Mantisse

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Le terme mantisse (du latin mantissa, l'addition) a plusieurs sens en mathématiques.

Définition originelle[modifier | modifier le code]

À l'origine (1872 en français, de l'allemand Mantisse, du latin mantissa), le terme mantisse désigne la différence entre le logarithme d'un nombre, et la partie entière de ce logarithme, c'est-à-dire sa partie fractionnaire. Il est utilisé dans les tables de logarithmes (népérien et décimal).

  • Dans le nombre décimal 123,7585, la partie entière est 123 et la mantisse est 0,7585.
  • Dans le nombre décimal négatif - 17,228, la partie entière est -18 et la mantisse est 0,772.

On parle de mantisse et de caractéristique d'un logarithme décimal ou d'un logarithme népérien.

  • Dans log(123,7) = 2,09237, la caractéristique est 2 et la mantisse est 0,09237.
  • Dans ln(123,7) = 4,81786, la caractéristique est 4 et la mantisse est 0,81786.
  • Dans log(0,001237) = - 2,90763 = -3 + 0,09237, la caractéristique est -3 et la mantisse est 0,09237.

La mantisse et la caractéristique d'un logarithme décimal sont en rapport étroit avec l'écriture du nombre initial en notation scientifique : si x = a \times 10^n avec a un nombre décimal compris entre 1 et 10 (exclu) alors \log_{10}(x) = n + \log_{10}(a), n est alors la caractéristique et log10(a) la mantisse de log10(x).

C'est certainement l'écriture sous cette forme scientifique qui est à l'origine du glissement de sens du terme mantisse.

Autre définition[modifier | modifier le code]

En informatique, la nécessité de trouver une écriture des nombres compatible avec la taille mémoire qu'on lui attribue a privilégié la notation scientifique et l'écriture en virgule flottante.

Dans l'écriture en notation scientifique du nombre décimal non nul x, x = \pm a \times 10^na est un nombre décimal compris entre 1 et 10 (exclu) et n un entier relatif, le nombre a est communément appelé la mantisse de x, n l'exposant de x et \pm le signe de x. L'usage du terme mantisse est cependant découragé dans ce sens par la norme internationale IEEE 754 pour la représentation des nombres à virgule flottante, qui recommande plutôt l'usage en anglais du terme significand, que l'on peut traduire en français par « significande[1] ». Le risque de confusion est en effet évident, puisque ici c'est plutôt log(a) qui est la mantisse de log|x|.

Un nombre décimal est alors connu par la donnée de ces trois valeurs : le signe, le significande (ou la mantisse), et l'exposant.

Exemples sur une calculatrice scientifique[modifier | modifier le code]

Essayons d'obtenir une valeur approchée avec la calculatrice et regardons comment elle se comporte.

  • Avec un nombre A supérieur à 1010 :
  1. Prenons A, le produit de deux entiers grands, 123456 et 654321 (écrire l'opération sur la machine) ;
  2. Lorsqu'on appuie sur la touche Résultat de la calculatrice, celle-ci affiche X = 8,077...10 (ou 8,077...e+10 selon) ;
  3. La mantisse a et l'exposant n sont parfaitement identifiables. a ≈ 8,077 et n = 10. Il faudrait donc écrire X ≈ 8,077 × 1010.
On peut aussi voir cela directement en tapant un nombre à plus de 10 chiffres.
  • Avec un nombre B inférieur à 10−3 :
  1. Prenons B, le quotient d'un entier petit par un grand, 2 et 3421 (écrire l'opération sur la machine) ;
  2. Lorsqu'on appuie sur la touche Résultat de la calculatrice, celle-ci affiche X = 5,846...- 04 (ou 5,846...e-04 selon) ;
  3. La mantisse a et l'exposant n sont parfaitement identifiables. a ≈ 5,846 et n = - 4. Il faudrait donc écrire X ≈ 5,846 × 10 - 4.
On peut aussi voir cela directement en tapant un nombre inférieur à 0,001.

Notes et références[modifier | modifier le code]

  1. Voir par exemple à la page 140 de : Introduction au fortran 90/95/2003, Jacques Lefrère, Université Pierre et Marie Curie Paris VI, dernière version (30 octobre 12) en ligne.