Cette page est une annexe de l'article « Limite (mathématiques élémentaires) », qui explique comment traduire en termes de limites les opérations usuelles : addition , multiplication , composition …
Tous les résultats listés ici sont valables à la fois pour les limites de fonctions et pour les limites de suites .
Opérations algébriques
On considère ici le cas où l'on effectue les opérations algébriques élémentaires sur des fonctions ou des suites dont on connaît les limites. Dans la plupart des cas, on peut conclure, mais parfois, une étude supplémentaire est nécessaire, on parle de forme indéterminée , ou FI. Ces cas seront traités à part.
Multiplication par un réel
On peut multiplier une suite
u
=
(
u
n
)
{\displaystyle u=(u_{n})}
ou une fonction
f
{\displaystyle f}
par un réel fixé
k
{\displaystyle k}
; on obtient alors :
la suite
k
u
=
(
(
k
u
)
n
)
{\displaystyle ku=((ku)_{n})}
définie par :
∀
n
∈
N
,
(
k
u
)
n
=
k
×
u
n
{\displaystyle \forall n\in \mathbb {N} ,(ku)_{n}=k\times u_{n}}
;
la fonction
k
f
{\displaystyle kf}
définie par :
∀
x
∈
R
,
(
k
f
)
(
x
)
=
k
×
f
(
x
)
{\displaystyle \forall x\in \mathbb {R} ,(kf)(x)=k\times f(x)}
.
Alors on peut écrire le tableau suivant, selon que la suite converge vers une limite finie
ℓ
{\displaystyle \ell }
ou diverge vers
±
∞
{\displaystyle \pm \infty }
:
lim
u
n
{\displaystyle \lim u_{n}}
ℓ
{\displaystyle \ell }
−
∞
{\displaystyle -\infty }
+
∞
{\displaystyle +\infty }
lim
(
k
u
)
n
{\displaystyle \lim(ku)_{n}}
k
>
0
{\displaystyle k>0}
k
ℓ
{\displaystyle k\ell }
−
∞
{\displaystyle -\infty }
+
∞
{\displaystyle +\infty }
k
<
0
{\displaystyle k<0}
k
ℓ
{\displaystyle k\ell }
+
∞
{\displaystyle +\infty }
−
∞
{\displaystyle -\infty }
On a exactement le même tableau pour les cas d'une fonction
f
{\displaystyle f}
. Nous ne mentionnerons pas le point
a
{\displaystyle a}
, réel ou
±
∞
{\displaystyle \pm \infty }
, en lequel on considère la limite de
f
{\displaystyle f}
, que nous noterons donc simplement
lim
f
{\displaystyle \lim f}
. La limite de
k
f
{\displaystyle kf}
est :
lim
f
{\displaystyle \lim f}
ℓ
{\displaystyle \ell }
−
∞
{\displaystyle -\infty }
+
∞
{\displaystyle +\infty }
lim
k
f
{\displaystyle \lim kf}
k
>
0
{\displaystyle k>0}
k
ℓ
{\displaystyle k\ell }
−
∞
{\displaystyle -\infty }
+
∞
{\displaystyle +\infty }
k
<
0
{\displaystyle k<0}
k
ℓ
{\displaystyle k\ell }
+
∞
{\displaystyle +\infty }
−
∞
{\displaystyle -\infty }
Somme
On peut additionner deux suites
u
=
(
u
n
)
{\displaystyle u=(u_{n})}
et
v
=
(
v
n
)
{\displaystyle v=(v_{n})}
ou deux fonctions
f
{\displaystyle f}
et
g
{\displaystyle g}
:
la suite
u
+
v
{\displaystyle u+v}
est définie par :
∀
n
∈
N
,
(
u
+
v
)
n
=
u
n
+
v
n
{\displaystyle \forall n\in \mathbb {N} ,(u+v)_{n}=u_{n}+v_{n}}
;
la fonction
f
+
g
{\displaystyle f+g}
est définie par :
∀
x
∈
R
,
(
f
+
g
)
(
x
)
=
f
(
x
)
+
g
(
x
)
{\displaystyle \forall x\in \mathbb {R} ,(f+g)(x)=f(x)+g(x)}
.
On peut donner la limite de la suite
u
+
v
{\displaystyle u+v}
en fonction des limites respectives des suites
u
{\displaystyle u}
et
v
{\displaystyle v}
(resp. la limite de la fonction
f
+
g
{\displaystyle f+g}
en un point
a
{\displaystyle a}
, en fonction des limites en
a
{\displaystyle a}
de
f
{\displaystyle f}
et
g
{\displaystyle g}
). Les résultats sont présentés dans le tableau suivant :
lim
v
{\displaystyle \lim v}
(resp.
lim
g
{\displaystyle \lim g}
)
ℓ
′
{\displaystyle \ell '}
−
∞
{\displaystyle -\infty }
+
∞
{\displaystyle +\infty }
lim
u
{\displaystyle \lim u}
(resp.
lim
f
{\displaystyle \lim f}
)
ℓ
{\displaystyle \ell }
ℓ
+
ℓ
′
{\displaystyle \ell +\ell '}
−
∞
{\displaystyle -\infty }
+
∞
{\displaystyle +\infty }
−
∞
{\displaystyle -\infty }
−
∞
{\displaystyle -\infty }
−
∞
{\displaystyle -\infty }
FI
+
∞
{\displaystyle +\infty }
+
∞
{\displaystyle +\infty }
FI
+
∞
{\displaystyle +\infty }
Produit
On peut multiplier deux suites
u
=
(
u
n
)
{\displaystyle u=(u_{n})}
et
v
=
(
v
n
)
{\displaystyle v=(v_{n})}
ou deux fonctions
f
{\displaystyle f}
et
g
{\displaystyle g}
:
la suite
u
×
v
{\displaystyle u\times v}
est définie par :
∀
n
∈
N
,
(
u
×
v
)
n
=
u
n
×
v
n
{\displaystyle \forall n\in \mathbb {N} ,(u\times v)_{n}=u_{n}\times v_{n}}
;
la fonction
f
×
g
{\displaystyle f\times g}
est définie par :
∀
x
∈
R
,
(
f
×
g
)
(
x
)
=
f
(
x
)
×
g
(
x
)
{\displaystyle \forall x\in \mathbb {R} ,(f\times g)(x)=f(x)\times g(x)}
.
On peut donner la limite de la suite
u
×
v
{\displaystyle u\times v}
en fonction des limites respectives des suites
u
{\displaystyle u}
et
v
{\displaystyle v}
(resp. la limite de la fonction
f
×
g
{\displaystyle f\times g}
en un point
a
{\displaystyle a}
en fonction des limites en
a
{\displaystyle a}
de
f
{\displaystyle f}
et
g
{\displaystyle g}
). Les résultats sont présentés dans le tableau suivant :
lim
v
{\displaystyle \lim v}
(resp.
lim
g
{\displaystyle \lim g}
)
ℓ
′
<
0
{\displaystyle \ell '<0}
ℓ
′
>
0
{\displaystyle \ell '>0}
0
{\displaystyle 0}
−
∞
{\displaystyle -\infty }
+
∞
{\displaystyle +\infty }
lim
u
{\displaystyle \lim u}
(resp.
lim
f
{\displaystyle \lim f}
)
ℓ
<
0
{\displaystyle \ell <0}
ℓ
ℓ
′
{\displaystyle \ell \ell '}
ℓ
ℓ
′
{\displaystyle \ell \ell '}
0
{\displaystyle 0}
+
∞
{\displaystyle +\infty }
−
∞
{\displaystyle -\infty }
ℓ
>
0
{\displaystyle \ell >0}
ℓ
ℓ
′
{\displaystyle \ell \ell '}
ℓ
ℓ
′
{\displaystyle \ell \ell '}
0
{\displaystyle 0}
−
∞
{\displaystyle -\infty }
+
∞
{\displaystyle +\infty }
0
{\displaystyle 0}
0
{\displaystyle 0}
0
{\displaystyle 0}
0
{\displaystyle 0}
FI
FI
−
∞
{\displaystyle -\infty }
+
∞
{\displaystyle +\infty }
−
∞
{\displaystyle -\infty }
FI
+
∞
{\displaystyle +\infty }
−
∞
{\displaystyle -\infty }
+
∞
{\displaystyle +\infty }
−
∞
{\displaystyle -\infty }
+
∞
{\displaystyle +\infty }
FI
−
∞
{\displaystyle -\infty }
+
∞
{\displaystyle +\infty }
Quotient
On peut diviser une suite
u
=
(
u
n
)
{\displaystyle u=(u_{n})}
par une suite
v
=
(
v
n
)
{\displaystyle v=(v_{n})}
vérifiant
∀
n
∈
N
v
n
≠
0
{\displaystyle \forall n\in \mathbb {N} \quad v_{n}\neq 0}
ou une fonction
f
{\displaystyle f}
par une fonction
g
{\displaystyle g}
vérifiant
g
(
x
)
≠
0
{\displaystyle g(x)\neq 0}
pour tout
x
{\displaystyle x}
au voisinage du point considéré :
la suite
u
v
{\displaystyle {\frac {u}{v}}}
est définie par :
∀
n
∈
N
(
u
v
)
n
=
u
n
v
n
{\displaystyle \forall n\in \mathbb {N} \quad \left({\frac {u}{v}}\right)_{n}={\frac {u_{n}}{v_{n}}}}
;
la fonction
f
g
{\displaystyle {\frac {f}{g}}}
est définie par :
(
f
g
)
(
x
)
=
f
(
x
)
g
(
x
)
{\displaystyle \left({\frac {f}{g}}\right)(x)={\frac {f(x)}{g(x)}}}
pour tous les
x
{\displaystyle x}
tels que
g
(
x
)
≠
0
{\displaystyle g(x)\neq 0}
.
On peut donner la limite de la suite
u
v
{\displaystyle {\frac {u}{v}}}
en fonction des limites respectives des suites
u
{\displaystyle u}
et
v
{\displaystyle v}
(resp. la limite de la fonction
f
g
{\displaystyle {\frac {f}{g}}}
en un point
a
{\displaystyle a}
en fonction des limites en
a
{\displaystyle a}
de
f
{\displaystyle f}
et
g
{\displaystyle g}
). Les résultats sont présentés dans le tableau suivant :
lim
v
{\displaystyle \lim v}
(resp.
lim
g
{\displaystyle \lim g}
)
ℓ
′
<
0
{\displaystyle \ell '<0}
ℓ
′
>
0
{\displaystyle \ell '>0}
0
−
{\displaystyle 0^{-}}
0
+
{\displaystyle 0^{+}}
−
∞
{\displaystyle -\infty }
+
∞
{\displaystyle +\infty }
lim
u
{\displaystyle \lim u}
(resp.
lim
f
{\displaystyle \lim f}
)
ℓ
<
0
{\displaystyle \ell <0}
ℓ
ℓ
′
{\displaystyle {\frac {\ell }{\ell '}}}
ℓ
ℓ
′
{\displaystyle {\frac {\ell }{\ell '}}}
+
∞
{\displaystyle +\infty }
−
∞
{\displaystyle -\infty }
0
(
+
)
{\displaystyle 0^{(+)}}
0
(
−
)
{\displaystyle 0^{(-)}}
ℓ
>
0
{\displaystyle \ell >0}
ℓ
ℓ
′
{\displaystyle {\frac {\ell }{\ell '}}}
ℓ
ℓ
′
{\displaystyle {\frac {\ell }{\ell '}}}
−
∞
{\displaystyle -\infty }
+
∞
{\displaystyle +\infty }
0
(
−
)
{\displaystyle 0^{(-)}}
0
(
+
)
{\displaystyle 0^{(+)}}
0
−
{\displaystyle 0^{-}}
0
(
+
)
{\displaystyle 0^{(+)}}
0
(
−
)
{\displaystyle 0^{(-)}}
FI
FI
0
(
+
)
{\displaystyle 0^{(+)}}
0
(
−
)
{\displaystyle 0^{(-)}}
0
+
{\displaystyle 0^{+}}
0
(
−
)
{\displaystyle 0^{(-)}}
0
(
+
)
{\displaystyle 0^{(+)}}
FI
FI
0
(
−
)
{\displaystyle 0^{(-)}}
0
(
+
)
{\displaystyle 0^{(+)}}
−
∞
{\displaystyle -\infty }
+
∞
{\displaystyle +\infty }
−
∞
{\displaystyle -\infty }
+
∞
{\displaystyle +\infty }
−
∞
{\displaystyle -\infty }
FI
FI
+
∞
{\displaystyle +\infty }
−
∞
{\displaystyle -\infty }
+
∞
{\displaystyle +\infty }
−
∞
{\displaystyle -\infty }
+
∞
{\displaystyle +\infty }
FI
FI
Les formes indéterminées sont soit de type additif :
+
∞
−
(
+
∞
)
{\displaystyle +\infty -(+\infty )}
, soit de type multiplicatif :
0
×
±
∞
{\displaystyle 0\times \pm \infty }
,
0
0
{\displaystyle {\tfrac {0}{0}}}
ou
±
∞
±
∞
{\displaystyle {\tfrac {\pm \infty }{\pm \infty }}}
. Notons que certaines formes indéterminées sont plus "camouflées" et on ne retrouve l'une des formes précédentes qu'après passage à l'exponentielle du logarithme népérien.
Pour parvenir à lever l'indétermination, on utilise une ou plusieurs des techniques suivantes :
L'article suivant traite plus en détail ces techniques :
Exemple :
On cherche à calculer
lim
x
→
0
+
(
1
x
3
−
1
x
4
)
{\displaystyle \lim _{x\to 0^{+}}\left({\frac {1}{x^{3}}}-{\frac {1}{x^{4}}}\right)}
Or,
lim
x
→
0
+
1
x
3
=
lim
x
→
0
+
1
x
4
=
+
∞
{\displaystyle \lim _{x\to 0^{+}}{\frac {1}{x^{3}}}=\lim _{x\to 0^{+}}{\frac {1}{x^{4}}}=+\infty }
donc on est dans un cas de forme indéterminée « additive » ; on factorise l'expression :
1
x
3
−
1
x
4
=
1
x
4
×
(
x
−
1
)
{\displaystyle {\frac {1}{x^{3}}}-{\frac {1}{x^{4}}}={\frac {1}{x^{4}}}\times (x-1)}
lim
x
→
0
+
1
x
4
=
+
∞
{\displaystyle \lim _{x\to 0^{+}}{\frac {1}{x^{4}}}=+\infty }
et
lim
x
→
0
+
(
x
−
1
)
=
−
1
{\displaystyle \lim _{x\to 0^{+}}(x-1)=-1}
donc on peut conclure d'après les règles sur la multiplication :
lim
x
→
0
+
(
1
x
3
−
1
x
4
)
=
−
∞
{\displaystyle \lim _{x\to 0^{+}}\left({\frac {1}{x^{3}}}-{\frac {1}{x^{4}}}\right)=-\infty }
Composition
Propriété
Soient
I
{\displaystyle I}
et
J
{\displaystyle J}
deux intervalles non triviaux ,
f
:
I
→
R
{\displaystyle f:I\to \mathbb {R} }
et
g
:
J
→
R
{\displaystyle g:J\to \mathbb {R} }
deux applications telles que
f
(
I
)
⊂
J
{\displaystyle f(I)\subset J}
, et
a
{\displaystyle a}
un point de
I
{\displaystyle I}
ou une borne de
I
{\displaystyle I}
.
Si
lim
x
→
a
f
(
x
)
=
b
et
lim
y
→
b
g
(
y
)
=
c
,
alors
lim
x
→
a
(
g
∘
f
)
(
x
)
=
c
.
{\displaystyle {\text{Si}}\quad \lim _{x\to a}f(x)=b\quad {\text{et}}\quad \lim _{y\to b}g(y)=c,\quad {\text{alors}}\quad \lim _{x\to a}(g\circ f)(x)=c.}
Composition d'une fonction et d'une suite
Soient
g
:
J
→
R
{\displaystyle g:J\to \mathbb {R} }
comme précédemment, et
(
y
n
)
{\displaystyle (y_{n})}
une suite à valeurs dans
J
{\displaystyle J}
.
Si
lim
n
→
∞
y
n
=
b
et
lim
y
→
b
g
(
y
)
=
c
,
alors
lim
n
→
∞
g
(
y
n
)
=
c
.
{\displaystyle {\text{Si}}\quad \lim _{n\to \infty }y_{n}=b\quad {\text{et}}\quad \lim _{y\to b}g(y)=c,\quad {\text{alors}}\quad \lim _{n\to \infty }g(y_{n})=c.}
Voir aussi
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