Élément symétrique

En mathématiques, la notion d'élément symétrique généralise les concepts d'opposé en rapport avec l'addition et d'inverse en rapport avec la multiplication.

Sommaire

1 Définition
2 Propriétés
3 Exemples
4 Voir aussi

[modifier] Définition

Soit $E$ un ensemble muni d'une loi de composition interne $\top$ admettant un élément neutre $e\in E$ . Soit deux éléments $a$ et $b$ de $E$ .

Si $a\top b = e$ , $a$ est dit élément symétrique à gauche (ou élément inverse à gauche) de $b$ et $b$ est dit élément symétrique à droite (ou élément inverse à droite) de $a$ .
Si $a\top b = b\top a = e$ , $a$ est dit élément symétrique (ou élément inverse) de $b$ .

Un élément $x$ de $E$ qui admet au moins un symétrique à droite est dit symétrisable à droite (ou inversible à droite) ; s'il admet au moins un symétrique à gauche, il est dit symétrisable à gauche (ou inversible à gauche) ; s'il admet au moins un symétrique, il est dit symétrisable (ou inversible).

[modifier] Propriétés

Dans le cas général, comme pour les éléments neutres à droite et à gauche, il est possible pour un élément donné $y$ d'avoir plusieurs symétriques à droite, ou plusieurs symétriques à gauche. $y$ peut même avoir plusieurs symétriques à droite et plusieurs symétriques à gauche.

Si $(E,\top)$ est un monoïde (c'est-à-dire si $\top$ est associative et si $E$ possède un neutre pour cette loi), et si $y$ possède à la fois un symétrique à droite et un symétrique à gauche, alors ils sont égaux et le symétrique est unique. Dans ce cas, l'ensemble des éléments symétrisables de $E$ est un groupe.

[modifier] Exemples

Tout nombre réel $x$ possède un symétrique pour l'addition, noté $-x$ . Tout nombre réel non nul possède un symétrique pour la multiplication, noté $\frac 1{x}$ .

Si $(E,+,\times)$ est un anneau unitaire alors $(E,\times)$ est un monoïde, dont le groupe des éléments symétrisables est appelé le groupe des unités (ou groupe des inversibles) de l'anneau et noté $U(E)$ ou $E^\times$ .

Si $E$ est l'anneau des matrices carrées de taille fixée à coefficients dans un corps $K$ , son groupe des inversibles est le groupe linéaire, constitué des matrices de déterminant non nul. Si le déterminant de $M$ est égal à zéro, elle ne possède aucun symétrique, à gauche comme à droite ; l'existence d'un symétrique à gauche ou à droite implique dans ce cas l'existence d'un symétrique.