Produit matriciel de Hadamard

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En mathématiques, le produit matriciel de Hadamard, nommé d'après le mathématicien français Jacques Hadamard et parfois désigné produit de Schur[1], est une opération binaire qui pour deux matrices de mêmes dimensions, associe une autre matrice, de même dimension, et où chaque coefficient est le produit terme à terme des deux matrices. En cela, il est à distinguer du produit matriciel usuel.

Le produit matriciel de Hadamard est associatif et distributif, et contrairement au produit matriciel classique, commutatif.

Définition[modifier | modifier le code]

Formellement, pour deux matrices de mêmes dimensions

A, B \in {\C}^{m \times n}

le produit de Hadamard A \cdot B est une matrice

A \cdot B \in {\C}^{m \times n},

dont les coefficients sont

(A \cdot B)_{i,j} = (A)_{i,j} \times (B)_{i,j}.

Propriétés[modifier | modifier le code]

Le produit de Hadamard est commutatif, associatif et distributif sur l'addition :

A \cdot B = B \cdot A,
A \cdot (B \cdot C) = (A \cdot B) \cdot C,
A \cdot (B + C) = A \cdot B + A \cdot C.

L'élément neutre pour le produit de Hadamard de deux matrices de taille m × n est une matrice m × n dont tous les éléments sont égaux à 1, contrairement à la matrice identité, qui est l'élément neutre du produit matriciel classique et dont les coefficients valent 1 sur la diagonale et 0 sinon. Ainsi, une matrice admet une inverse pour le produit de Hadamard si et seulement si tous ses éléments sont non nuls[2].

(A \cdot B)^T=A^T\cdot B^T\quad{\rm et}\quad(A \cdot B)^*= A^*\cdot B^*, où MT (resp. M*) désigne la matrice transposée (resp. la matrice adjointe) de M. En particulier, le produit de Hadamard de deux matrices n × n symétriques (resp. hermitiennes) est une matrice symétrique (resp. hermitienne).

Pour deux vecteurs x et y, et les matrices diagonales correspondantes Dx et Dy où les coefficients des vecteurs sont les coefficients diagonaux des matrices, on a[3] :

x^*(A \cdot B)y = \mathrm{Tr}(D_x^* A D_y B^T).

En particulier, en utilisant des vecteurs dont tous les coefficients sont égaux à 1, on en déduit que la somme de tous les éléments du produit de Hadamard est la trace de ABT. Pour le cas des matrices carrées A et B, la somme des coefficients d'une ligne du produit de Hadamard est égal à l'élément diagonal de ABT[4] :

\sum_j (A \cdot B)_{i,j} = (AB^T)_{i,i}.

Le produit de Hadamard est une sous-matrice principale du produit de Kronecker.

Théorème du produit de Schur[modifier | modifier le code]

Article détaillé : Théorème du produit de Schur (en).

Le produit de Hadamard de deux matrices n × n hermitiennes positives (resp. définies positives) est une matrice (n × n, hermitienne) positive (resp. définie positive)[4]. C'est le théorème du produit de Schur[2] démontré pour la première fois[5] par Issai Schur[6].

Pour deux matrices hermitiennes positives A et B, on a aussi

\det(A \cdot B) \ge \det(AB)[4],[7].

Applications[modifier | modifier le code]

Le produit de Hadamard est utilisé en compression de données comme le JPEG.

Références[modifier | modifier le code]

(en) Cet article est partiellement ou en totalité issu de l’article de Wikipédia en anglais intitulé « Hadamard product (matrices) » (voir la liste des auteurs).

  1. (en) Roger A. Horn et Charles R. Johnson, Matrix Analysis, CUP,‎ 1985 (ISBN 978-0-521-38632-6), chap. 5.
  2. a et b (en) Elizabeth Million, « The Hadamard Product ».
  3. (en) Roger A. Horn et Charles R. Johnson, Topics in Matrix Analysis, CUP,‎ 1991 (ISBN 978-0-521-46713-1, lire en ligne), p. 306.
  4. a, b et c (en) George P. H. Styan, « Hadamard Products and Multivariate Statistical Analysis », Linear Algebra and its Applications, vol. 6,‎ 1973, p. 217-240 (DOI 10.1016/0024-3795(73)90023-2).
  5. Horn et Johnson 1991, p. 309.
  6. (de) J. Schur, « Bemerkungen zur Theorie der beschränkten Bilinearformen mit unendlich vielen Veränderlichen », J. reine angew. Math., vol. 140,‎ 1911, p. 1-28 (DOI 10.1515/crll.1911.140.1), p. 14, théorème VII.
  7. (en) Denis Serre, Matrices: Theory and Applications, Springer, coll. « GTM » (no 216),‎ 2010 (lire en ligne), p. 123.