Transformation unitaire

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Une transformation unitaire est un isomorphisme entre deux espaces de Hilbert. En d'autres termes, une transformation unitaire est une fonction bijective :

$U:H_1\to H_2\,$

où $H_1$ et $H_2$ sont des espaces de Hilbert telles que

$\langle Ux, Uy \rangle = \langle x, y \rangle$

pour tout $x$ et $y$ de $H_1$. Une transformation unitaire est une isométrie, comme on peut le voir en supposant $x=y$ dans cette formule.
Dans le cas où $H_1$ et $H_2$ sont le même espace, une transformation unitaire est un automorphisme de cet espace de Hilbert, et est alors aussi appelé opérateur unitaire.

Une notion relativement proche est celle de transformation antiunitaire, qui est une fonction bijective :

$U:H_1\to H_2\,$

entre deux espaces de Hilbert complexe telle que :

$\langle Ux, Uy \rangle = \overline{\langle x, y \rangle}=\langle y, x \rangle$

pour tout $x$ et $y$ de $H_1$, ou la barre horizontale représente le conjugué.

Voir aussi

• Symétrie CPT
• Mécanique matricielle#Théorie de la transformation

• (en) Cet article est partiellement ou en totalité issu de l’article de Wikipédia en anglais intitulé « Unitary transformation » (voir la liste des auteurs)