Produit tensoriel de deux applications linéaires

Le produit tensoriel de deux applications linéaires est une construction qui à deux applications linéaires entre A-modules, u de E₁ dans F₁ et v de E₂ dans F₂, associe une application linéaire u⊗v entre produits tensoriels, de E₁⊗_AE₂ dans F₁⊗_AF₂.

Définition

On suppose dans cette partie que l'anneau A est commutatif. Avec les notations de l'introduction, l'application

$E_{1}\times E_{2}\to F_{1}\otimes _{A}F_{2},\quad (x,y)\mapsto u(x)\otimes v(y)$

est A-bilinéaire. D'après la propriété universelle du produit tensoriel, il existe une unique application linéaire $\varphi (u,v):E_{1}\otimes _{A}E_{2}\to F_{1}\otimes _{A}F_{2}$ telle que

$\forall (x,y)\in E_{1}\otimes _{A}E_{2},\varphi (u,v)(x\otimes y)=u(x)\otimes v(y).$

De plus, l'application $\varphi$ de l'espace $\mathrm {Hom} _{A}\,(E_{1},F_{1})\times \mathrm {Hom} _{A}\,(E_{2},F_{2})$ dans le module $\mathrm {Hom} _{A}\,(E_{1}\otimes _{A}E_{2},F_{1}\otimes _{A}F_{2})$ est bilinéaire ; il existe donc une application linéaire canonique

$\psi :\mathrm {Hom} _{A}\,(E_{1},F_{1})\otimes _{A}\mathrm {Hom} _{A}\,(E_{2},F_{2})\to \mathrm {Hom} _{A}\,(E_{1}\otimes _{A}E_{2},F_{1}\otimes _{A}F_{2})$

telle que

$\varphi (u,v)=\psi (u\otimes v)$ pour toutes applications A-linéaires $u:E_{1}\to F_{1}$, $v:E_{2}\to F_{2}$.

L'application $\varphi (u,v)$ de $E_{1}\otimes _{A}E_{2}$ dans $F_{1}\otimes _{A}F_{2}$ s'appelle le produit tensoriel de u et v, et il se note dans la pratique u⊗v. Attention, cette notation est abusive, car elle peut désigner deux objets de nature différente :

• l'élément du produit tensoriel $\mathrm {Hom} _{A}\,(E_{1},F_{1})\otimes _{A}\mathrm {Hom} _{A}\,(E_{2},F_{2})$ (qui n'est pas une application linéaire),
• son image par ψ dans $\mathrm {Hom} _{A}\,(E_{1}\otimes _{A}E_{2},F_{1}\otimes _{A}F_{2})$ (l'application A-linéaire $\varphi (u,v)$).

D'autant plus que ψ n'est pas toujours un isomorphisme, si bien qu'il est impossible d'identifier les deux « u⊗v ».

Néanmoins, lorsque E₁ et E₂ sont des modules libres de rang fini (par exemple des espaces vectoriels de dimension finie), ψ est un isomorphisme, et cela a bien un sens de confondre les deux notations u⊗v. En particulier, ψ fournit, sous cette hypothèse, des isomorphismes canoniques de E₁*⊗_AE₂* dans (E₁⊗_AE₂)* et de E₁*⊗_AF₂ dans Hom_A(E₁, F₂).

Démonstration du dernier résultat

Tout A-module libre de rang p est isomorphe (via le choix d'une base) à A^p, et pour tout A-module F, Hom_A(A^p, F) est (canoniquement) isomorphe à A^p⊗_AF. Il suffit donc de vérifier que pour tous entiers m et n, l'application canonique suivante, correspondant à ψ via ces identifications, est un isomorphisme :

$(A^{m}\otimes _{A}F_{1})\otimes _{A}(A^{n}\otimes _{A}F_{2})\to \mathrm {Hom} _{A}\,(A^{m}\otimes _{A}A^{n},F_{1}\otimes _{A}F_{2}).$

Par associativité et commutativité de ⊗_A et par l'isomorphisme entre A^m⊗_AAⁿ et A^mn, il s'agit simplement d'un troisième cas

$A^{mn}\otimes _{A}(F_{1}\otimes _{A}F_{2})\to \mathrm {Hom} _{A}\,(A^{mn},F_{1}\otimes _{A}F_{2})$

de l'isomorphisme canonique invoqué au début.

Propriétés

• Si $E_{1},E_{2},F_{1},F_{2},G_{1},G_{2}$ sont six modules, et si on se donne des applications linéaires $u_{i}:E_{i}\to F_{i}$, $v_{i}:F_{i}\to G_{i}$, alors$(v_{1}\circ u_{1})\otimes (v_{2}\circ u_{2})=(v_{1}\otimes v_{2})\circ (u_{1}\otimes u_{2}).$
• Si $u_{i}$ est un isomorphisme de $E_{i}$ sur $F_{i}$ et $v_{i}$ est l'isomorphisme réciproque, alors$u_{1}\otimes u_{2}$ est inversible et son inverse est $v_{1}\otimes v_{2}$.