Onde orographique

Diagramme du soulèvement orographique au-dessus d'une montagne et de l'onde qui est générée en aval. Des nuages sont créés dans les maxima de l'onde si l'air soulevé devient saturé comme en B.

Une onde orographique est une forme d'onde de gravité atmosphérique qui se produit lorsqu'une masse d'air est forcée en altitude par son déplacement au-dessus d'un relief montagneux. Si l'environnement est stable, la masse d'air redescendra du côté aval de l'obstacle et entrera en oscillation autour d'une hauteur égale ou inférieure au sommet de celui-ci. Par contre, si l'air est instable, l'air continuera de s'élever, avec ou sans oscillation. L'onde orographique est aussi connue sous les noms d'« onde de relief » et d'« onde de montagne ».

Principe

La parcelle d'air qui vient de passer au-dessus de l'obstacle est dotée d'un certain poids. Elle est donc attirée vers le bas mais également soumise à la poussée d'Archimède qui l'attire vers le haut si sa densité devient inférieure à celle de l'environnement. Elle se comporte mécaniquement de la même façon qu'un poids suspendu à un ressort vertical repassant périodiquement au point d'équilibre. Comme la parcelle d'air a également un mouvement horizontal, les maxima et minima de l'onde sont étalés en aval de la montagne.

L'onde est stationnaire lorsque la vitesse du vent et le dimensionnement du relief satisfont à certaines contraintes physiques et topographiques. Son amplitude s'amortit alors à mesure que le flux d'air s'éloigne de l'obstacle franchi, mais elles peuvent néanmoins se manifester par un nombre généralement assez faible de "ventres" positifs, espacés horizontalement entre eux de 5 à 10 km parallèlement au relief. Par ailleurs, il n'est pas rare que ces ondes stationnaires se propagent verticalement (amplitude) jusqu'à de grandes hauteurs, au point de franchir le seuil de la stratosphère dans le cas d'importantes chaînes de montagnes, comme les Alpes. Elles sont alors une des causes possibles des turbulences en air clair.

Modèle semi-analytique des ondes orographiques

Modèle numérique

Montagne en forme de tôle ondulée

Ce modèle peut s'appliquer aux Appalaches qui sont formées de chaînes et vallées parallèles

Les ondes orographiques peuvent être modélisées analytiquement lorsqu'on admet que la montagne est infiniment longue et qu'elle a une forme particulière. Le modèle est basé sur l'écoulement de Boussinesq. Soit w la vitesse verticale de l'air. Soit U la vitesse uniforme du vent. On définit le paramètre $\ell = N/U$ de Scorer qui dépend de la fréquence de Brunt-Väisälä N. Pour l'atmosphère standard, on a N = 10 ^{− 2}. L'équation est alors

$\Delta w(x,z) + \ell^2 w(x,z) = 0$.

Δ est l'opérateur laplacien, x est la coordonnée horizontale le long de la montagne et z est la coordonnée verticale. En supposant que le sol est constitué d'un ensemble de sinusoïdes de longueur d'onde 1/k (en forme de tôle ondulée), la solution analytique dépendra du fait si k < l ou $k > \ell$. Soit h₀ la hauteur des collines. Les solutions formelles sont alors:

$w(x,z) = U h_0 k e^{-\sqrt{k^2-\ell^2}z} \cos(kx)$ pour $k > \ell$

$w(x,z) = U h_0 k \cos(kx + \sqrt{\ell^2 - k^2} z)$ pour $k < \ell$

On considère une colline de 300 m de haut et d'amplitude 1 / k = 2km. On considère un vent de vitesse U = 10m / s. On a alors $\ell = 10^{-3}$. On est dans le cas sinusoídal. La vitesse maximale verticale de l'onde va être Uh₀k = 1.5m / s. Si l'on double la vitesse du vent, on va être dans la zone exponentielle et la vitesse maximale verticale sera 3 m/s. On constate que ces ondes sont exploitables par les pilotes de planeur.

Montagne isolée

On considère une colline infinie dont la hauteur peut être paramétrée par une foncyion h(x). On peut par exemple choisir l'équation suivante :

$h(x) = h_0 {a^2 \over x^2 + a^2}$

On préfèrera l'équation suivante (courbe de Gauss) pour des raisons que l'on explicitera plus bas :

$h(x) = h_0 e^{-{x^2 \over a^2}}$

Le paramètre de Scorer $\ell$ varie avec l'altitude. L'équation simplifiée est à nouveau la suivante :

${\partial^2 w(x,z) \over \partial x^2} + {\partial^2 w(x,z) \over \partial z^2} + \ell(z)^2 w(x,z) = \Delta w(x,z) + \ell(z)^2 w(x,z) = 0$.

On appelle $\hat w(\xi,z)$ la transformée de Fourier suivant x de la fonction w(x,z). Comme on ne considère que l'atmosphère, on ne considère que ξ > 0.

On a alors:

$w(x,z) = {1 \over \pi} \int_0^{+\infty} \hat w(\xi,z) e^{i\xi x} d \xi$

L'équation laplacienne devient alors:

${1 \over \pi} {\partial^2 \int_0^{+\infty} \hat w(\xi,z) e^{i\xi x} d \xi \over \partial x^2} + {1 \over \pi} {\partial^2 \int_0^{+\infty} \hat w(\xi,z) e^{i\xi x} d \xi \over \partial z^2} + \ell(z)^2 {1 \over \pi} \int_0^{+\infty} \hat w(\xi,z) e^{i\xi x} d \xi = 0$

On peut passer la dérivée partielle sous le signe somme et l'on peut donc écrire :

$\int_0^{+\infty} {\partial^2 \hat w(\xi,z) e^{i\xi x} \over \partial x^2} d \xi + \int_0^{+\infty} {\partial^2 \hat w(\xi,z) e^{i\xi x} \over \partial z^2} d \xi + \ell(z)^2 \int_0^{+\infty} \hat w(\xi,z) e^{i\xi x} d \xi = 0$

On obtient alors :

$\int_0^{+\infty} (-i \xi)^2 \hat w(\xi,z) e^{i\xi x} d \xi + \int_0^{+\infty} {\partial^2 \hat w(\xi,z) e^{i\xi x} \over \partial z^2} d \xi + \ell(z)^2 \int_0^{+\infty} \hat w(\xi,z) e^{i\xi x} d \xi = 0$

On peut alors ramener le problème à la résolution du système infini suivant d'équations différentielles linéaires en z :

$\ - \xi^2 \hat w(\xi,z) + {\partial^2 \hat w(\xi,z) \over \partial z^2} + \ell(z)^2 \hat w(\xi,z) e^{i\xi x} = 0$

Et donc finalement :

${\partial^2 \hat w(\xi,z) \over \partial z^2} + (l^2 - \xi^2) \hat w(\xi,z) e^{i\xi x} = 0$

Soit $\hat h(\xi)$ la transformée de Fourier de la fonction chapeau de sorcière h(x). La condition aux limites s'écrit alors :

$w(\xi,0) = \hat h(\xi)$

On considère maintenant $\xi > \ell(z)$. Une solution peut alors être écrite sous la forme :

$\hat w(\xi,z) = i \xi U \hat h(\xi) e^{i z \sqrt{\ell^2 - \xi^2}} \quad \xi < \ell$

On suppose maintenant $\xi < \ell(z)$, et donc :

$\hat w(\xi,z) = i \xi U \hat h(\xi) e^{i^2 z\sqrt{\xi^2 - \ell^2}} \quad \xi > \ell$

Physiquement, le nombre d'onde ξ est l'inverse d'une longueur d'onde donnée.

Cas d'une montagne aplatie

On suppose que le paramètre de Scorer $\ell(z)$ est uniforme en fonction de la hauteur z. On suppose aussi que la colline est une fonction en cloche. On a alors:

$\hat h(\xi) = a \sqrt{\pi} h_0 e^{-{a^2 \xi^2 \over 4}}$

On considère maintenant le cas où la montagne est suffisamment aplatie c'est--à-dire que $a \gg U/N$. Dans ce cas, la formule ci-dessus peut se simplifier de la manière suivante :

$w(x,z) \simeq {1 \over 2 \pi} \int_0^{+\infty} \hat w(\xi,z) e^{i \xi x} d \xi \simeq {1 \over 2 \pi} \int_0^l a \sqrt{\pi} i U \xi e^{iz\sqrt{\ell^2 - \xi^2}} h_0 e^{-{\xi^2 a^2 \over 4}} e^{i \xi x} d \xi$

En outre, on a $e^{i z\sqrt{l^2 - \xi^2}} \simeq e^{ilz}$.

Donc,

$w(x,z) \simeq {1 \over 2 \pi} \int_0^l a \sqrt{\pi} e^{i\ell z} i U \xi h_0 e^{-{a^2 \xi^2 \over 4}} e^{i \xi x} d \xi$

On considère la partie réelle de l'intégrale ci-dessus. On obtient alors :

$w(x,z) \simeq {1 \over 2 \pi} a \sqrt{\pi} \cos(\ell z) U \int_0^l i \xi h_0 e^{-{a^2 \xi^2 \over 4}} e^{i \xi x} d \xi$

On remarque que la transformée de Fourier de la dérivée h'(x) est $i \xi \hat h(\xi)$. Et donc, on obtient la forme explicite suivante :

$w(x,z) = h'(x) U \cos\left({z N \over U}\right)$

La périodicité verticale 'Z' de l'onde de ressaut sera donc donnée par ${Z N \over U} = 2 \pi$ et donc $Z = {2 \pi U \over N}$. Pour un vent de 10 m/s et N = 10¯² Hz, on obtient Z = 6.28 km.

Dans ce cas, aucune onde de ressaut n'est formée. Cette formule approchée permet aussi d'évaluer l'ascendance au-dessus d'une pente. On remarque que l'effet ascensionnel s'atténue avec la hauteur au-dessus de la colline. Cette formule approchée pourra être utilisée pour estimer la vitesse ascensionnelle lors d'un vol de pente.

Cas d'une montagne étroite

Montagne en forme de courbe Gaussienne

On considère maintenant une colline très étroite. On a alors $\xi \ll {1 \over a}$ et donc pour $\xi \le \ell$, on a:

$e^{-{a^2 \xi^2 \over 4}} \simeq 1$

Donc, on obtient alors :

$w(x,z) = {1 \over 2 \pi} \int_0^{+\infty} \hat w(\xi,z) e^{i \xi x} d \xi =$

${1 \over 2 \pi} \int_0^\ell i U \xi a \sqrt{\pi} h_0 1 \exp(i z \sqrt{\ell^2 - \xi^2}) e^{i \xi x} d \xi + {1 \over 2 \pi} \int_\ell^{+\infty} i U a \sqrt{\pi} h_0 e^{-{a^2 \xi^2 \over 4}} \exp(-z\sqrt{\xi^2 - \ell^2}) e^{i \xi x} d \xi$

On peut alors négliger le premier terme et écrire :

$w(x,z) = {1 \over 2 \pi} \int_0^{+\infty} \hat w(\xi,z) e^{i \xi x} d \xi \simeq {1 \over 2 \pi} \int_\ell^{+\infty} i U \xi a \sqrt{\pi} h_0 e^{-{a^2 \xi^2 \over 4}} \exp(-z\sqrt{\xi^2 - \ell^2}) e^{i \xi x} d \xi$

On écrit que $\exp(-z\sqrt{\xi^2 - \ell^2}) \simeq e^{-z \xi}$ et donc :

$w(x,z) = {1 \over 2 \pi} \int_0^{+\infty} \hat w(\xi,z) e^{i \xi x} d \xi \simeq {1 \over 2 \pi} \int_\ell^{+\infty} i U \xi a \sqrt{\pi} h_0 e^{-{a^2 \xi^2 \over 4}} e^{i \xi (x + iz) } d \xi$

On peut alors écrire :

$w(x,z) \simeq {1 \over 2 \pi} a \sqrt{\pi} h_0 i U \int_0^{+\infty} \xi \exp\left(-{a^2 \xi^2 \over 4} - \xi z\right) e^{i \xi x} d \xi$

Lorsque z croît, w(x,z) décroît. Ainsi, nous serons en présence d'ondes très fortement atténuées. Il n'y a pas de périodicité verticale.

La solution formelle peut s'exprimer comme étant le produit de convolution suivant :

$w(x,z) = U h'(x) \star {z \over x^2 + z^2}$

Montagne en forme de chapeau de sorcière

Le résultat ci-dessus implique l'existence d'un produit de convolution qui est difficile à interpréter. On va remplacer la fonction de Gauss par la fonction suivante :

$h_a(x) = h_0 {a^2 \over x^2 + a^2}$

En reprenant la formule ci-dessus, on a:

$w(x,z) \simeq {1 \over 2 \pi} \int_0^{+\infty} i U \xi \hat h(\xi) e^{-z \xi} d \xi$

La transformée de Fourier de h(x) est la suivante :

$\hat h(\xi) = a h_0 e^{-\xi a}$

On obtient donc :

$w(x,z) \simeq {1 \over 2 \pi} \int_0^{+\infty} i U h_0 a \xi e^{-\xi a} e^{-z \xi} d \xi$

Donc,

$w(x,z) \simeq {1 \over 2 \pi} \int_0^{+\infty} i U h_0 {a \over z + a} (z + a) \xi e^{-\xi (z+a)} d \xi$

On obtient alors la formule suivante :

$w(x,z) \simeq {a \over z + a} U h_{a+z}'(x)$

On constate clairement qu'il n'y a pas d'ondes de ressaut et aussi que la déflexion de l'air n'a pas non plus de périodicité verticale.

Cas d'une montagne d'épaisseur intermédiaire

On considère le cas ou $a l ~ 1$. On définit la fonction de phase $\phi(\xi) = \sqrt{l^2 - \xi^2} z + \xi x$.

Pour x ou z grands, cette fonction de phase varie raipdement et donc l'intégrale résultante $\int_0^{+\infty} \hat h(\xi) e^{i \phi(\xi)} d x$ est petite. Il y a une exception lorsque ${\partial \phi(\xi) \over \partial \xi} = 0$

On écrit donc que :

${- \xi z \over \sqrt{\ell^2 - \xi^2}} + x = 0$

On résout donc:

$\xi_c^2 z^2 = x^2 (\ell^2 - \xi^2)$

Donc,

$\xi_c^2 (z^2 + x^2) = x^2 l^2$

Et donc :

$\xi_c = {x \ell \over \sqrt{x^2 + a^2}}$

On obtient alors un nombre d'onde critique ξ_c et l'on sera en présence d'oscillations approximativement tous les 1/l mètres.

La localisation des ondes de ressaut est donnée par la formule 2.68 de la référence .

$w(x,z) = U h_0 a \xi_c \sqrt{2 \pi} {(\ell^2 - \xi_c^2)^{3 \over 4} \over \ell \sqrt{z}} e^{-\xi_ca} \sin\left(\sqrt{\ell^2 - \xi_c^2} z + \xi_c x - {\pi \over 4}\right)$

 

Hydrodynamique et stabilité

Le flux de la masse d'air pourrait être comparé à la circulation d'un liquide. On utilise le nombre de Froude $F = {u \over \sqrt{g h}}$ où g = 9,81 m/s est l'accélération de la gravité, u est la vitesse horizontale du vent et h est la hauteur de la montagne. Le nombre de Froude est équivalent au nombre de Mach. Il exprime la relation entre l'énergie cinétique (le carré de la vitesse) et l'énergie potentielle (stabilité et hauteur de la chaîne de montagnes). La valeur critique du nombre de Froude est 1. Dans ce cas, la probabilité d'avoir des ondes orographiques est grande. Si F < 1, le flot est bloqué car l'air est trop stable en amont et la parcelle qui remonte la pente ne peut atteindre le sommet. Si F > 1, alors l'air s'écoule sans oscillations majeures car il n'est pas assez stable et l'onde produite se disperse en altitude.

Le cas $\textstyle F \simeq 1$ correspond à ce que la FAA enseigne quand elle dit que les ondes de gravité ne peuvent se former que si l'air est stable en amont et au sommet de la montagne. Ce qui se passe peut être plus complexe. Par exemple, à Fayence, il se forme des ondes orographiques par temps de mistral qui sont exploitées par les pilotes de planeur locaux. Dans ces conditions l'air est instable à certaines altitudes et il y a souvent des cumulonimbus sur le Mercantour. L'air peut être stable à bas niveau mais l'instabilité absolue ou conditionnelle peut être atteinte lors du soulèvement de la masse d'air. Ceci peut donner des nuages stratiformes dans la couche stable et des nuages cumuliformes au-dessus de celle-ci.

Les phénomènes deviennent ainsi beaucoup plus complexes comme le montre la photographie ci-contre. Ainsi, il peut arriver que la condition de $\textstyle F \simeq 1$ puisse être satisfaite pour induire des ondes de gravité en aval des montagnes mais que des cumulonimbus se forment dans la région en amont.

Effets

Nuages

En gagnant de l'altitude, la masse d'air prend de l'expansion et se refroidit par détente adiabatique. Ce refroidissement entraîne une augmentation de l'humidité relative et peut atteindre la saturation. Si cela se produit, on voit l'apparition de nuages ou de précipitations tant en amont du sommet de l'obstacle, qu'en aval de celui dans les régions de maxima de l'onde. Trois types de nuages sont généralement associés aux ondes orographiques :

• nuages de sommet (en capuchon) ;
• nuages lenticulaires ;
• allée de tourbillons de Karman.

Dans les zones descendantes de l'onde, l'air se réchauffe et l'humidité relative passe sous la saturation ce qui y dégage le ciel. On a alors une situation d'effet de foehn.

Vue par satellite météorologique de nuages en bandes formés dans une onde orographique	Nuage d'onde orographique visible au-dessus des montagnes corses depuis la gare de Corte, Haute-Corse, France	Nuage de sommet observé en Alaska	Nuage lenticulaire surplombant le mont Washington, New Hampshire, É.-U.

Vol à voile

Les ondes orographiques permettent aux planeurs de prendre de l'altitude à chacune des phases ascendantes de l'air. Ceci permet de faire de du vol à voile sur de très grandes distances. Le record du monde de distance (3 009 km) a été établi en Argentine par Klaus Ohlmann en utilisant les ondes de ressaut générées par la chaîne des Andes. Toutefois, sous les ondes de ressaut, il existe à proximité du sol, une zone de très fortes turbulences associées à des rotors qui peuvent briser un aéronef. Ces rotors sont matérialisés par des pseudo-cumulus qui sont extrêmement déchiquetés. Les turbulences associées à ces rotors peuvent être plus violentes qu'à l'intérieur d'un cumulonimbus. Autant les planeurs peuvent, sous certaines conditions, exploiter les rotors, autant les autres avions se doivent d'éviter ces rotors. L'ascension se fera en amont du nuage de rotor. Les ascendances associées aux rotors se comportent comme des ascendances thermiques fixes qui sont très puissantes et très étroites. Le planeur devra en permanence ouvrir la spirale du côté du vent et fermer le virage sous le vent. Lorsque le planeur contacte la couche laminaire, les turbulences deviennent quasi-inexistantes et le pilote a a alors l'impression de voler dans de l'huile tandis que le variomètre semble être déréglé. Il indique alors une vitesse d'ascension de plusieurs mètres par seconde alors que c'est apparemment le calme plat. Le planeur est simplement placé dans la zone ascendante de l'onde de gravité. Ce même phénomène est utilisé par les oiseaux.

Aviation

En outre, les avions à moteur passant dans une zone d'ondes orographiques voient leur vitesse augmenter dans les zones en ascension et diminuer dans celle en descente ce qui rend le contrôle d'altitude ou de vitesse difficile et peut mener à un décrochage de l'appareil si les variations sont mal compensées.

Article connexes

• Soulèvement orographique
• Gradient thermique adiabatique
• Foehn
• Chinook (vent)
• Fréquence de Brunt-Väisälä