Élément absorbant

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En mathématiques (algèbre), un élément absorbant (ou élément permis) d'un ensemble pour une loi de composition interne est un élément de cet ensemble qui transforme tous les autres éléments en l'élément absorbant lorsqu'il est combiné avec eux par cette loi.

Définitions[modifier | modifier le code]

Soit (E,\top) un magma. Soit a\in E.

  • a est dit élément absorbant à gauche si \forall x \in E,\quad a \top x = a;
  • a est dit élément absorbant à droite si \forall x \in E,\quad x \top a = a;
  • a est dit élément absorbant s'il est absorbant à droite et à gauche.

Propriétés[modifier | modifier le code]

  • Dans un magma donné, l'élément absorbant, s'il existe, est unique. En effet, si a_1 et a_2 sont deux éléments absorbants, a_1 = a_1 \top a_2 = a_2.
  • En revanche, plusieurs éléments absorbants à gauche ou à droite peuvent exister dans un magma donné, mais s'il existe plus d'un élément absorbant à gauche, il n'en existe aucun à droite. En effet, supposons a_1 et a_2 deux éléments absorbants à gauche, et b un élément absorbant à droite: a_1 = a_1 \top b = b = a_2 \top b = a_2. Par symétrie, s'il existe plus d'un élément absorbant à droite, il n'en existe aucun à gauche.
  • Si un magma a un élément absorbant à gauche et un élément absorbant à droite, ces deux éléments sont égaux et le magma a un élément absorbant. En effet, si a_1 est absorbant à gauche et a_2 absorbant à droite, a_1 = a_1 \top a_2 = a_2.
  • L'élément absorbant d'une loi de composition interne est idempotent par cette loi : a\top a = a.
  • Dans un anneau (A, +, ×), l'élément neutre de + est élément absorbant de ×.
    • Démonstration : \forall x,y  \in  A,  x  \times  y=(x+0)  \times  y (parce que x = (x+0)) et (x+0)  \times  y = x  \times  y + 0  \times  y, d'où x  \times  y = x  \times  y + 0  \times  y, d'où 0 = 0  \times  y. De même pour l'autre côté si l'anneau n'est pas commutatif.

Exemples[modifier | modifier le code]

  • L'élément absorbant de la multiplication entre des nombres réels est le zéro : a\cdot 0 = 0\cdot a = 0 (c'est d'ailleurs un exemple d'élément neutre de la première loi de l'anneau, absorbant pour la seconde). De façon analogue, le vecteur nul est élément absorbant pour le produit vectoriel et l'ensemble vide est élément absorbant pour l'intersection d'ensembles.
  • L'élément absorbant de la disjonction est VRAI et celui de la conjonction est FAUX. Autrement dit, 1 est l'élément absorbant du "ou" binaire (ou inclusif), 0 est l'élément absorbant du "et" binaire.
  • Pour tout ensemble E, sur l'ensemble des parties P(E), E est élément absorbant pour la réunion d'ensembles.
  • Le seul groupe possédant un élément absorbant est le groupe trivial.
  • En considérant l'ensemble des fonctions définies sur \mathbb{R} à valeur dans \mathbb{R}, doté de la loi \top : (f,g) \to f \circ g, les éléments absorbants à gauche sont les fonctions constantes. Et il n'existe pas d'élément absorbant à droite.

Voir aussi[modifier | modifier le code]