Représentations de e

Cet article porte sur les représentations de e, une importante constante mathématique.

Elle peut être définie de différentes manières en tant que nombre réel. Puisque e est un nombre irrationnel, elle ne peut être représentée par une fraction ordinaire, mais bien par une fraction continue. En s'appuyant sur les résultats du calcul infinitésimal, e peut aussi être calculée à partir d'une série infinie, d'un produit infini et de plusieurs limites de suite.

Comme fraction continue

La constante e peut être représentée comme fraction continue simple (une démonstration est proposée dans l'article Fraction continue. Voir aussi suite A003417 de l’OEIS) :

$e = [2; 1, \textbf{2}, 1, 1, \textbf{4}, 1, 1, \textbf{6}, 1, 1, \textbf{8}, 1, \ldots,1, \textbf{2n}, 1,\ldots] \,$

Voici quelques fractions continues généralisées de e. La deuxième est obtenue en effectuant une transformation d'équivalence. La troisième – contenant… 6, 10, 14, … – converge très rapidement.

$e= 2+\cfrac{1}{1+\cfrac{1}{2+\cfrac{2}{3+\cfrac{3}{4+\cfrac{4}{\ddots}}}}} \qquad e= 2+\cfrac{2}{2+\cfrac{3}{3+\cfrac{4}{4+\cfrac{5}{5+\cfrac{6}{\ddots\,}}}}}$

$e = 1+\cfrac{2}{1+\cfrac{1}{6+\cfrac{1}{10+\cfrac{1}{14+\cfrac{1}{\ddots\,}}}}}$

$e^{2m/n} = 1+\cfrac{2m}{(n-m)+\cfrac{m^2}{3n+\cfrac{m^2}{5n+\cfrac{m^2}{7n+\cfrac{m^2}{\ddots\,}}}}}$

Posant m=x et n=2 donne

$e^x = 1+\cfrac{2x}{(2-x)+\cfrac{x^2}{6+\cfrac{x^2}{10+\cfrac{x^2}{14+\cfrac{x^2}{\ddots\,}}}}}$

Comme séries infinies

La constante e est aussi égale à la somme de ces séries infinies :

$e = \left [ \sum_{k=0}^\infty \frac{(-1)^k}{k!} \right ]^{-1}$

$e = \left [ \sum_{k=0}^\infty \frac{1-2k}{(2k)!} \right ]^{-1}$

$e = \frac{1}{2} \sum_{k=0}^\infty \frac{k+1}{k!}$

$e = 2 \sum_{k=0}^\infty \frac{k+1}{(2k+1)!}$

$e = \sum_{k=0}^\infty \frac{3-4k^2}{(2k+1)!}$

$e = \sum_{k=0}^\infty \frac{(3k)^2+1}{(3k)!}$

$e = \left [ \sum_{k=0}^\infty \frac{4k+3}{2^{2k+1}\,(2k+1)!} \right ]^2$

$e = -\frac{12}{\pi^2} \left [ \sum_{k=1}^\infty \frac{1}{k^2} \ \cos \left ( \frac{9}{k\pi+\sqrt{k^2\pi^2-9}} \right ) \right ]^{-1/3}$

$e = \sum_{k=1}^\infty \frac{k^2}{2(k!)}$

$e = \sum_{k=1}^\infty \frac{k}{2(k-1)!}$

$e = \sum_{k=1}^\infty \frac{k^3}{5(k!)}$

$e = \sum_{k=1}^\infty \frac{k^4}{15(k!)}$

$e = \sum_{k=1}^\infty \frac{k^n}{B_n(k!)}$ où $B_n$ est le n^e nombre de Bell.

(Pour les séries infinies 2 à 7, voir)

Comme produit infini

La constante e est aussi donnée par plusieurs produits infinis, dont le produit de Pippenger :

$e= 2 \left ( \frac{2}{1} \right )^{1/2} \left ( \frac{2}{3}\; \frac{4}{3} \right )^{1/4} \left ( \frac{4}{5}\; \frac{6}{5}\; \frac{6}{7}\; \frac{8}{7} \right )^{1/8} \cdots$

et le produit de Guillera

$e = \left ( \frac{2}{1} \right )^{1/1} \left (\frac{2^2}{1 \cdot 3} \right )^{1/2} \left (\frac{2^3 \cdot 4}{1 \cdot 3^3} \right )^{1/3} \left (\frac{2^4 \cdot 4^4}{1 \cdot 3^6 \cdot 5} \right )^{1/4} \cdots ,$

où le n^e facteur est la n^e racine du produit

$\prod_{k=0}^n (k+1)^{(-1)^{k+1}{n \choose k}},$

Il y a aussi les produits infinis

$e = \frac{2\cdot 2^{(\ln(2)-1)^2} \cdots}{2^{\ln(2)-1}\cdot 2^{(\ln(2)-1)^3}\cdots }.$

et

$e=\sqrt[1]{\frac{2}{1}}\cdot\sqrt[2]{\frac{4}{3}}\cdot\sqrt[4]{\frac{6\cdot 8}{5\cdot 7}}\cdot\sqrt[8]{\frac{10\cdot 12\cdot 14\cdot 16}{9\cdot 11\cdot 13\cdot 15}}\cdots$

Comme limite d'une suite

La constante e est égale à plusieurs limites de suite infinies :

$e= \lim_{n \to \infty} n\cdot\left ( \frac{\sqrt{2 \pi n}}{n!} \right )^{1/n}$ et

$e=\lim_{n \to \infty} \frac{n}{\sqrt[n]{n!}}$

(Les deux sont obtenues par la formule de Stirling).

La limite symétrique :

$e=\lim_{n \to \infty} \left [ \frac{(n+1)^{n+1}}{n^n}- \frac{n^n}{(n-1)^{n-1}} \right ]$

peut être obtenue en manipulant la limite de base de e.

Une autre limite :

$e= \lim_{n \to \infty}(p_n \#)^{1/p_n}$

où $p_n$ est le n^e nombre premier et $p_n \#$ est sa primorielle.

Probablement la limite la plus connue :

$e= \lim_{n \to \infty}\left (1+ \frac{1}{n} \right )^n$.