Ellipsoïde

En mathématiques, et plus précisément en géométrie euclidienne, un ellipsoïde est une surface du second degré de l'espace euclidien à trois dimensions. Il fait donc partie des quadriques, avec pour caractéristique principale de ne pas posséder de point à l'infini.

L'ellipsoïde admet un centre et au moins trois plans de symétrie. L'intersection d'un ellipsoïde avec un plan est une ellipse, un point ou l'ensemble vide.

L'équation d'un ellipsoïde centré à l'origine d'un repère orthonormé et aligné avec les axes du repère est de la forme

{x^{2} \over a^{2}}+{y^{2} \over b^{2}}+{z^{2} \over c^{2}}=1

où $a$ , $b$ et $c$ , appelés demi-axes de l'ellipsoïde, sont des paramètres strictement positifs.

Équations

Équation généralisée

Dans un repère cartésien en trois dimensions, l'équation d'une surface quadratique est $\mathbf {x} ^{\mathsf {T}}A\,\mathbf {x} +B^{\mathsf {T}}\mathbf {x} +C=0$ où la matrice $A$ est, par construction, une matrice symétrique réelle. D'après le théorème spectral, elle est diagonalisable et ses valeurs propres sont toutes réelles. Si ces trois valeurs propres sont strictement positives (ou strictement négatives), c'est-à-dire que $A$ est de signature (3, 0) (ou (0, 3)), cette équation définit une quadratique type ellipsoïde. À condition éventuellement de changer tous les coefficients de l'équation par leur opposé, la matrice $A$ est alors définie positive. Le déterminant de $A$ n'étant pas nul, la quadratique possède un centre dont les coordonnées sont $\mathbf {v} =-{\frac {1}{2}}A^{-1}B,$ et son équation s'écrit sous la forme : $\left(\mathbf {x} -\mathbf {v} \right)^{\mathsf {T}}A\left(\mathbf {x} -\mathbf {v} \right)=k$ avec $k={\frac {1}{4}}B^{\mathsf {T}}A^{-1}B-C.$

Démonstration

Puisque d'une part $A$ est symétrique et que d'autre part tout scalaire est égal à sa matrice transposée, $\mathbf {v} ^{\mathsf {T}}A=\mathbf {v} ^{\mathsf {T}}A^{\mathsf {T}}=\left(A\mathbf {v} \right)^{\mathsf {T}}\quad {\rm {et}}\quad \mathbf {x} ^{\mathsf {T}}A\mathbf {v} =\left(\mathbf {x} ^{\mathsf {T}}A\mathbf {v} \right)^{\mathsf {T}}=\left(A\mathbf {v} \right)^{\mathsf {T}}\mathbf {x}$ donc ${\begin{aligned}\left(\mathbf {x} -\mathbf {v} \right)^{\mathsf {T}}A\left(\mathbf {x} -\mathbf {v} \right)-k&=\mathbf {x} ^{\mathsf {T}}A\mathbf {x} -\left(\mathbf {v} ^{\mathsf {T}}A\mathbf {x} +\mathbf {x} ^{\mathsf {T}}A\mathbf {v} \right)+\mathbf {v} ^{\mathsf {T}}A\mathbf {v} -k\\&=\mathbf {x} ^{\mathsf {T}}A\mathbf {x} -2\left(A\mathbf {v} \right)^{\mathsf {T}}\mathbf {x} +\left(A\mathbf {v} \right)^{\mathsf {T}}\mathbf {v} -k.\end{aligned}}$ Or $\left(A\mathbf {v} \right)^{\mathsf {T}}=-{\frac {1}{2}}B^{\mathsf {T}}\quad {\rm {et}}\quad \left(A\mathbf {v} \right)^{\mathsf {T}}\mathbf {v} -k=C$ si (et seulement si) $\mathbf {v} =-{\frac {1}{2}}A^{-1}B\quad {\rm {et}}\quad k={\frac {1}{4}}B^{\mathsf {T}}A^{-1}B-C.$

Si $k$ est strictement positif, l'ellipsoïde (centré en $v$ et arbitrairement orienté) est alors l'ensemble des points $x$ vérifiant l'équation :

\left(\mathbf {x} -\mathbf {v} \right)^{\mathsf {T}}A_{1}\left(\mathbf {x} -\mathbf {v} \right)=1

où $A 1$ est réelle, définie positive.

De plus, les vecteurs propres de $A 1$ définissent les axes de l'ellipsoïde et les valeurs propres de $A 1$ sont égales à l'inverse du carré des demi-axes (c'est-à-dire $1/ a 2$ , $1/ b 2$ et $1/ c 2$ )^[1]. Les valeurs singulières de $A 1$ , étant égales aux valeurs propres, sont donc égales à l'inverse du carré des demi-axes.

Paramétrisation

Un ellipsoïde peut être paramétré de différentes manières. Une des possibilités, en choisissant l'axe $z$ , est la suivante : ${\begin{cases}x=a\cos(\theta )\cos(\phi )\\y=b\cos(\theta )\sin(\phi )\\z=c\sin(\theta )\end{cases}}$ où $-\pi /2\leq \theta \leq \pi /2\quad {\rm {et}}\quad -\pi \leq \phi \leq \pi .$ Les paramètres peuvent être vus comme des coordonnées sphériques. Pour un $θ$ constant, nous obtenons une ellipse qui est l'intersection de l'ellipsoïde et d'un plan $z = k$ . Le paramètre $ϕ$ correspond alors à l'anomalie excentrique de cette ellipse. Il existe deux autres paramétrisations, chacune possédant sa propre interprétation. Seuls les ellipsoïdes de révolution possèdent une unique définition de la latitude réduite.

Espace projectif

En géométrie projective^{[réf. nécessaire]}, l'équation d'un ellipsoïde imaginaire est de la forme

{\frac {x^{2}}{a^{2}}}+{\frac {y^{2}}{b^{2}}}+{\frac {z^{2}}{c^{2}}}+1=0.

L'équation genre ellipsoïde, cône imaginaire :

{\frac {x^{2}}{a^{2}}}+{\frac {y^{2}}{b^{2}}}+{\frac {z^{2}}{c^{2}}}=0.

Cas particuliers

Ellipsoïde triaxial

Un ellipsoïde est dit triaxial si ses trois demi-axes sont différents.

Ellipsoïde de révolution

Article détaillé : Ellipsoïde de révolution.

Dans le cas où seuls deux demi-axes sont égaux, l'ellipsoïde peut être engendré par la rotation d'une ellipse autour d'un de ses axes. Il s'agit d'un ellipsoïde de révolution, parfois appelé sphéroïde, permettant d'obtenir les miroirs elliptiques des projecteurs de cinéma et les ballons de rugby. On montre aussi que cette surface est optimale pour les dirigeables.

En prenant $a = b$ , l'équation s'écrit :

{\frac {x^{2}+y^{2}}{a^{2}}}+{\frac {z^{2}}{c^{2}}}-1=0.

On obtient un ellipsoïde de révolution d'axe $Oz$ . En effet, les sections par les plans $z = k$ sont des cercles d'axe $Oz$ .

Si $a=b<c$ , l’ellipsoïde est dit prolate (c'est-à-dire, allongé).
Si $a=b=c$ , l’ellipsoïde est une sphère.
Si $a=b>c$ , l’ellipsoïde est dit oblate (c'est-à-dire, aplati).

La méridienne dans le plan $xOz$ que l'on obtient avec $y = 0$ est l'ellipse d'équation :

{\frac {x^{2}}{a^{2}}}+{\frac {z^{2}}{c^{2}}}-1=0.

On remarque que l'on passe de l'équation de la méridienne à l'équation de la surface de révolution en remplaçant $x 2$ par $x 2 + y 2$ .

Sphère

Dans le cas dégénéré où $a = b = c$ , l'ellipsoïde est une sphère de rayon $a$ .

Propriétés

Volume

Le volume de l'espace délimité par un ellipsoïde est égal à : $V={\frac {4}{3}}\pi abc={\frac {4\pi }{3}}{\sqrt {\det \left({A_{1}}^{-1}\right)}}.$

Cette formule donne le volume d'une boule de rayon $a$ dans le cas où les trois demi-axes sont de la même longueur.

Les volumes du plus grand parallélépipède rectangle inscrit et du plus petit parallélépipède rectangle circonscrit sont donnés par les formules suivantes : $V_{\max }={\frac {8}{3{\sqrt {3}}}}abc\quad {\rm {et}}\quad V_{\min }=8abc.$

Aire

L'aire d'un ellipsoïde quelconque est donnée par la formule^[2]

{\mathcal {A}}=2\pi c^{2}+{\frac {2\pi ab}{\sin(\phi )}}\left(E(\phi ,k)\sin ^{2}(\phi )+F(\phi ,k)\cos ^{2}(\phi )\right),

où

\cos(\phi )={\frac {c}{a}},\qquad k^{2}={\frac {a^{2}\left(b^{2}-c^{2}\right)}{b^{2}\left(a^{2}-c^{2}\right)}},\qquad a\geq b\geq c,

et où $F (ϕ, k)$ et $E (ϕ, k)$ sont les intégrales elliptiques incomplètes de première et deuxième espèce respectivement^[3] :

F(\phi ,k)=\int _{0}^{\phi }{\frac {\mathrm {d} \theta }{\sqrt {1-k^{2}\sin ^{2}\theta }}},\quad E(\phi ,k)=\int _{0}^{\phi }{\sqrt {1-k^{2}\sin ^{2}\theta }}~\mathrm {d} \theta .

Excentricité

Si $a \geq b \geq c$ (c'est-à-dire si $a$ est la longueur du plus grand demi-axe et $c$ est la longueur du plus petit demi-axe), l'excentricité de l'ellipsoïde est donnée par la formule suivante :

$e={{\sqrt {a^{2}-c^{2}}} \over a}.$

Applications

Les propriétés des ellipsoïdes ont été étudiées depuis des siècles dans la recherche des formes que prennent les systèmes en rotation, Newton s'est intéressé en particulier à l'aplatissement des pôles (modèle ellipsoïdal de la Terre). Les mathématiciens les plus brillants ont contribué à l'étude des figures ellipsoïdales d'équilibre des systèmes en rotation^[4] que l'on rencontre dans la nature, par exemple :

Les corps célestes dont la cohésion est assurée par la gravitation
Les fluides dont la cohésion est assurée par la tension superficielle : par exemple les gouttes d'eau en impesanteur.
Les noyaux atomiques dans le modèle de la goutte liquide.

Propriétés dynamiques

Une ellipsoïde de densité uniforme $ρ$ possède la masse suivante :

m=\rho V={\frac {4\pi \rho }{3}}abc

Les moments d'inertie dans le système des axes principaux sont :

I_{xx}={\frac {m}{5}}(b^{2}+c^{2})

I_{yy}={\frac {m}{5}}(a^{2}+c^{2})

I_{zz}={\frac {m}{5}}(a^{2}+b^{2})

Les produits d'inertie sont tous nuls dans ce système d'axe :

I_{xy}=I_{yx}=I_{xz}=I_{zx}=I_{yz}=I_{zy}=0

Exemples

Notes et références

(en) Cet article est partiellement ou en totalité issu de l’article de Wikipédia en anglais intitulé « Ellipsoid » (voir la liste des auteurs).

↑ (en) Stephen P. Boyd (en), « Lecture 15. Symmetric matrices, quadratic forms, matrix norm, and SVD », sur Université Stanford, automne 2012-2013.
↑ (en) F. W. J. Olver (dir.), D. W. Lozier (dir.), R. F. Boisvert (dir.) et C. W. Clark (dir.), NIST Handbook of Mathematical Functions, Cambridge University Press, 17 mai 2010 (lire en ligne).
↑ http://dlmf.nist.gov/19.2
↑ (en) Subrahmanyan Chandrasekhar, Ellipsoidal figures of equilibrium, New Haven (USA), Yale University Press, 1969, 253 p. (ISBN 0-486-65258-0)

Voir aussi

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ellipsoïde, sur le Wiktionnaire

Portail de la géométrie

[1] (en) Stephen P. Boyd (en), « Lecture 15. Symmetric matrices, quadratic forms, matrix norm, and SVD », sur Université Stanford, automne 2012-2013.

[2] (en) F. W. J. Olver (dir.), D. W. Lozier (dir.), R. F. Boisvert (dir.) et C. W. Clark (dir.), NIST Handbook of Mathematical Functions, Cambridge University Press, 17 mai 2010 (lire en ligne).

[3] ttp://dlmf.nist.gov/19.2

[4] (en) Subrahmanyan Chandrasekhar, Ellipsoidal figures of equilibrium, New Haven (USA), Yale University Press, 1969, 253 p. (ISBN 0-486-65258-0)

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[3]

[4]

v · m Quadriques
Quadriques impropres	Cône Cône elliptique (en) Cône de révolution Cylindre Cylindre elliptique Cylindre de révolution Cylindre hyperbolique Cylindre parabolique
Quadriques propres	Ellipsoïde Ellipsoïde de révolution ou sphéroïde Sphère Sphéroïde de Maclaurin Hyperboloïde Hyperboloïde à une nappe Hyperboloïde à deux nappes Paraboloïde Paraboloïde hyperbolique Paraboloïde elliptique Paraboloïde circulaire
Applications	Modèle ellipsoïdal de la Terre Structure hyperboloïde Miroirs sphériques, paraboliques, elliptiques et hyperboliques Miroir sphérique Miroir cylindro-parabolique Lentilles sphériques et cylindriques Lentille asphérique Lentille à gradient d'indice