Méthode Trachtenberg

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La méthode Trachtenberg est une méthode de calcul mental inventée par Jacow Trachtenberg dans le but de garder un esprit sain lors de son emprisonnement dans un camp de concentration.

Cette méthode permet d'effectuer rapidement des calculs arithmétiques complexes en les décomposant en calculs plus simples.

Remarques préliminaires[modifier | modifier le code]

Remarque nº 1 : Dans une multiplication de deux nombres (facteurs), le premier facteur, celui qui demande à être multiplié, est appelé multiplicande et le second facteur est le multiplicateur. Le résultat de l'opération est le produit. Pour faire simple, si on veut multiplier un gros nombre par « X » fois, le gros nombre c'est le multiplicande et les « X » fois c'est le multiplicateur.

Remarque nº 2 : Chiffre et nombre sont deux notions distinctes. Un nombre est écrit à l'aide de chiffres. Les astuces de calcul décrites ci-dessous se basent sur une technique simple qui consiste à considérer chaque chiffre du multiplicande en tant que nombre sur lequel on applique la règle énoncée. Par abus de langage, mais pour simplifier la compréhension des astuces, la suite de cet article n'emploiera que le terme chiffre dans son sens strict ou en remplacement du terme nombre.

Remarque nº 3 : Pour appliquer les astuces ci-dessous, il faut procéder au calcul des chiffres du produit de la droite vers la gauche (depuis les unités en remontant vers les chiffres de poids de plus en plus fort) à partir des chiffres du multiplicande dans le même ordre.

Remarque nº 4 : Il faut rajouter à gauche du multiplicande un nombre égal de zéros au nombre de chiffres dans le multiplicateur.
Ex. 1 : en multipliant 325 par 6, on prend 0325 par 6.
Ex. 2 : en multipliant 325 par 12, on prend 00325 par 12.

Remarque nº 5 : Quand on divise par deux un chiffre impair, on ne tient pas compte des chiffres après la virgule.
Ex. 1 : 3 / 2 = 1 (et non 1,5)
Ex. 2 : 7 / 2 = 3 (et non 3,5)

Multiplication par des petits nombres[modifier | modifier le code]

Multiplication par 3[modifier | modifier le code]

Règle : Soustraire le dernier chiffre de 10, le multiplier par deux et ajouter 5 s'il est impair. Soustraire les autres de 9, multiplier par deux puis ajouter la moitié du voisin de droite et enfin ajouter 5 si le chiffre est impair. Quand on a terminé les chiffres du multiplicande, on écrit devant la moitié du chiffre de gauche moins 2.

Exemple 1 : 5314 x 3 = ?

(10 - 4) * 2 = 12 ⇒ j'écris 2 au produit et je retiens 1
(9 - 1) * 2 + (4 / 2) + 5 (car 1 est impair) + 1 de retenue = 24 ⇒ 4 et retenue de 2
(9 - 3) * 2 + (1 / 2) + 5 (car 3 est impair) + 2 (de retenue) = 19 ⇒ 9 et retenue de 1
(9 - 5) * 2 + (3 / 2) + 5 (car 5 est impair) + 1 (de retenue) = 15 ⇒ 5 et 1 de retenue
(5 / 2) - 2 + 1 (de retenue) = 1
résultat de 15942

Exemple 2 : 3267 x 3 = ?

(10 - 7) * 2 + 5 (car 7 est impair) = 11 ⇒ 1 et retenue de 1
(9 - 6) * 2 + (7 / 2) + 1 (de retenue) = 10 ⇒ 0 et retenue de 1
(9 - 2) * 2 + (6 / 2) + 1 (de retenue) = 18 ⇒ 8 et retenue de 1
(9 - 3) * 2 + (2 / 2) + 5 (car 3 est impair) + 1 (de retenue) = 19 ⇒ 9 et 1 de retenue
(3 / 2) - 2 + 1 (de retenue) = 0
résultat de 9801

Exemple 3 : 189 x 3 = ?

(10 - 9) * 2 + 5 (car 9 est impair) = 7  j'écris 7 (pas de retenue)
(9 - 8) * 2 + (9 / 2) = 6  j'écris 6 (toujours pas de retenue)
(9 - 1) * 2 + (8 / 2) + 5 (car 1 est impair) = 25 j'écris 5, je retiens 2
(1 / 2) - 2 + 2 (de retenue) = et nous avons pour finir 0
résultat de 0567 soit 567

Multiplication par 4[modifier | modifier le code]

Règle : Soustraire le dernier chiffre de 10 et ajouter 5 s'il est impair. Soustraire les autres de 9 et ajouter la moitié du voisin de droite et 5 si le chiffre est impair. Prendre la motié du chiffre de gauche moins 1.

Exemple 1 : 5314 x 4 = ?

(10 - 4) =6 
(9 - 1) + (4 / 2) + 5 (car 1 est impair) = 15 ⇒ 5 et retenue de 1
(9 - 3) + (1 / 2) + 5 (car 3 est impair) + 1 (de retenue) = 12 ⇒ 2 et retenue de 1
(9 - 5) + (3 / 2) + 5 (car 5 est impair) + 1 (de retenue) = 11 ⇒ 1 et 1 de retenue
(5 / 2) - 1 + 1 (de retenue) = 2
résultat de 21256

Exemple 2 : 3267 x 4 = ?

(10 - 7) + 5 (car 7 est impair) = 8 
(9 - 6) + (7 / 2) = 6 
(9 - 2) + (6 / 2) = 10 ⇒ 0 et retenue de 1
(9 - 3) + (2 / 2) + 5 (car 3 est impair) + 1 (de retenue) = 13 ⇒ 3 et 1 de retenue
(3 / 2) - 1 + 1 (de retenue) = 1
résultat de 13068

Multiplication par 5[modifier | modifier le code]

Règle : La moitié du voisin de droite, + 5 si le chiffre est impair.

Énoncée d'une manière différente : Chaque chiffre du produit est égal à la moitié du voisin de droite du chiffre du multiplicande occupant la même position, augmenté de 5 si ce dernier est impair.

Exemple 1 : 413 x 5 = 2065

4 : 2 = 2
1 : 2 = 0 
3 : 2 = 1 + 5 (car "3" est le voisin de droite de "1" qui est impair) = 6
Recopier 5 (car le multiplicande est impair)

Exemple 2 : 812 x 5 = 4060

8 : 2 = 4
1 : 2 = 0 
2 : 2 = 1 + 5 (car "2" est le voisin de droite de "1" qui est impair) = 6
Recopier 0 (car le multiplicande est pair)

Exemple 3 : 5036 x 5 = ?

5 : 2 = 2
0 : 2 = 0 + 5 (car "0" est le voisin de droite de "5" qui est impair) = 5
3 : 2 = 1 
6 : 2 = 3 + 5 (car "6" est le voisin de droite de "3" qui est impair) = 8
Recopier 0 (car le multiplicande est pair)
Résultat : 25180

Multiplication par 6[modifier | modifier le code]

Règle : Ajouter la moitié du voisin de droite à chaque chiffre, plus 5 si le chiffre est impair et l'éventuelle retenue du rang immédiatement inférieur.

Exemple 1 : 5314 x 6 = ?

On commence par rajouter un 0 à gauche de 5314 ⇒ 05314 (remarque nº 4)
On commence par la droite (remarque nº 3)
4 (n'a pas de voisin de droite) ⇒ 4
1 + (4 : 2) + 5 (car "1" est impair) = 8
3 + (1 : 2) + 5 (car "3" est impair) = 8 
5 + (3 : 2) + 5 (car "5" est impair) = 11 ⇒ 1 et retenue de 1
0 + (5 : 2) + 1 (retenue précédente) = 3
résultat de 31884

Exemple 2 : 3267 x 6 = ?

On rajoute un 0 à gauche de 3267 ⇒ 03267 (remarque nº 4)
7 (n'a pas de voisin de droite) + 5 (car "7" est impair) = 12 ⇒ 2 et retenue de 1
6 + (7 : 2) + 1 (retenue précédente) = 10 ⇒ 0 et retenue de 1
2 + (6 : 2) + 1 (retenue précédente) = 6 
3 + (2 : 2) + 5 (car "3" est impair) = 9 
0 + (3 : 2) = 1
résultat de 19602

Multiplication par 7[modifier | modifier le code]

Règle : Doubler chaque chiffre et ajouter la moitié du voisin de droite, + 5 si le chiffre est impair.

Exemple 1 : 5314 x 7 = ?

On commence par rajouter un 0 à gauche de 5314 ⇒ 05314 (remarque nº 4)
4 * 2 = 8
1 * 2 + (4 : 2) + 5 (car "1" est impair) = 9
3 * 2 + (1 : 2) + 5 (car "3" est impair) = 11 ⇒ 1 et retenue de 1
5 * 2 + (3 : 2) + 5 (car "5" est impair) + 1 (de retenue) = 17 ⇒ 7 et retenue de 1
0 * 2 + (5 : 2) + 1 (retenue précédente) = 3
résultat de 37198

Exemple 2 : 3267 x 7 = ?

On commence par rajouter un 0 à gauche de 3267 ⇒ 03267 (remarque nº 4)
7 * 2 + 5 (car "7" est impair) = 19 ⇒ 9 et retenue de 1
6 * 2 + (7 : 2) + 1 (de retenue) = 16 ⇒ 6 et retenue de 1
2 * 2 + (6 : 2) + 1 (de retenue) = 8 
3 * 2 + (2 : 2) + 5 (car "3" est impair) = 12 ⇒ 2 et retenue de 1
0 * 2 + (3 : 2) + 1 (retenue précédente) = 2
résultat de 22869

Multiplication par 8[modifier | modifier le code]

Règle : Soustraire le dernier chiffre de 10 et doubler le résultat. Soustraire les autres chiffres de 9. Doubler le résultat et ajouter au voisin de droite. Enlever 2 au premier chiffre.

Exemple 1 : 5314 x 8 = ?

(10 - 4) * 2 = 12 ⇒ 2 et retenue de 1
(9 - 1) * 2 + 4 + 1 (retenue) = 21 ⇒ 1 et retenue de 2
(9 - 3) * 2 + 1 + 2 (de retenue) = 15 ⇒ 5 et retenue de 1
(9 - 5) * 2 + 3 + 1 (de retenue) = 12 ⇒ 2 et retenue de 1
(5 - 2) + 1 (de retenue) = 4
résultat de 42512

Exemple 2 : 3267 x 8 = ?

(10 - 7) * 2 = 6 
(9 - 6) * 2 + 7 = 13 ⇒ 3 et retenue de 1
(9 - 2) * 2 + 6 + 1 (de retenue) = 21 ⇒ 1 et retenue de 2
(9 - 3) * 2 + 2 + 2 (de retenue) = 16 ⇒ 6 et retenue de 1
(3 - 2) + 1 (de retenue) = 2
résultat de 26136

Multiplication par 9[modifier | modifier le code]

Règle : Soustraire le dernier chiffre de 10, soustraire les autres de 9 et ajouter le résultat au voisin de droite. Soustraire 1 au premier chiffre.

Exemple 1 : 5314 x 9 = ?

(10 - 4) = 6 
(9 - 1) + 4 = 12 ⇒ 2 et retenue de 1
(9 - 3) + 1 + 1 (de retenue) = 8
(9 - 5) + 3 = 7 
(5 - 1)  = 4
résultat de 47826

Exemple 2 : 3267 x 9 = ?

(10 - 7) = 3 
(9 - 6) + 7 = 10 ⇒ 0 et retenue de 1
(9 - 2) + 6 + 1 (de retenue) = 14 ⇒ 4 et retenue de 1
(9 - 3) + 2 + 1 (de retenue) = 9
(3 - 1) = 2
Résultat de 29403

Multiplication par 10[modifier | modifier le code]

Règle : Rajouter un 0 à droite

Multiplication par 11[modifier | modifier le code]

Règle : Recopier le dernier chiffre. Additionner 2 par 2 les chiffres voisins. Recopier le premier chiffre du multiplicande. Ajouter l'éventuelle retenue du calcul précédent.

Exemple : 3 422 x 11 = 37 642

Recopier 2.
2 + 2 = 4
4 + 2 = 6
3 + 4 = 7
Recopier 3


Exemple : 5 781 x 11 = 63 591

Recopier 1.
8 + 1 = 9
7 + 8 = 15, on retient le 5 et on ajoutera une retenue au calcul suivant
5 + 7 = 12 + 1 = 13, on retient le 3 et on ajoutera une retenue au calcul suivant
5 + 1 (retenue) = 6

Multiplication par 12[modifier | modifier le code]

Règle : Doubler chaque chiffre avant de l'ajouter à son voisin de droite. Recopier le premier chiffre (plus éventuellement la retenue).

Exemple 1 : 314 x 12 = 3 768

4 * 2 = 8
1 * 2 + 4 = 6
3 * 2 + 1 = 7
Recopier 3

Exemple 2 : 5267 x 12 = ?

7 * 2 = 14 ⇒ 4 et retenue de 1
6 * 2 + 7 + 1 (de retenue) = 20 ⇒ 0 et 2 de retenue
2 * 2 + 6 + 2 (de retenue)= 12 ⇒ 2 et 1 de retenue
5 * 2 + 2 + 1 (de retenue) = 13 ⇒ 3 et retenue de 1 
Recopier 5 + 1 (de retenue) = 6
Résultat de 63204

Multiplication par 13[modifier | modifier le code]

Règle : Tripler chaque chiffre avant de l'ajouter à son voisin de droite. Recopier le premier chiffre (plus éventuellement la retenue).

Exemple 1 : 321 x 13 = 4 173

1 * 3 = 3
2 * 3 + 1 = 7
3 * 3 + 2 = 11 ⇒ 1 et retenue de 1
Recopier 3 + 1 (de retenue) = 4

Exemple 2 : 1247 x 13 = ?

7 * 3 = 21 ⇒ 1 et retenue de 2
4 * 3 + 7 + 2 (de retenue) = 21 ⇒ 1 et 2 de retenue
2 * 3 + 4 + 2 (de retenue)= 12 ⇒ 2 et 1 de retenue
1 * 3 + 2 + 1 (de retenue) = 6
Recopier 1
Résultat de 16211

Références[modifier | modifier le code]

  • (en) J. Trachtenberg, The Trachtenberg Speed System of Basic Mathematics. Doubleday and Company, Inc., Garden City, NY, USA (1960).