Espace de Hardy

Les espaces de Hardy, dans le domaine mathématique de l'analyse fonctionnelle, sont des espaces de fonctions analytiques sur le disque unité 𝔻 du plan complexe.

Le cas hilbertien : l'espace H²(𝔻)

Définition

Soit f une fonction holomorphe sur 𝔻, on sait que f admet un développement de Taylor en 0 sur le disque unité :

$\forall z\in\mathbb D,\qquad f(z) = \sum_{n=0}^{+ \infty} \, \hat{f}(n)\ z^n.$

On dit alors que f est dans l'espace de Hardy H²(𝔻) si la suite $\scriptstyle(\hat{f}(n))$ appartient à ℓ² . Autrement dit on a :

$H^2(\mathbb{D}) = \lbrace f \in Hol(\mathbb{D}) : \sum_{n=0}^{+ \infty} \, |\hat f(n)|^2< +\infty \rbrace$

On définit alors la norme de f par :

$\|f\|_2:=\left(\sum_{n=0}^{+ \infty}|\hat{f}(n)|^2\right)^\frac12.$

Exemple

La fonction $z\mapsto\log(1-z)= - \sum_{n=1}^{\infty} \frac{z^n}{n}$ appartient à H²(𝔻).

Une autre expression de la norme

Pour f holomorphe sur 𝔻 et pour 0 ≤ r <1 on définit :

$M_2(f,r):=\left(\frac1{2\pi}\int_{-\pi}^\pi\vert f(re^{it})\vert^2~\mathrm dt\right)^\frac12.$

• la fonction r ↦ M₂(f,r) est croissante sur [0,1[.
• f∈H²(𝔻) si et seulement si $\scriptstyle\lim_{r\to1^-}M_{2}(f,r)<+\infty$ et on a :

$\vert \vert f \vert \vert_{2}^{2} = \lim_{r\to1^-}{\frac{1}{2 \pi} \int_{- \pi}^\pi\vert f(r e^{it}) \vert^2~\mathrm dt} = \sup_{ 0 \leq r <1}\frac1{2 \pi} \int_{- \pi}^{\pi} \vert f(r e^{it}) \vert^2~\mathrm dt.$

Démonstration

• Posons $z=r e^{it}$ où $r \in [0,1 [$ et $t \in [- \pi, \pi]$. On a : $f(z)=\sum_{n=0}^{+ \infty} \hat{f}(n) z^n \hbox{ donc } f(r e^{it})=\sum_{n=0}^{+ \infty} \hat{f}(n) r^n e^{int}$ Alors par la formule de Parseval on a : $M_{2}(f,r)^2= \sum_{n=0}^{+ \infty} \vert \hat{f}(n) \vert^{2} r^{2n}$ Cette formule prouve la première assertion.
• Si f∈H²(𝔻), la formule précédente montre que $M_2(f,.)$ est une fonction croissante, bornée donc $\displaystyle{\lim_{r \rightarrow 1-} M_{2}(f,r)}$ existe et d'après le théorème de convergence monotone cette limite est égale à $\vert \vert f \vert \vert_{2}$. Réciproquement si $\displaystyle{\lim_{r \rightarrow 1-} M_{2}(f,r) = M < +\infty}$, pour chaque $N \geq 0$, on a par croissance de $M_{2}(f,r)$ : $\sum_{n=0}^{N} \vert \hat{f}(n) \vert^2 r^{2n} \leq \sum_{n=0}^{+ \infty} \vert \hat{f}(n) \vert^2 r^{2n} \leq M^2$ En passant à la limite quand $r$ tend vers $1^{-}$ puis quand $N$ tend vers $+ \infty$ on obtient la deuxième assertion.

Quelques propriétés de l'espace H²(𝔻)

• L'espace de Hardy H²(𝔻) est isomorphiquement isométrique (en tant qu'espace vectoriel) à ℓ². C'est donc un espace de Hilbert.

Démonstration

On considère l'application $T : H^2(\mathbb{D}) \rightarrow \ell_2$ définie par $T(f)= (\hat{f}(n))$. Celle-ci est bien définie par définition de H²(𝔻), elle est clairement linéaire. Par unicité du développement en série entière elle est injective, il reste à montrer qu'elle est surjective.

Soit $(a_n) \in \ell_2$, $(a_n)$ est bornée donc la série entière f définie par $f(z) = \sum_{n=0}^{+ \infty} a_n z^n$ a un rayon de convergence supérieur ou égal à 1, en particulier $f \in Hol(\mathbb{D})$ et $T(f)= (a_n)$. T est donc bien surjective.

• Pour tout f∈H²(𝔻) et pour tout z dans 𝔻 on a :

$\vert f(z) \vert \leq \frac{\vert \vert f \vert \vert_{2} }{\sqrt{1-\vert z \vert^2}}.$

Démonstration

On va appliquer l'inégalité de Cauchy-Schwarz au développement en série de Taylor de f en 0, on a alors pour tout z dans 𝔻 :

$\vert f(z) \vert \leq \sum_{n=0}^{ + \infty} \vert \hat{f}(n) \vert \vert z \vert^n \leq \vert \vert f \vert \vert_2 \, {(\sum_{n=0}^{+ \infty} \vert z \vert^{2n} )}^{ \frac{1}{2}}$ $= \frac{\vert \vert f \vert \vert_{2} }{\sqrt{1-\vert z \vert^2}} \; \; \; \; \;$

Cela signifie que l'application linéaire d'évaluation f ↦ f(z), de H²(𝔻) dans ℂ, est continue pour tout z dans 𝔻 et sa norme est plus petite que :

$\frac1{\sqrt{1- \vert z \vert^2}}.$

En fait on peut montrer que la norme est exactement égale à cette constante.

• La topologie faible de la boule unité de H²(𝔻) coïncide avec la topologie de la convergence uniforme sur tout compact.

Les deux prochaines propriétés sont alors des conséquences directes de cette dernière.

• Soit (f_n) une suite d'éléments de H²(𝔻) qui converge en norme vers f alors (f_n) converge uniformément sur tout compact de 𝔻 vers f.
• Soit (f_n) une suite d'éléments de H²(𝔻) incluse dans la boule unité. Alors on peut en extraire une sous-suite qui converge uniformément sur tout compact de 𝔻.

Le cas général

Définition

Pour 0 < p < + ∞ on définit l'espace de Hardy H^p(𝔻) comme étant l'espace des fonctions analytiques f sur le disque unité telles que :

$\sup_{ 0<r<1}\left(\int_0^{2\pi}|f(r e^{it})|^p~\frac{\mathrm d t}{2 \pi}\right) < + \infty.$

On définit alors :

$\|f\|_p=\sup_{ 0<r<1}\left(\int_0^{2\pi}|f(r e^{ i t})|^p~\frac{\mathrm d t}{2 \pi}\right)^\frac1p.$

Quelques propriétés

• Pour p ≥ 1, H^p(𝔻) est un espace de Banach.
• Soit f∈H^p(𝔻) pour p ≥ 1. Alors pour presque tout t (au sens de la mesure de Lebesgue) : $f^*( e^{ i t}):= \lim_{r\to1^-} f_r(e^{i t})$ existe et l'application f ↦ f* est une isométrie de H^p(𝔻) sur le sous-espace $\scriptstyle H^p_*$ de $\scriptstyle L^p\left([0, 2 \pi], \frac{\mathrm d t}{2 \pi}\right)$ où : $H^p_*=\left\{\left.f \in L^p\left([0, 2 \pi],\frac{\mathrm d t}{2 \pi}\right)~\right|~\forall n\le-1,~\hat f(n)=0\right\}.$
• On a une autre caractérisation de la norme grâce aux propriétés des fonctions sous-harmoniques : Pour toute f∈H^p(𝔻), on a :

$\|f\|_p=\lim_{r\to1^-}\left(\int_0^{2\pi}|f(re^{it})|^p\frac{\mathrm d t}{2\pi}\right)^\frac1p.$

Factorisation de Beurling

Voir la section correspondante de l'article anglophone.

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Référence

(en) Peter L. Duren, Theory of H^p Spaces, Dover, 2000 (ISBN 978-0-48641184-2) [lire en ligne] 

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