Produit de Kronecker

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En mathématiques, le produit de Kronecker est une opération portant sur les matrices. Il s'agit d'un cas particulier du produit tensoriel. Il est ainsi dénommé en hommage au mathématicien allemand Leopold Kronecker.

Définition[modifier | modifier le code]

Soient A une matrice de taille m x n et B une matrice de taille p x q. Leur produit tensoriel est la matrice A \otimes B de taille mp par nq, définie par blocs successifs de taille p x q, le bloc d'indice i,j valant (a)_{ij} \cdot B

En d'autres termes

 A \otimes B = \begin{pmatrix} a_{11} B & \cdots & a_{1n}B \\ \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{m1} B & \cdots & a_{mn} B \end{pmatrix}

Ou encore, en détaillant les coefficients,

A \otimes B = \begin{pmatrix}
   a_{11} b_{11} & a_{11} b_{12} & \cdots & a_{11} b_{1q} & 
                   \cdots & \cdots & a_{1n} b_{11} & a_{1n} b_{12} & \cdots & a_{1n} b_{1q} \\
   a_{11} b_{21} & a_{11} b_{22} & \cdots & a_{11} b_{2q} & 
                   \cdots & \cdots & a_{1n} b_{21} & a_{1n} b_{22} & \cdots & a_{1n} b_{2q} \\
   \vdots & \vdots & \ddots & \vdots & & & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\
   a_{11} b_{p1} & a_{11} b_{p2} & \cdots & a_{11} b_{pq} & 
                   \cdots & \cdots & a_{1n} b_{p1} & a_{1n} b_{p2} & \cdots & a_{1n} b_{pq} \\
   \vdots & \vdots & & \vdots & \ddots & & \vdots & \vdots & & \vdots \\
   \vdots & \vdots & & \vdots & & \ddots & \vdots & \vdots & & \vdots \\
   a_{m1} b_{11} & a_{m1} b_{12} & \cdots & a_{m1} b_{1q} & 
                   \cdots & \cdots & a_{mn} b_{11} & a_{mn} b_{12} & \cdots & a_{mn} b_{1q} \\
   a_{m1} b_{21} & a_{m1} b_{22} & \cdots & a_{m1} b_{2q} & 
                   \cdots & \cdots & a_{mn} b_{21} & a_{mn} b_{22} & \cdots & a_{mn} b_{2q} \\
   \vdots & \vdots & \ddots & \vdots & & & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\
   a_{m1} b_{p1} & a_{m1} b_{p2} & \cdots & a_{m1} b_{pq} & 
                   \cdots & \cdots & a_{mn} b_{p1} & a_{mn} b_{p2} & \cdots & a_{mn} b_{pq} 
\end{pmatrix}

Exemple[modifier | modifier le code]


  \begin{pmatrix}
    1 & 3 & 2 \\
    1 & 0 & 0 \\
    1 & 2 & 2
  \end{pmatrix}
\otimes
  \begin{pmatrix}
    0 & 5 \\
    5 & 0 \\
    1 & 1
  \end{pmatrix}

= \begin{pmatrix}
 1  \cdot 
\begin{pmatrix}
    0 & 5 \\
    5 & 0 \\
    1 & 1
  \end{pmatrix}
& 3  \cdot 
\begin{pmatrix}
    0 & 5 \\
    5 & 0 \\
    1 & 1
  \end{pmatrix}
& 2  \cdot
\begin{pmatrix}
    0 & 5 \\
    5 & 0 \\
    1 & 1
  \end{pmatrix}\\
1  \cdot
\begin{pmatrix}
    0 & 5 \\
    5 & 0 \\
    1 & 1
  \end{pmatrix}
& 0  \cdot
\begin{pmatrix}
    0 & 5 \\
    5 & 0 \\
    1 & 1
  \end{pmatrix}
& 0  \cdot
\begin{pmatrix}
    0 & 5 \\
    5 & 0 \\
    1 & 1
  \end{pmatrix}\\
1  \cdot
\begin{pmatrix}
    0 & 5 \\
    5 & 0 \\
    1 & 1
  \end{pmatrix}
& 2  \cdot
\begin{pmatrix}
    0 & 5 \\
    5 & 0 \\
    1 & 1
  \end{pmatrix}
& 2  \cdot
\begin{pmatrix}
    0 & 5 \\
    5 & 0 \\
    1 & 1
  \end{pmatrix}
\end{pmatrix}

= \begin{pmatrix} 

    0 & 5 & 0 & 15 &0 & 10 \\
    5 & 0 &15 & 0 &10 & 0 \\
    1 & 1 & 3 & 3&2 & 2\\
    0 & 5& 0 & 0 &0 & 0 \\
    5 & 0 &0 & 0 &0 & 0 \\
    1 & 1&0 & 0& 0 & 0\\
    0 & 5 &0 & 10 & 0 & 10 \\
    5 & 0 &10 & 0 &10 & 0 \\
    1 & 1&2 & 2&2 & 2
 \end{pmatrix}

Propriétés[modifier | modifier le code]

Bilinéarité, associativité[modifier | modifier le code]

Le produit de Kronecker est bilinéaire et associatif : sous réserve de compatibilité des tailles pour A, B et C, on a les équations suivantes :


A \otimes (B+ \lambda\ \cdot C) = (A \otimes B) + \lambda (A \otimes C)


(A + \lambda\ \cdot B) \otimes C = (A \otimes C) + \lambda (B \otimes C)


A \otimes ( B \otimes C) = (A \otimes B) \otimes C

Le produit de Kronecker n'est pas commutatif ; cependant pour toutes A et B il existe deux matrices de permutation P et Q telles que  A \otimes B = P (B \otimes A) Q

Si de plus A et B ont la même taille, alors  A \otimes B et  B \otimes A sont équivalentes par permutation sur les vecteurs de la base :

 A \otimes B = P^{-1} (B \otimes A) P = {}^{t}\!P (B \otimes A) P

P est une matrice de permutation.

Propriétés sur le produit usuel[modifier | modifier le code]

On a la propriété suivante qui mélange les aspects liés au produit matriciel usuel et au produit de Kronecker :


(A \otimes B) (C \otimes D) = (A C) \otimes (B D)

On peut en déduire que  (A \otimes B) est inversible si et seulement si A et B sont inversibles, auquel cas : 
( A \otimes B ) ^ {-1} = A^{-1} \otimes B^{-1}

Spectre[modifier | modifier le code]

En utilisant la propriété précédente on déduit que si X et Y sont des vecteurs propres de A et B : A X = \lambda\ X et B Y = \mu\ Y, alors :


(A \otimes B) (X \otimes Y) = \lambda \mu (X \otimes Y)

Donc si  \lambda_{1}, ... , \lambda_{n} et  \mu_{1} , ... , \mu_{m} sont les valeurs propres de A et B, alors  \lbrace \lambda_{i} \cdot \mu_{j} , i = 1 ... n, j = 1 ... m \rbrace sont les valeurs propres de A \otimes B, en comptant la multiplicité.

En particulier :


\operatorname{Tr}( A \otimes B ) = \operatorname{Tr}( A ) \operatorname{Tr}( B )


\operatorname{det}( A \otimes B ) = \operatorname{det}( A )^{m} \operatorname{det}( B )^{n}


\operatorname{rg}( A \otimes B ) = \operatorname{rg}( A ) \operatorname{rg}( B )

Tr désigne la trace, det le déterminant et rg le rang de la matrice.

Transposition[modifier | modifier le code]

On a la propriété suivante sur la transposée : 
{}^{t} \! ( A \otimes B ) = {}^{t} \! A  \otimes {}^{t} \! B

Lien externe[modifier | modifier le code]

(en) Eric W. Weisstein, « Kronecker Product », MathWorld