Noyau de Poisson

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En théorie du potentiel, le noyau de Poisson est un opérateur intégral utilisé pour résoudre le problème de Dirichlet en dimension 2. Plus précisément, il donne des solutions à l'équation de Laplace en deux dimensions vérifiant les conditions aux limites de Dirichlet sur le disque unité. Cet opérateur peut se concevoir comme la dérivée de la fonction de Green solution de l'équation de Laplace.

Le noyau de Poisson est important en analyse complexe car il est à l'origine de l'intégrale de Poisson qui donne une fonction harmonique définie sur le disque unité prolongement d'une fonction définie sur le cercle unité. Par définition, les fonctions harmoniques sont solutions de l'équation de Laplace et, en dimension 2, les fonctions harmoniques sont exactement les fonctions méromorphes. Ainsi, le problème de Dirichlet en dimension 2 revient essentiellement à trouver les prolongements méromorphes d'une fonction définie sur la frontière d'une partie finie.

Les noyaux de Poisson trouvent leurs applications en théorie de la régulation et dans les problèmes d'électrostatique en dimension 2. En pratique, la définition des noyaux de Poisson est souvent étendue aux problèmes de dimension n quelconque.

Les noyaux de Poisson en dimension 2[modifier | modifier le code]

Sur le disque unité[modifier | modifier le code]

Dans le plan complexe, le noyau de Poisson pour le disque unité est donné par

P_r(\theta) = \sum_{n=-\infty}^\infty r^{|n|}e^{in\theta} = \frac{1-r^2}{1-2r\cos\theta +r^2} = \operatorname{Re}\left(\frac{1+re^{i\theta}}{1-re^{i\theta}}\right), \ \ \ 0 \le r < 1.

P peut être considéré de deux façons : comme une fonction de deux variables, r et θ, ou comme une famille de fonction en θ indexées par r.

Si D = \{z:|z|<1\} est le disque unité de C, et si f est une fonction continue sur le cercle unité \partial D à valeurs dans R, alors, la fonction u définie par

u(re^{i\theta}) = \frac{1}{2\pi}\int_{-\pi}^\pi P_r(\theta-t)f(e^{it}) \, \mathrm{d}t, \ \ \ 0 \le r < 1

ou de manière équivalente par

 u(z) = \frac1{2\pi} \, \operatorname{Re}\left( \int_{-\pi}^{\pi} \frac{e^{it}+z}{e^{it}-z}f(e^{it}) \, \mathrm{d}t \right)

est harmonique sur D, et peut se prolonger en une fonction continue sur \bar{D} qui coïncide avec f sur la frontière du disque.

Habituellement, on se restreint à des fonctions qui sont soit de carré intégrable, soit p-intégrable sur le cercle unité. Quand on impose aux prolongement harmonique d'être holomorphe, alors les solutions sont des éléments de l'espace de Hardy. En particulier, le noyau de Poisson est souvent utilisé pour démontrer l'équivalence des espaces de Hardy sur le disque unité et sur le cercle unité.

Dans l'étude des séries de Fourier, les noyaux de Poisson font leurs apparitions dans l'étude des moyennes d'Abel pour les séries de Fourier en donnant un exemple de sommabilité de noyaux[1].

Sur le demi-plan supérieur[modifier | modifier le code]

Il est possible, à l'aide de certaines transformations de Möbius, de transformer conformément le disque unité en le demi-plan supérieur. La transformation conforme d'une fonction harmonique étant également harmonique, le noyau de Poisson peut donc s'étendre au demi-plan supérieur. L'intégrale de Poisson prend alors la forme suivante :

u(x+iy)=\frac1{\pi}\int_{-\infty}^\infty
P_y(x-t)f(t)\mathrm dt

pour y>0. Le noyau est quant à lui donné par

P_y(x)=\frac y{x^2 + y^2}.

Pour une fonction f\in L^p(\R), l'espace Lp des fonctions intégrables sur la droite réelle, u peut être considérée comme le prolongement harmonique de f sur le demi-plan supérieur. Par analogie avec le disque, quand u est holomorphe sur le demi-plan supérieur, alors u est un élément de l'espace de Hardy u\in H^p et en particulier,

\|u\|_{H^p}=\|f\|_{L^p}.

Ainsi, l'espace de Hardy Hp sur le demi-plan supérieur est un espace de Banach et en particulier, un sous-espace fermé de L^p(\R). Il ne s'agit néanmoins que d'une analogie ; la mesure de Lebesgue du cercle unité est finie, alors que celle de la droite réelle ne l'est pas.

Notes et références[modifier | modifier le code]

Note[modifier | modifier le code]

  1. (en) Yitzhak Katznelson (de), An introduction to Harmonic Analysis, Cambridge University Press,‎ 2004, 3e éd. (ISBN 978-0-52154359-0) (1e éd. Stanford University Press, 1965 ; 2e éd. Wiley, 1968 et Dover, 1976)

Référence[modifier | modifier le code]