehat{\gamma S}\right)\right)-\widehat{\gamma S} \\ & = & \arctan\left(\cos\varepsilon\tan\left(\lambda_{s}-\pi\right)\right)-\left(\lambda_{s}-\pi\right) \\ & = & -\arctan\left(\frac{\sin\left(2\lambda_{s}\right)y^{2}}{1+y^{2}\cos\left(2\lambda_{s}\right)}\right) \\ & \simeq & -y^{2}\sin\left(2\lambda_{s}\right)+\frac{1}{2}y^{4}\sin\left(4\lambda_{s}\right)-\frac{1}{3}y^{6}\sin\left(6\lambda_{s}\right)+\ldots \end{align}$

[modifier] Notes et références

↑ D'autres pays utilise la valeur en sens contraire, c'est-à-dire on prend la différence temps solaire vrai - temps solaire moyen; en particulier en Grande-Bretagne, aux USA, à l'Allemagne.
↑ Voir définition donnée par l'« Institut de mécanique céleste et de calcul des éphémérides » (Observatoire de Paris - Bureau des longitudes - CNRS) Temps vrai, temps moyen, équation du temps.
↑ Voir définition donnée par Laplace dans son livre Exposition du système du monde - Livre Premier, chapitre 3, fin du §3.
↑ Pierre Simon Laplace dans son livre Exposition du système du monde - Livre Premier, chapitre 3 introduit cette notion à l'aide d'un soleil fictif.
↑ Voir §2 de Exposition du système du monde - Livre Premier, chapitre 3

[modifier] Voir aussi

[modifier] Articles connexes

[modifier] Liens externes

(fr) Les échelles de temps par l'Institut de mécanique céleste et de calcul des éphémérides
(fr) L'équation du temps de Kepler
(en) Article très complet sur l'équation du temps

[modifier] Bibliographie

Exposition du système du monde de Pierre-Simon Laplace (23 mars 1749 - 5 mars 1827)

Portail de l’astronomie

[0] D'autres pays utilise la valeur en sens contraire, c'est-à-dire on prend la différence temps solaire vrai - temps solaire moyen; en particulier en Grande-Bretagne, aux USA, à l'Allemagne.

[1] Voir définition donnée par l'« Institut de mécanique céleste et de calcul des éphémérides » (Observatoire de Paris - Bureau des longitudes - CNRS) Temps vrai, temps moyen, équation du temps.

[2] Voir définition donnée par Laplace dans son livre Exposition du système du monde - Livre Premier, chapitre 3, fin du §3.

[3] Pierre Simon Laplace dans son livre Exposition du système du monde - Livre Premier, chapitre 3 introduit cette notion à l'aide d'un soleil fictif.

[4] Voir §2 de Exposition du système du monde - Livre Premier, chapitre 3

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Sommaire

[modifier] Origine et caractéristiques

[modifier] Usage

[modifier] Formule

[modifier] Version simplifiée

[modifier] Version plus précise

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[modifier] Remarques

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