Multiplication par un scalaire

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En mathématiques, la multiplication par un scalaire est l'une des lois externes de base définissant un espace vectoriel en algèbre linéaire (ou plus généralement, un module en algèbre générale).

Si K est un corps commutatif, la définition d'un espace vectoriel E sur K prescrit l'existence d'une loi de composition externe, une application de K × E dans E. L'image d'un couple (λ, v), pouvant être notée λv ou λ∙v, est la multiplication du vecteur v par le scalaire λ. Comme cas particulier, E peut être pris égal à K lui-même, et la multiplication par un scalaire peut être tout simplement la multiplication du corps. Quand E est égal à Kn, alors la multiplication par un scalaire est celle définie composante par composante.

Par définition d'un espace vectoriel, la multiplication par un scalaire vérifie les propriétés suivantes:

  • La multiplication par 1 ne change pas un vecteur :
1v=v ;
\forall (\lambda, \mu)\in K^2,\quad \forall v\in E,\quad (\lambda+\mu)v=\lambda v+\mu v ;
  • distributivité à droite :
\forall \lambda\in K,\quad \forall (u,v)\in E^2,\quad \lambda(u+v)=\lambda u+\lambda v ;
\forall (\lambda, \mu)\in K^2,\quad \forall v\in E,\quad (\lambda\mu)v=\lambda(\mu v) ;
\forall v\in E,\quad 0v=0_E ;
  • la multiplication par –1 donne l'opposé :
\forall v\in E,\quad (-1)v=-v.

Ici, + représente ou bien l'addition du corps ou celle de l'espace vectoriel comme il convient et 0 est l'élément neutre du corps K, tandis que 0E est le vecteur nul. La juxtaposition ou le point correspondent à la multiplication par un scalaire ou la multiplication interne du corps.

La multiplication par le scalaire non nul λ définit une application linéaire de E dans E, appelée homothétie de rapport λ. Lorsque E est un espace vectoriel euclidien (avec K = R), alors les homothéties peuvent être interprétées comme des contractions ou des étirements.

Voir aussi[modifier | modifier le code]


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