Élément absorbant

En mathématiques, un élément absorbant (ou élément permis) d'un ensemble pour une loi de composition interne est un élément de cet ensemble qui transforme tous les autres éléments en l'élément absorbant lorsqu'il est combiné avec eux par cette loi.

Définition

Soit $(E,\top)$ un magma. Soit $a\in E$.

• a est dit élément absorbant à gauche si $\forall x \in E,\quad a \top x = a$;
• a est dit élément absorbant à droite si $\forall x \in E,\quad x \top a = a$;
• a est dit élément absorbant s'il est absorbant à droite et à gauche.

Propriétés

• Dans un magma donné, l'élément absorbant, s'il existe, est unique. En effet, si $a_1$ et $a_2$ sont deux éléments absorbants, $a_1 = a_1 \top a_2 = a_2$.
• En revanche, plusieurs éléments absorbants à gauche ou à droite peuvent exister dans un magma donné, mais s'il existe plus d'un élément absorbant à gauche, il n'en existe aucun à droite. En effet, supposons $a_1$ et $a_2$ deux éléments absorbants à gauche, et $b$ un élément absorbant à droite: $a_1 = a_1 \top b = b = a_2 \top b = a_2$. Par symétrie, s'il existe plus d'un élément absorbant à droite, il n'en existe aucun à gauche.
• Si un magma a un élément absorbant à gauche et un élément absorbant à droite, ces deux éléments sont égaux et le magma a un élément absorbant. En effet, si $a_1$ est absorbant à gauche et $a_2$ absorbant à droite, $a_1 = a_1 \top a_2 = a_2$.
• L'élément absorbant d'une loi de composition interne est idempotent par cette loi : $a\top a = a$.
• Dans un anneau (A, +, ×), l'élément neutre de + est élément absorbant de ×.
  • Démonstration : $\forall x,y \in A, x \times y=(x+0) \times y$ (parce que $x = (x+0)$) et $(x+0) \times y = x \times y + 0 \times y$, d'où $x \times y = x \times y + 0 \times y$, d'où $0 = 0 \times y$. De même pour l'autre côté si l'anneau n'est pas commutatif.

Exemples

• L'élément absorbant de la multiplication entre des nombres réels est le zéro : $a\cdot 0 = 0\cdot a = 0$ (c'est d'ailleurs un exemple d'élément neutre de la première loi de l'anneau, absorbant pour la seconde). De façon analogue, le vecteur nul est élément absorbant pour le produit vectoriel et l'ensemble vide est élément absorbant pour l'intersection d'ensembles.
• L'élément absorbant de la disjonction est VRAI et celui de la conjonction est FAUX
• Pour tout ensemble E, sur l'ensemble des parties P(E), E est élément absorbant pour la réunion d'ensembles.
• Le seul groupe possédant un élément absorbant est le groupe trivial.
• En considèrant l'ensemble des fonctions définies sur $\mathbb{R}$ à valeur dans $\mathbb{R}$, doté de la loi $\top : (f,g) \to f \circ g$, les éléments absorbants à gauche sont les fonctions constantes. Et il n'existe pas d'élément absorbant à droite.

Voir aussi

• Élément neutre
• Élément symétrique
• Élément inversible