e (nombre)

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e est le seul nombre a tel que la dérivée de la fonction exponentielle f(x) = a^x (courbe bleue) au point x = 0 soit égale à 1. À titre de comparaison, les fonctions 2^x (courbe faite de points) et 4^x (courbe faite de petits traits) sont tracées ; elles ne sont pas tangentes à la droite de pente 1 (en rouge).

Le nombre e est une constante mathématique environ égale à 2,71828. Elle est la base du logarithme naturel. C'est la limite de (1 + 1/n)ⁿ quand n devient grand, expression qui apparaît dans l'étude des intérêts composés. e est aussi la somme de la série e = 2 + 1/2 + 1/(2 × 3) + 1/(2 × 3 × 4) + ….

e peut être défini de plusieurs façons ; par exemple, e est le seul nombre réel tel que la valeur de la dérivée (pente de la tangente) de la fonction f(x) = e^x au point x = 0 est égale à 1. La fonction e^x ainsi définie est la fameuse fonction exponentielle, et sa réciproque est le logarithme naturel. Le logarithme naturel d'un nombre positif k peut aussi être directement défini comme l'aire sous la courbe y = 1/x, entre x = 1 et x = k. Dans ce cas, e est le nombre dont le logarithme naturel vaut 1. Il y a encore d'autres caractérisations.

Parfois appelé nombre d'Euler d'après le mathématicien suisse Leonhard Euler, e ne doit pas être confondu avec γ — la constante d'Euler-Mascheroni, ou simplement constante d'Euler. e est aussi connu sous le nom de constante de Néper, du nom du mathématicien écossais John Napier (ou, en France, Neper) qui introduisit les logarithmes. La lettre e a été choisie en l'honneur d'Euler. Le nombre e revêt une importance capitale en mathématiques, au même titre que 0, 1, π et i. Ces cinq nombres jouent des rôles centraux en mathématiques et sont tous réunis dans l'identité d'Euler. Comme la constante $\pi$, e est irrationnel : ce n'est pas un quotient d'entiers ; il est aussi transcendant : ce n'est la racine d'aucun polynôme non nul à coefficients entiers. La valeur numérique de e tronquée à 50 décimales est

2.71828182845904523536028747135266249775724709369995... (suite A001113 de l’OEIS).

Histoire

Le nombre e est probablement la constante réelle irrationnelle la plus importante des mathématiques, après π : on la retrouve en effet dans la normalisation des fonctions exponentielles. Il est cependant difficile de dater avec exactitude son apparition dans la littérature. En effet, si Neper introduit les logarithmes comme artifice de calcul pour simplifier les calculs du sinus, du cosinus, du produit et du quotient, il ne précise pas de base particulière pour ces logarithmes et les logarithmes les plus courants à cette époque sont ceux en base 10.

Les logarithmes naturels apparaissent pour la première fois en 1618 en appendice d’un traité de Napier probablement rédigé par William Oughtred.

En 1624, Briggs donne l’approximation du logarithme décimal d’un nombre qu’il n’identifie pas avec précision, mais qui se révèle être e.

L’aire sous l’hyperbole est égale à 1 sur l’intervalle [1;e].

En 1647, Grégoire de Saint-Vincent calcule l’aire sous l’hyperbole, mais ne met pas en évidence le nombre e.

En 1661, Huygens est capable de faire le rapprochement entre l’aire sous l’hyperbole et les fonctions logarithmes. Comme e est le réel tel que l’aire sous l’hyperbole entre 1 et e vaille 1, il est probable que ce nombre fut remarqué à cette époque sans toutefois que l’on parle pour lui de la base du logarithme naturel.

La première apparition de e comme nombre remarquable date de 1683, époque à laquelle Bernoulli s’intéresse aux calculs d’intérêt. Ce qui l’amène à étudier la limite de la suite $(1 + \tfrac 1n)^n$. Mais personne à ce moment ne fait le rapprochement entre ce nombre et les logarithmes naturels. Pourtant c’est durant cette période que l’on commence à entrevoir que la fonction logarithme de base $a$ est la réciproque de la fonction exponentielle de base $a$. La communauté scientifique est alors mûre pour découvrir e. C’est dans une lettre de Leibniz à Huygens que ce nombre est enfin identifié comme la base du logarithme naturel, mais Leibniz lui donne le nom de $b$.

On doit la notation e pour cette constante à Euler dans une lettre que celui-ci adresse à Goldbach en 1731. Le choix de e a donné lieu a de nombreuses conjectures : e pour Euler ? e pour exponentielle ? ou tout simplement e comme première voyelle disponible dans le travail d’Euler.

C’est aussi Euler qui donne le développement de e en série

$\mathrm e = 1 + \dfrac{1}{1!} + \dfrac{1}{2!} + \cdots + \dfrac{1}{k!}+ \cdots$

et en fraction continue :

$\mathrm e=2+\frac{1}{1+\frac{1}{2+\frac{1}{1+\frac{1}{1+\frac{1}{4+\frac{1}{1+\frac{1}{1+\frac{1}{6+\ldots}}}}}}}}$

Puisque e possède un développement en fraction continue infini, il est irrationnel. Les différents approximants de Padé permettent d’offrir de nombreuses expressions de e sous forme de fractions continues généralisées (cf. l’article Approximant de Padé de la fonction exponentielle). Elles permettent à Charles Hermite de démontrer la transcendance de ce nombre en 1873.

Décimales connues

Le nombre de décimales connues de la constante e a augmenté de façon exponentielle au cours des dernières décennies. Cette précision est due à l’augmentation des performances des ordinateurs ainsi qu’au perfectionnement des algorithmes.

Nombre de décimales connues de la constante e

Date	Décimales connues	Performance due à
1748	18	Leonhard Euler
1853	137	William Shanks
1871	205	William Shanks
1884	346	J. Marcus Boorman
1946	808	?
1949	2 010	John von Neumann (avec l’ENIAC)
1961	100 265	Daniel Shanks & John W. Wrench
1981	116 000	Stephen Gary Wozniak (avec l’Apple II)
1994	10 000 000	Robert Nemiroff & Jerry Bonnell
Mai 1997	18 199 978	Patrick Demichel
Août 1997	20 000 000	Birger Seifert
Septembre 1997	50 000 817	Patrick Demichel
Février 1999	200 000 579	Sebastian Wedeniwski
Octobre 1999	869 894 101	Sebastian Wedeniwski
21 novembre 1999	1 250 000 000	Xavier Gourdon
10 juillet 2000	2 147 483 648	Shigeru Kondo & Xavier Gourdon
16 juillet 2000	3 221 225 472	Colin Martin & Xavier Gourdon
2 août 2000	6 442 450 944	Shigeru Kondo & Xavier Gourdon
16 août 2000	12 884 901 000	Shigeru Kondo & Xavier Gourdon
21 août 2003	25 100 000 000	Shigeru Kondo & Xavier Gourdon
18 septembre 2003	50 100 000 000	Shigeru Kondo & Xavier Gourdon
27 avril 2007	100 000 000 000	Shigeru Kondo & Steve Pagliarulo

Définitions et propriétés

Définitions de e

Les considérations précédentes montrent que e peut être défini de plusieurs façons différentes

• $\mathrm e$ est le réel tel que $\ln(\mathrm e) = 1$ lorsqu’on définit la fonction $\ln$ comme la primitive de la fonction $x \mapsto \tfrac1x$ qui s’annule en 1. C’est pourquoi cette constante est aussi appelée la base des logarithmes naturels
• $\mathrm e$ est le réel tel que $\exp(1) = \mathrm e$ lorsqu’on définit la fonction $\exp$ comme l’unique fonction vérifiant $u'= u$ et $u(0)=1$.
• $\mathrm e$ est la limite de la suite $(1 + \tfrac 1n)^n$ (quand n tend vers l’infini).
• $\mathrm e$ est égal à la somme de la série infinie $\displaystyle\sum_{k=0}^\infty \dfrac{1}{k!}$ (avec la convention $0!=1$).

L’équivalence de ces quatre définitions provient des relations qui lient la fonction exponentielle, la fonction logarithme et les limites de suites.

Théorie des nombres

Leonhard Euler.

La constante de Néper apparaît largement dans la théorie des nombres. Les mathématiciens se sont très tôt intéressés à la nature du nombre $\mathrm e$. L’irrationalité de $\mathrm e$ fut démontrée par Euler en 1737 et l’irrationalité de ses puissances entières par Lambert en 1761. La démonstration peut se faire grâce à son développement en série (voir la démonstration de l’irrationalité de e, ci-dessous) soit par son développement en fraction continue.

La preuve de la transcendance de $\mathrm e$ fut établie par Charles Hermite en 1873. On en déduit que, pour tout rationnel $r$ non nul (ce qui inclut les entiers naturels), $\mathrm e^r$ est aussi transcendant ; le théorème de Gelfond-Schneider permet de démontrer également que, par exemple, $\mathrm e^\pi$ est transcendant, mais on ne sait pas encore (2011) si $\mathrm e^{\mathrm e}$ et $\pi^{\mathrm e}$ sont transcendants ou non.

Les propriétés de ce nombre sont à la base du théorème d’Hermite-Lindemann.

Il a été conjecturé que $\mathrm e$ était un nombre normal.

Fonction exponentielle et équation différentielle

Pour tout réel $x$, $\exp(x) = \mathrm e^x$ où $\exp$ est l’unique fonction $y$ vérifiant l’équation différentielle $y' = y$ et $y(0)= 1$. Cette fonction est appelée fonction exponentielle de base $\mathrm e$.

Elle permet de donner toutes les solutions de l’équation différentielle $y' = ay$ qui sont les fonctions définies par $f(x) = C\mathrm e^{ax}$.

La fonction exponentielle admet le développement en série suivant :

$\forall x \in \R,\ \sum_{k=0}^\infty \frac{x^k}{k!} = \mathrm e^x$

Fonction trigonométrique

La recherche de l’unique solution complexe à l’équation différentielle $u' = iu$ et $u(0) = 1$ conduit à la fonction $u(x) = \mathrm e^{ix}= \cos(x) + i\sin(x)$ et à l’identité d’Euler :

$\mathrm e^{i\pi} + 1 = 0$

qui selon Richard Feynman est « la formule la plus remarquable du monde » (e représentant l’analyse, i l’algèbre, $\pi$ la géométrie, 1 l’arithmétique et le nombre 0 les mathématiques). Euler lui-même aurait également été émerveillé de cette relation rassemblant cinq nombres fondamentaux : 0, 1, $\mathrm e$, $\mathrm i$, $\pi$.

Démonstration de l'irrationalité de e

Le nombre $\mathrm e$ est égal à la somme de la série de l’exponentielle de 1 :

$\mathrm e = \sum_{n = 0}^{\infty} \dfrac{1}{n!}$

Ce développement peut être employé pour montrer qu’il est irrationnel.

Démonstration.

Il s’agit de prouver que pour tout entier $b\,>0$, le nombre $b\,\mathrm e$ n’est pas entier.

Pour cela, montrons que $b\,!\ e$ lui-même n’est pas entier, en le décomposant sous la forme

$b\,!\ \mathrm e=x+y,$

où les nombres $x$ et $y$ sont définis par :

$x=b\,!\ \sum_{n=0}^b\dfrac1{n!},\qquad y=b\,!\ \sum_{n=b+1}^\infty\dfrac1{n!}.$

• Le nombre $x$ est entier, car pour tout entier $n$ compris entre 0 et $b$, $n!$ divise $b!$ : les quantités $\tfrac{b!}{n!}$ sont donc entières, donc leur somme $x$ est un entier.
• Le nombre $y$ n’est pas entier, car il est strictement compris entre 0 et 1. En effet,

$0 < y = \dfrac{1}{b+1} + \dfrac{1}{(b+1)(b+2)} + \dfrac{1}{(b+1)(b+2)(b+3)} + \cdots$

$<\dfrac{1}{b+1} + \dfrac{1}{(b+1)^2} + \dfrac{1}{(b+1)^3} + \cdots = \dfrac{1}{b} \ \le 1$

Ici, la dernière somme est une série géométrique de raison $\dfrac{1}{b+1}$.

Puisque $b\,!\ \mathrm e$ est somme d’un entier et d’un non-entier, il n’est pas entier ; a fortiori, $b\,\mathrm e$ n’est pas entier, et cela pour n’importe quel entier $b\,>0$. Ainsi $\mathrm e\,$ doit être irrationnel. CQFD.

Une autre démonstration consiste à établir le développement en fraction continue du nombre e. Si la preuve est plus complexe, elle offre aussi plus de possibilités de généralisation. Elle permet de montrer que si x est un nombre rationnel non nul, alors e^x est irrationnel. Elle permet aussi d’établir que e n’est pas un irrationnel quadratique, c’est-à-dire n’est solution d’aucune équation du second degré à coefficients rationnels (cf. Fraction continue et approximation diophantienne). En revanche, pour aller plus loin, c’est-à-dire que pour montrer que e n’est solution d’aucune équation du troisième degré à coefficients rationnels, puis qu’il est transcendant, ce qui signifie qu’il n’est solution d’aucune équation polynomiale à coefficients rationnels, de nouvelles idées sont nécessaires.

e dans la culture informatique

e fait l'objet de nombreux hommages dans le milieu informatique.

Pour son introduction en bourse en 2004, Google a annoncé vouloir lever non pas un chiffre rond comme c'est généralement le cas, mais 2 718 281 828 $, soit e milliards de dollars (au dollar près). Google est aussi à l'origine d'une campagne de recrutement originale en juillet 2004 : des panneaux mentionnant « {first 10-digit prime found in the consecutive digits of e}.com » ({premier nombre premier à 10 chiffres trouvé dans les décimales successives de e}.com) affichés dans un premier temps dans la Silicon Valley, puis à Cambridge, Seattle et Austin incitaient les curieux à se rendre sur le site aujourd'hui disparu 7427466391.com. Là, le visiteur devait résoudre un problème encore plus difficile, qui lui-même le renvoyait sur le site Google Labs où il était invité à soumettre un CV. Le premier nombre premier à dix chiffres dans les décimales de e est 7 427 466 391, qui commence à la 99^e décimale.

L'informaticien Donald Knuth a numéroté les différentes versions de son programme Metafont d'après les décimales de e : 2, 2,7, 2,71, 2,718, et ainsi de suite. De la même façon, les numéros de versions de son programme TeX approximent π.

Voir aussi

Liens externes

• Démonstration de Fourier de l’irrationalité de e, présentée et analysée sur le site bibnum
• Démonstration d’Hermite de la transcendance de e (1873) [PDF], présentée et analysée par Michel Waldschmidt sur le site bibnum
• (en) John J. O’Connor et Edmund F. Robertson, « The number e », dans MacTutor History of Mathematics archive, université de St Andrews [lire en ligne] .

Articles connexes

• Exponentielle