Cet article porte sur les représentations du nombre e , une importante constante mathématique .
Elle peut être définie de différentes manières en tant que nombre réel . Puisque e est un nombre irrationnel , elle ne peut être représentée par une fraction ordinaire, mais bien par une fraction continue . En s'appuyant sur les résultats du calcul infinitésimal , e peut aussi être calculée à partir d'une série infinie , d'un produit infini et de plusieurs limites de suite .
Comme fraction continue
La constante e peut être représentée comme fraction continue simple (une démonstration est proposée dans l'article « Fraction continue et approximation diophantienne ». Voir aussi la suite A003417 de l'OEIS ) :
e
=
[
2
;
1
,
2
,
1
,
1
,
4
,
1
,
1
,
6
,
1
,
1
,
8
,
1
,
…
,
1
,
2n
,
1
,
…
]
{\displaystyle {\rm {e}}=[2;1,{\textbf {2}},1,1,{\textbf {4}},1,1,{\textbf {6}},1,1,{\textbf {8}},1,\ldots ,1,{\textbf {2n}},1,\ldots ]\,}
Voici quelques fractions continues généralisées (en notation de Pringsheim) . La deuxième est déduite de la première par conversion . La troisième, qui converge très rapidement, est un cas particulier de la quatrième.
e
=
2
+
1
∣
∣
1
+
1
∣
∣
2
+
2
∣
∣
3
+
3
∣
∣
4
+
4
∣
∣
⋯
{\displaystyle {\rm {e}}=2+{\frac {1\mid }{\mid 1}}+{\frac {1\mid }{\mid 2}}+{\frac {2\mid }{\mid 3}}+{\frac {3\mid }{\mid 4}}+{\frac {4\mid }{\mid \cdots }}}
e
=
2
+
2
∣
∣
2
+
3
∣
∣
3
+
4
∣
∣
4
+
5
∣
∣
5
+
6
∣
∣
⋯
{\displaystyle {\rm {e}}=2+{\frac {2\mid }{\mid 2}}+{\frac {3\mid }{\mid 3}}+{\frac {4\mid }{\mid 4}}+{\frac {5\mid }{\mid 5}}+{\frac {6\mid }{\mid \cdots }}}
e
=
1
+
2
∣
∣
1
+
1
∣
∣
6
+
1
∣
∣
10
+
1
∣
∣
14
+
1
∣
∣
⋯
{\displaystyle {\rm {e}}=1+{\frac {2\mid }{\mid 1}}+{\frac {1\mid }{\mid 6}}+{\frac {1\mid }{\mid 10}}+{\frac {1\mid }{\mid 14}}+{\frac {1\mid }{\mid \cdots }}}
e
x
/
y
=
1
+
2
x
∣
∣
2
y
−
x
+
x
2
∣
∣
6
y
+
x
2
∣
∣
10
y
+
x
2
∣
∣
14
y
+
x
2
∣
∣
⋯
{\displaystyle {\rm {e}}^{x/y}=1+{\frac {2x\mid }{\mid 2y-x}}+{\frac {x^{2}\mid }{\mid 6y}}+{\frac {x^{2}\mid }{\mid 10y}}+{\frac {x^{2}\mid }{\mid 14y}}+{\frac {x^{2}\mid }{\mid \cdots }}}
Comme séries infinies
La constante e est aussi égale à la somme de ces séries [ 1] :
e
=
[
∑
k
=
0
∞
(
−
1
)
k
k
!
]
−
1
{\displaystyle {\rm {e}}=\left[\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{k}}{k!}}\right]^{-1}}
e
=
[
∑
k
=
0
∞
1
−
2
k
(
2
k
)
!
]
−
1
{\displaystyle {\rm {e}}=\left[\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {1-2k}{(2k)!}}\right]^{-1}}
e
=
1
2
∑
k
=
0
∞
k
+
1
k
!
{\displaystyle {\rm {e}}={\frac {1}{2}}\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {k+1}{k!}}}
e
=
2
∑
k
=
0
∞
k
+
1
(
2
k
+
1
)
!
{\displaystyle {\rm {e}}=2\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {k+1}{(2k+1)!}}}
e
=
∑
k
=
0
∞
3
−
4
k
2
(
2
k
+
1
)
!
{\displaystyle {\rm {e}}=\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {3-4k^{2}}{(2k+1)!}}}
e
=
∑
k
=
0
∞
(
3
k
)
2
+
1
(
3
k
)
!
{\displaystyle {\rm {e}}=\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {(3k)^{2}+1}{(3k)!}}}
e
=
[
∑
k
=
0
∞
4
k
+
3
2
2
k
+
1
(
2
k
+
1
)
!
]
2
{\displaystyle {\rm {e}}=\left[\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {4k+3}{2^{2k+1}\,(2k+1)!}}\right]^{2}}
e
=
−
12
π
2
[
∑
k
=
1
∞
1
k
2
cos
(
9
k
π
+
k
2
π
2
−
9
)
]
−
1
/
3
{\displaystyle {\rm {e}}=-{\frac {12}{\pi ^{2}}}\left[\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {1}{k^{2}}}\ \cos \left({\frac {9}{k\pi +{\sqrt {k^{2}\pi ^{2}-9}}}}\right)\right]^{-1/3}}
e
=
∑
k
=
1
∞
k
2
2
(
k
!
)
{\displaystyle {\rm {e}}=\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {k^{2}}{2(k!)}}}
e
=
∑
k
=
1
∞
k
2
(
k
−
1
)
!
{\displaystyle {\rm {e}}=\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {k}{2(k-1)!}}}
e
=
∑
k
=
1
∞
k
3
5
(
k
!
)
{\displaystyle {\rm {e}}=\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {k^{3}}{5(k!)}}}
e
=
∑
k
=
1
∞
k
4
15
(
k
!
)
{\displaystyle {\rm {e}}=\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {k^{4}}{15(k!)}}}
e
=
∑
k
=
1
∞
k
n
B
n
(
k
!
)
{\displaystyle {\rm {e}}=\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {k^{n}}{B_{n}(k!)}}}
où Bn est le n -ième nombre de Bell .
Comme produit infini
La constante e est aussi donnée par plusieurs produits infinis , dont le produit de Pippenger :
e
=
2
(
2
1
)
1
/
2
(
2
3
4
3
)
1
/
4
(
4
5
6
5
6
7
8
7
)
1
/
8
⋯
{\displaystyle {\rm {e}}=2\left({\frac {2}{1}}\right)^{1/2}\left({\frac {2}{3}}\;{\frac {4}{3}}\right)^{1/4}\left({\frac {4}{5}}\;{\frac {6}{5}}\;{\frac {6}{7}}\;{\frac {8}{7}}\right)^{1/8}\cdots }
et le produit de Guillera[ 2]
e
=
(
2
1
)
1
/
1
(
2
2
1
⋅
3
)
1
/
2
(
2
3
⋅
4
1
⋅
3
3
)
1
/
3
(
2
4
⋅
4
4
1
⋅
3
6
⋅
5
)
1
/
4
⋯
,
{\displaystyle {\rm {e}}=\left({\frac {2}{1}}\right)^{1/1}\left({\frac {2^{2}}{1\cdot 3}}\right)^{1/2}\left({\frac {2^{3}\cdot 4}{1\cdot 3^{3}}}\right)^{1/3}\left({\frac {2^{4}\cdot 4^{4}}{1\cdot 3^{6}\cdot 5}}\right)^{1/4}\cdots ,}
où le n -ième facteur est la racine n -ième du produit
∏
k
=
0
n
(
k
+
1
)
(
−
1
)
k
+
1
(
n
k
)
.
{\displaystyle \prod _{k=0}^{n}(k+1)^{(-1)^{k+1}{n \choose k}}.}
Il y a aussi les produits infinis
e
=
2
⋅
2
(
ln
(
2
)
−
1
)
2
⋯
2
ln
(
2
)
−
1
⋅
2
(
ln
(
2
)
−
1
)
3
⋯
{\displaystyle {\rm {e}}={\frac {2\cdot 2^{(\ln(2)-1)^{2}}\cdots }{2^{\ln(2)-1}\cdot 2^{(\ln(2)-1)^{3}}\cdots }}}
et
e
=
2
1
1
⋅
4
3
2
⋅
6
⋅
8
5
⋅
7
4
⋅
10
⋅
12
⋅
14
⋅
16
9
⋅
11
⋅
13
⋅
15
8
⋯
.
{\displaystyle {\rm {e}}={\sqrt[{1}]{\frac {2}{1}}}\cdot {\sqrt[{2}]{\frac {4}{3}}}\cdot {\sqrt[{4}]{\frac {6\cdot 8}{5\cdot 7}}}\cdot {\sqrt[{8}]{\frac {10\cdot 12\cdot 14\cdot 16}{9\cdot 11\cdot 13\cdot 15}}}\cdots .}
Comme limite d'une suite
La constante e est égale à plusieurs limites de suites :
e
=
lim
n
→
∞
n
n
!
n
{\displaystyle {\rm {e}}=\lim _{n\to \infty }{\frac {n}{\sqrt[{n}]{n!}}}}
(par la formule de Stirling ).
La limite symétrique[ 3] :
e
=
lim
n
→
∞
[
(
n
+
1
)
n
+
1
n
n
−
n
n
(
n
−
1
)
n
−
1
]
{\displaystyle {\rm {e}}=\lim _{n\to \infty }\left[{\frac {(n+1)^{n+1}}{n^{n}}}-{\frac {n^{n}}{(n-1)^{n-1}}}\right]}
peut être obtenue en manipulant la limite de base de e .
Une autre limite[ 4] :
e
=
lim
n
→
∞
(
p
n
#
)
1
/
p
n
{\displaystyle {\rm {e}}=\lim _{n\to \infty }(p_{n}\#)^{1/p_{n}}}
où
p
n
{\displaystyle p_{n}}
est le n -ième nombre premier et
p
n
#
{\displaystyle p_{n}\#}
est sa primorielle .
Probablement la limite la plus connue :
e
=
lim
n
→
∞
(
1
+
1
n
)
n
{\displaystyle {\rm {e}}=\lim _{n\to \infty }\left(1+{\frac {1}{n}}\right)^{n}}
.
Notes et références
↑ Pour les séries 2 à 7, voir (en) Harlan J. Brothers (en) , « Improving the convergence of Newton's series approximation for e », College Mathematics Journal (en) , vol. 35, no 1, 2004 , p. 34-39 (lire en ligne ) .
↑ (en) Jonathan Sondow , « A Faster Product for π and a New Integral for ln π/2 », Amer. Math. Monthly , vol. 112, 2005 , p. 729-734 (lire en ligne ) .
↑ (en) Harlan J. Brothers et John A. Knox (en) , « New Closed-Form Approximations to the Logarithmic Constant e », The Mathematical Intelligencer , vol. 20, no 4, 1998 , p. 25-29 (lire en ligne ) .
↑ (en) Sebastián Martín Ruiz , « A Result on Prime Numbers », Math. Gaz. , vol. 81, 1997 , p. 269-270 .
Applications
Définitions
Personnes