Produit de Kronecker
En mathématiques le produit de Kronecker est une opération portant sur les matrices. Il s'agit d'un cas particulier du produit tensoriel. Il est ainsi dénommé en hommage au mathématicien allemand Leopold Kronecker.
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Définition [modifier]
Soient A une matrice de taille m x n et B une matrice de taille p x q. Leur produit tensoriel est la matrice
de taille mp par nq, définie par blocs successifs de taille p x q, le bloc d'indice i,j valant 
En d'autres termes
Ou encore, en détaillant les coefficients,
Exemple [modifier]
Propriétés [modifier]
Bilinéarité, associativité [modifier]
Le produit de Kronecker est bilinéaire et associatif : sous réserve de compatibilité des tailles pour
,
et
, on a les équations suivantes :



Le produit de Kronecker n'est pas commutatif ; cependant pour toutes
et
il existe deux matrices de permutation
et
telles que 
Si de plus A et B ont la même taille, alors
et
sont équivalentes par permutation sur les vecteurs de la base :

où
est une matrice de permutation.
Propriétés sur le produit usuel [modifier]
On a la propriété suivante qui mélange les aspects liés au produit matriciel usuel et au produit de Kronecker :

On peut en déduire que
est inversible si et seulement si
et
sont inversibles, auquel cas : 
Spectre [modifier]
En utilisant la propriété précédente on déduit que si
et
sont des vecteurs propres de A et B :
et
, alors :

Donc si
et
sont les valeurs propres de
et
, alors
sont les valeurs propres de
, en comptant la multiplicité.
En particulier :



où Tr désigne la trace, det le déterminant et rg le rang de la matrice.
Transposition [modifier]
On a la propriété suivante sur la transposée : 


