Produit matriciel

Le produit matriciel désigne la multiplication de matrices, initialement appelé la « composition des tableaux ».

Produit matriciel ordinaire

Il s'agit de la façon la plus fréquente de multiplier des matrices entre elles.

En algèbre linéaire, une matrice A de dimensions m lignes et n colonnes (matrice m×n) représente une application linéaire ƒ d'un espace de dimension n vers un espace de dimension m. Une matrice colonne V de n lignes est une matrice n×1, et représente un vecteur v d'un espace vectoriel de dimension n. Le produit A×V représente ƒ(v).

Si A et B représentent respectivement les applications linéaires ƒ et g, alors A×B représente la composition des applications ƒog.

Cette opération est utilisée notamment en mécanique lors des calculs de torseur statique, ou en informatique pour la matrice d'adjacence d'un graphe.

Le produit de deux matrices ne peut se définir que si le nombre de colonnes de la première matrice est le même que le nombre de lignes de la deuxième matrice, c'est-à-dire lorsqu'elles sont de type compatible.

Si $A=(a_{ij})$ est une matrice de type $(m,n)$ et $B=(b_{ij})$ est une matrice de type $(n,p)$, alors leur produit, noté $AB=(c_{ij})$ est une matrice de type $(m,p)$ donnée par :

$\forall i,j:c_{ij}=\sum _{k=1}^{n}a_{ik}b_{kj}=a_{i1}b_{1j}+a_{i2}b_{2j}+\cdots +a_{in}b_{nj}$

La figure suivante montre comment calculer les coefficients $c_{12}$ et $c_{33}$ de la matrice produit $AB$ si $A$ est une matrice de type $(4,2)$, et $B$ est une matrice de type $(2,3)$.

${\color {BrickRed}c_{12}}=\sum _{r=1}^{2}a_{1r}b_{r2}=a_{11}b_{12}+a_{12}b_{22}$

${\color {NavyBlue}c_{33}}=\sum _{r=1}^{2}a_{3r}b_{r3}=a_{31}b_{13}+a_{32}b_{23}$

Exemples

${\begin{pmatrix}1&0\\-1&3\end{pmatrix}}\times {\begin{pmatrix}3&1\\2&1\\\end{pmatrix}}$

$={\begin{pmatrix}(1\times 3+0\times 2)&(1\times 1+0\times 1)\\(-1\times 3+3\times 2)&(-1\times 1+3\times 1)\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}3&1\\3&2\end{pmatrix}}$

En général, la multiplication des matrices n'est pas commutative, c'est-à-dire que $AB$ n'est pas égal à $BA$, comme le montre l'exemple suivant.

${\begin{pmatrix}1&2&0\\4&3&-1\\\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}5&1\\2&3\\3&4\\\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}9&7\\23&9\\\end{pmatrix}}$           tandis que           ${\begin{pmatrix}5&1\\2&3\\3&4\\\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}1&2&0\\4&3&-1\\\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}9&13&-1\\14&13&-3\\19&18&-4\\\end{pmatrix}}$

Multiplication de matrices par bloc

Si l'on considère les matrices $M=\left({\begin{smallmatrix}A&B\\C&D\end{smallmatrix}}\right)$ et $N=\left({\begin{smallmatrix}A'&B'\\C'&D'\end{smallmatrix}}\right)$, où $A,A',B,B',C,C'$ et $D,D'$ sont des matrices vérifiant :

• Le nombre de colonnes de $A$ et $C$ est égal au nombre de lignes de $A'$ et $B'$
• Le nombre de colonnes de $B$ et $D$ est égal au nombre de lignes de $C'$ et $D'$

on a alors l'égalité

$MN={\begin{pmatrix}AA'+BC'&AB'+BD'\\CA'+DC'&CB'+DD'\end{pmatrix}}$

On remarquera l'analogie entre le produit de matrice par blocs et le produit de deux matrices carrées d'ordre 2.

N.B. : On ne définit pas ainsi une nouvelle forme de multiplication de matrices. Cela correspond simplement à une méthode de calcul du produit matriciel ordinaire pouvant simplifier les calculs.

Produit d'Hadamard

Pour deux matrices de même type, nous avons le produit d'Hadamard ou produit composante par composante. Le produit d'Hadamard de deux matrices $A=(a_{ij})$ et $B=(b_{ij})$ de type $(m,n)$, noté A · B = (c_ij), est une matrice de type $(m,n)$ donnée par

$c_{ij}=a_{ij}\times b_{ij}$

Par exemple :

${\begin{pmatrix}1&3&2\\1&0&0\\1&2&2\end{pmatrix}}\cdot {\begin{pmatrix}0&0&2\\7&5&0\\2&1&1\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}1\times 0&3\times 0&2\times 2\\1\times 7&0\times 5&0\times 0\\1\times 2&2\times 1&2\times 1\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}0&0&4\\7&0&0\\2&2&2\end{pmatrix}}$

Ce produit est une sous-matrice du produit de Kronecker (voir ci-dessous).

Produit de Kronecker

Pour deux matrices arbitraires $A=(a_{ij})$ et $B$, nous avons le produit tensoriel ou produit de Kronecker A ⊗ B qui est défini par

${\begin{pmatrix}a_{11}B&a_{12}B&\cdots &a_{1n}B\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\a_{m1}B&a_{m2}B&\cdots &a_{mn}B\end{pmatrix}}$

Si $A$ est une matrice de type $(m,n)$ et $B$ est une matrice de type $(p,r)$ alors A ⊗ B est une matrice de type $(mp,nr)$. À nouveau cette multiplication n'est pas commutative.

Par exemple

${\begin{pmatrix}1&2\\3&1\\\end{pmatrix}}\otimes {\begin{pmatrix}0&3\\2&1\\\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}1\times 0&1\times 3&2\times 0&2\times 3\\1\times 2&1\times 1&2\times 2&2\times 1\\3\times 0&3\times 3&1\times 0&1\times 3\\3\times 2&3\times 1&1\times 2&1\times 1\\\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}0&3&0&6\\2&1&4&2\\0&9&0&3\\6&3&2&1\end{pmatrix}}$.

Si $A$ et $B$ sont les matrices d'applications linéaires V₁ → W₁ et V₂ → W₂, respectivement, alors A ⊗ B représente le produit tensoriel des deux applications, V₁ ⊗ V₂ → W₁ ⊗ W₂.

Propriétés communes

Les trois multiplications matricielles précédentes sont associatives

$A\times (B\times C)=(A\times B)\times C$,

distributives par rapport à l'addition :

$A\times (B+C)=A\times B+A\times C$

$(A+B)\times C=A\times C+B\times C$

et compatibles avec la multiplication par un scalaire :

$c(A\times B)=(cA)\times B=A\times (cB)$

Multiplication par un scalaire

La multiplication par un scalaire $r$ d'une matrice $A=(a_{ij})$ donne le produit

$rA=(ra_{ij})$.

Si nous travaillons avec des matrices sur un anneau, alors la multiplication par un scalaire est parfois appelée la multiplication à gauche tandis que la multiplication à droite est définie par :

$Ar=(a_{ij}r)$.

Quand l'anneau fondamental est un anneau commutatif, par exemple, le corps des réels ou des complexes, les deux multiplications sont identiques.

Cependant, si l'anneau n'est pas commutatif, tel que celui des quaternions, alors ils peuvent être différents. Par exemple

$i{\begin{pmatrix}i&0\\0&j\\\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}-1&0\\0&k\\\end{pmatrix}}\neq {\begin{pmatrix}-1&0\\0&-k\\\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}i&0\\0&j\\\end{pmatrix}}i$

Aspects algorithmiques

Le problème qui consiste, étant donné deux matrices carrées, à les multiplier rapidement, est un problème important en algorithmique. L'algorithme qui découle de la définition a une complexité en temps en O(n³), où n est le nombre de lignes des matrices. Une borne inférieure est O(n²). L'exposant optimal pour la complexité est un problème ouvert. De nombreux algorithmes ont été inventés pour ce problème, citons par exemple l'algorithme de Karatsuba, l'algorithme de Coppersmith-Winograd et l'algorithme de Strassen.

Voir aussi

Article connexe

Addition matricielle

Liens externes

• « Multiplicateur de matrices », sur Wims
• « Calculs en ligne pour des matrices carrées d'ordre 3 », sur homeomath