D'alembertien

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Le d'alembertien, ou opérateur d'alembertien est la généralisation du concept du laplacien dans une métrique minkowskienne. Il apparaît en particulier en électromagnétisme pour décrire la propagation des ondes électromagnétiques ainsi que dans l'équation de Klein-Gordon.

Formule[modifier | modifier le code]

Le d'alembertien, en général noté \Box s'écrit, dans un système de coordonnées cartésiennes,

\Box = \frac{1}{c^2}\frac{\partial^2}{\partial t^2} - \left(\frac{\partial^2}{\partial x^2} + \frac{\partial^2}{\partial y^2} + \frac{\partial^2}{\partial z^2}\right) , où c est la vitesse de la lumière, ce que l'on peut réécrire en terme du laplacien par :
\Box = \frac{1}{c^2}\frac{\partial^2}{\partial t^2} - \Delta.

Plus généralement, partant de la métrique de Minkowski ηab, on peut réécrire le d'alembertien selon la formule

\Box = \eta^{ab} \frac{\partial}{\partial x^a} \frac{\partial}{\partial x^b},

où l'on effectue la somme sur toutes les coordonnées t, x, y, z. Cette définition est cependant dépendante de la convention de signe de la métrique, aussi le signe du d'alembertien dépend-il parfois des auteurs.

Application[modifier | modifier le code]

Le d'alembertien apparait dans l'équation d'onde du quadri-potentiel électromagnétique :

\Box A^\mu = 0.

L'équation de Klein-Gordon fait également intervenir l'opérateur :

(\Box +m^2) \psi = 0.

Articles connexes[modifier | modifier le code]