Axiome du choix

En mathématiques, l'axiome du choix, abrégé en « AC », est un axiome de la théorie des ensembles.

Énoncé

L'axiome du choix peut s'énoncer comme suit :

(0) « Étant donné un ensemble X d'ensembles non vides, il existe une fonction définie sur X, appelée fonction de choix, qui à chacun d'entre eux associe un de ses éléments. »

L'appel à l'axiome du choix n'est pas nécessaire si X est un ensemble fini. L'axiome du choix devient, dans ce cas particulier, une simple conséquence de la définition d'ensemble non vide (c'est-à-dire qu'il existe un élément appartenant à cet ensemble). Le résultat se montre par récurrence sur le nombre d'éléments de X.

Il existe d'autres cas particuliers, où une telle fonction peut être explicitement définie. Par exemple, pour un ensemble X de sous-ensembles non vides des entiers naturels, on peut définir une fonction de choix en posant, pour x un élément de X, f(x) égal à l'élément minimal de x. On s'est servi de la propriété de bon ordre sur les entiers naturels, et non de l'axiome du choix. Cependant dans le cas général, l'existence d'une fonction de choix repose sur l'axiome ci-dessus.

Autres formulations

On trouve d'autres formulations de l'axiome du choix, très proches de la précédente, dont les suivantes :

(1) « Le produit d'une famille d'ensembles non vides est non vide », c'est-à-dire que pour toute famille (X_i)_{i ∈ I} :

{\bigg (}\forall i\in I\ X_{i}\neq \varnothing {\bigg )}\ \Rightarrow \ \prod _{i\in I}X_{i}\neq \varnothing

(2) Étant donné un ensemble E, il existe une fonction définie sur l'ensemble des parties de E, et qui à toute partie non vide de E associe un élément de cette partie.
(3) « Toute surjection est inversible à droite ».
(4) Pour toute relation d'équivalence R sur un ensemble E, il existe un choix de représentants de R, autrement dit un sous-ensemble F de E tel que tout élément de E est R-équivalent à un unique élément de F.

Démonstration des équivalences

(2) ⇔ (0) : (2) est un cas particulier de (0), modulo un prolongement arbitraire de la fonction de choix pour l'ensemble vide. Réciproquement, on déduit (0) de (2) en prenant comme ensemble E la réunion des ensembles de X : (2) fournit une fonction de choix sur l'ensemble des parties non vides de E, donc sur X, sous-ensemble de celui-ci.
(1) ⇒ (0) : soit X un ensemble d'ensembles non vides. En appliquant (1) à la famille de ces ensembles, indexée par X lui-même, on construit un élément de leur produit, c'est-à-dire une fonction de choix.
(0) ⇒ (4) : soit R une relation d'équivalence. En appliquant (0) à l'ensemble X de ses classes, on obtient le choix d'un élément par classe.
(4) ⇒ (3) : à toute surjection s : E → I est associée une relation d'équivalence R sur E : deux éléments sont équivalents s'ils ont même image par s. Un inverse à droite pour s est donné par un choix de représentants de R.
(3) ⇒ (1) : pour (X_i)_{i ∈ I} une famille d'ensembles non vides, notons E la réunion disjointe des X_i, c'est-à-dire l'ensemble de tous les couples (i, x) tels que x appartienne à X_i. Alors la première projection, de E dans I, qui à (i, x) associe i, est une surjection, dont tout inverse à droite fournit un élément du produit des X_i.

Énoncés équivalents

L'axiome du choix est souvent utilisé par l'intermédiaire de l'un des deux énoncés suivants qui lui sont équivalents :

Théorème de Zermelo : « Tout ensemble non vide peut être muni d'une structure de bon ordre » ;
Lemme de Zorn : « Tout ensemble inductif non vide admet un élément maximal ».

On montre facilement que le théorème de Zermelo implique l'axiome du choix : comme pour les entiers naturels, si E est muni d'un bon ordre, le minimum pour celui-ci fournit une fonction de choix sur l'ensemble des parties non vides de E (second énoncé équivalent). De même le lemme de Zorn a également facilement pour conséquence l'axiome du choix.

Démonstration de ce que le lemme de Zorn implique l'axiome du choix.

Soit X une famille non vide d'ensembles non vides. Soit I l'ensemble des fonctions de choix f pour une sous-famille Y de X. L'ensemble I est non vide, car il est possible de définir sans l'axiome du choix une fonction de choix sur toute sous-famille finie de X. Cet ensemble est ordonné par le prolongement des applications. I est un ensemble inductif. Si le lemme de Zorn est vérifié, I admet un élément maximal, autrement dit une fonction de choix définie sur une sous-famille maximale Y de X. Si par l'absurde Y était différent de X, associer à un ensemble appartenant à X-Y un de ses éléments est toujours possible et permettrait de prolonger f à une sous-famille strictement plus grande, ce qui contredit la maximalité. Donc, Y=X et f est une fonction de choix pour X.

Les réciproques sont un peu plus délicates. On peut utiliser dans les deux cas assez naturellement la théorie des ordinaux, mais il est possible de démontrer le lemme de Zorn en travaillant directement sur la structure d'ordre de l'inclusion sur un ensemble de parties (c'est un ensemble inductif). Le théorème de Zermelo se déduit simplement du lemme de Zorn.

Indépendance de l'axiome du choix relativement à ZF

L'axiome du choix ne fait pas partie du jeu d'axiomes de la théorie des ensembles ZF. On appelle théorie ZFC, la théorie ZF munie en plus de l'axiome du choix.

En 1938, Kurt Gödel démontre que ZF+AC est une théorie cohérente si ZF l'est^[1]^,^[2].

En 1963, Paul Cohen démontre que ZF+(non)AC est aussi une théorie cohérente si ZF l'est. Ce qui achève la démonstration de l’indépendance de l'axiome du choix vis-à-vis des autres axiomes de ZF.

Cet axiome fait partie des axiomes optionnels et controversés de la théorie des ensembles. En effet, l'existence d'un objet défini à partir de l'axiome du choix n'est pas une existence constructive, c’est-à-dire que l'axiome ne décrit aucunement comment construire l'objet dont on affirme l'existence. Ainsi, dire qu'il existe une base de l'espace vectoriel des fonctions continues de R dans R ne permet en aucune façon de décrire une telle base. De ce point de vue, l'axiome du choix peut paraître d'un intérêt limité et c'est pourquoi certains mathématiciens se montrent plus satisfaits d'une démonstration s'ils peuvent éviter d'avoir recours à cet axiome du choix. Mais la plupart des mathématiciens l'utilisent sans réticence particulière.

Une illustration due à Bertrand Russell

Bertrand Russell disait à propos de l'axiome du choix : Pour choisir une chaussette plutôt que l'autre pour chaque paire d'une collection infinie, on a besoin de l'axiome du choix. Mais pour les chaussures, ce n'est pas la peine.

Explication :

Quand on dispose d'une paire de chaussettes quelconque, on n'a aucun moyen a priori de distinguer une chaussette de l'autre, ce sont des objets a priori identiques et même si chaque matin on arrive à choisir celle qu'on va mettre en premier, on serait bien en peine de trouver un procédé général qui nous permette de renouveler l'exploit éternellement.
Pour les chaussures, il existe un moyen de choisir qui fonctionne toujours (une fonction de choix naturelle) : choisir toujours la chaussure gauche (ou droite) puisqu'il y a toujours une chaussure gauche et une chaussure droite.

Paul Cohen a montré en 1962 qu'il était possible de construire un modèle de ZF dans lequel une certaine réunion dénombrable d'ensembles à deux éléments n'est pas dénombrable, confirmant l'intuition de Russell.

Exemples de théorèmes nécessitant l'axiome du choix

La première utilisation explicite de cet axiome est due à Peano, en 1890, pour démontrer l'existence de certaines solutions d'équations différentielles^[3]^,^[4].
L'axiome du choix est utilisé pour montrer qu'un ensemble fini au sens de Dedekind (c'est-à-dire un ensemble qu'on ne peut mettre en bijection avec aucun de ses sous-ensembles stricts) est fini au sens usuel (c'est-à-dire est bijectable avec un entier naturel)^[5].
Le théorème de la base incomplète en dimension quelconque (et même simplement l'existence d'une base pour tout espace vectoriel) n'est vrai qu'en supposant l'axiome du choix.
Le paradoxe de Banach-Tarski, est (entre autres) une conséquence de l'axiome du choix.
L'axiome du choix permet d'affirmer l'existence de parties de R non mesurables au sens de Lebesgue.
L'ensemble $*R$ des hyperréels doit son existence à l'axiome de choix.
En théorie des graphes, les nombres chromatiques de la ligne et du plan dépendent de l'axiome du choix.

Formes faibles de l'axiome du choix

Il existe des formes faibles de l'axiome du choix que le mathématicien utilise couramment, la plupart du temps sans s'en apercevoir à moins d'être logicien ou « constructiviste », et qui servent à « construire » des suites. Elles sont absolument indispensables pour l'exposé usuel des fondements de l'analyse.

Axiome du choix dénombrable

Article détaillé : Axiome du choix dénombrable.

Cet axiome, abrégé en « AD », est la restriction de l'axiome du choix aux familles dénombrables :

« Étant donnée une famille dénombrable d'ensembles non vides, il existe une fonction qui à chacun d'entre eux associe un de ses éléments. »

Il est par exemple utilisé pour démontrer qu'une fonction f définie sur R est continue en 0 ssi f(x_n) tend vers f(0) pour toute suite (x_n) tendant vers 0. Il permet aussi de démontrer qu'un produit dénombrable d'espaces compacts est compact, ou encore le théorème de Hahn-Banach pour un espace de Banach séparable. Il permet également de démontrer le théorème des fermés emboités (dont l'une des conséquences est le théorème de Baire).

Attention à une confusion courante : c'est la famille d'ensembles qui est dénombrable, aucune hypothèse n'étant faite sur les ensembles composant cette famille. L'axiome du choix dénombrable ne concerne pas la question du choix d'un élément dans un ensemble dénombrable mais la possibilité de faire une infinité dénombrable de choix simultanément.

Axiome du choix dépendant

Article détaillé : Axiome du choix dépendant.

Cet axiome, abrégé en « DC », assure que, si R est une relation sur un ensemble non vide E vérifiant

$\forall x\in E\ \exists y\in E\ xRy,$

alors il existe une suite $(x n)$ d'éléments de E telle que

$\forall n\ x_{n}Rx_{n+1}.$

Une forme plus forte de l'axiome du choix : le epsilon de Hilbert

article détaillé : Epsilon de Hilbert.

David Hilbert a introduit l'opérateur ε, qui à toute propriété P associe un objet εx.P(x) tel que, si P est vérifiée par au moins un élément alors P est vérifiée par εx.P(x). Cette construction permet de définir les quantificateurs et elle est utilisée par Nicolas Bourbaki pour développer sa théorie des ensembles, avec une variante notationnelle utilisant la lettre τ (tau)^[6].

Il est alors assez simple de montrer que l'axiome du choix devient un théorème, c'est-à-dire une conséquence des autres axiomes, et des règles logiques gouvernant l'emploi du tau^[7]. L'opérateur tau fournit en effet une « fonction » de choix universelle, une construction (qui n'est pas une fonction au sens ensembliste) associant à tout ensemble non vide un élément de celui-ci. Tout énoncé de la théorie des ensembles de Bourbaki se traduit facilement dans une théorie des ensembles de type ZF à laquelle on a ajouté un nouveau symbole de relation, et un axiome utilisant celui-ci qui exprime qu'il existe une relation de bon ordre sur tout l'univers : le principe du choix. Le tau peut alors s'interpréter par « le plus petit x vérifiant une propriété P, ∅ sinon ».

On associe de cette façon à tout énoncé clos démontrable dans la théorie de Bourbaki un énoncé traduit utilisant ce nouveau symbole qui est démontrable dans la théorie des ensembles ZF dont les schémas d'axiomes (on peut se restreindre au schéma d'axiomes de remplacement) ont été étendus aux énoncés contenant le nouveau symbole, et avec le principe du choix. En ajoutant l'axiome de fondation, la nouvelle théorie est conservative au-dessus de la théorie ZFC (avec axiome de fondation)^[8], c'est-à-dire qu'elle ne démontre pas de nouvel énoncé du langage initial.

Notes et références

↑ (en) Kurt Gödel, « The Consistency of the Axiom of Choice and of the Generalized Continuum-Hypothesis », PNAS, vol. 24, n^o 12,‎ 1938, p. 556–557 (DOI 10.1073/pnas.24.12.556).
↑ (en) Kurt Gödel, The Consistency of the Axiom of Choice and of the Generalized Continuum-Hypothesis with the Axioms of Set Theory, Princeton University Press, 1940, 72 pages, (ISBN 978-0-69107927-1) [lire en ligne].
↑ (en) Jon Barwise, Handbook of Mathematical Logic, Elsevier, 1989, 8^e éd. (ISBN 978-0-44486388-1, lire en ligne), p. 347, citant (en) Abraham Adolf Fraenkel, Yehoshua Bar-Hillel et Azriel Lévy, Foundation of Set Theory, Elsevier, coll. « Studies in Logic » (n^o 67), 1973, 2^e éd. (ISBN 978-0-72042270-2)
↑ (en) John J. O'Connor et Edmund F. Robertson, « A history of set theory », sur MacTutor, université de St Andrews.
↑ Plus précisément, l'axiome du choix dénombrable est une condition suffisante (mais non nécessaire) pour que tout ensemble fini au sens de Dedekind soit fini au sens usuel : voir par exemple Horst Herrlich, Axiom of Choice, Springer 2006, (ISBN 978-3540309895), chap 4, p. 48. Par contre, dans une théorie sans axiome du choix, on montre que l'on ne peut exclure l'existence d'ensembles qui sont à la fois finis au sens de Dedekind et infinis au sens usuel.
↑ N. Bourbaki, dans Éléments d'histoire des mathématiques section Fondements des mathématiques ; logique ; théorie des ensembles sous-section La formalisation de la logique, p.21 dit : ... la plus intéressante [des modifications ingénieuses des langages formalisés actuels] est sans doute l'introduction par Hilbert du symbole : τ, qui permet de considérer comme des signes abréviateurs les quantificateurs ∃ et ∀, d'éviter l'introduction du symbole fonctionnel "universel" ι de Peano et Russell (qui ne s'applique qu'à des relations fonctionnelles), et enfin dispense de formuler l'axiome du choix dans la théorie des ensembles ([163 a], t.III, p. 183.). La note ([163 a], t.III, p. 183.), renvoyant à : D. Hilbert, Gesammelte Abhandlungen, 3 vol., Berlin (Springer), 1932-35.
↑ N. Bourbaki, Éléments de mathématique : Théorie des ensembles [détail des éditions], ch.3
↑ Ceci se démontre en utilisant une variante simple de la méthode de forcing, qui n'utilise pas de générique, voir Jean-Louis Krivine, Théorie des ensembles [détail des éditions] chap 10.

Voir aussi

Articles connexes

Article détaillé : Théorie des ensembles.

Résultats liés à l'axiome du choix

Liens externes

Hadamard, Borel, Baire, Lebesgue : Cinq lettres sur la théorie des ensembles (sur numdam), Bulletin de la SMF, tome 33, 1905, p. 261-273
(en) A home page for the Axiom of Choice - an introduction and links collection, par Eric SchechterEric Schechter, de l'université Vanderbilt

Ouvrages

(en) Paul Howard et Jean Rubin, Consequences of the Axiom of Choice, AMS, coll. « Mathematical Surveys and Monographs » (n^o 59), 1998 (lire en ligne)
(en) H. Rubin et J. E. Rubin, Equivalents of the Axiom of Choice, vol. II, North-Holland Publishing Company, 1985 (lire en ligne)

Portail des mathématiques

[1] (en) Kurt Gödel, « The Consistency of the Axiom of Choice and of the Generalized Continuum-Hypothesis », PNAS, vol. 24, n^o 12,‎ 1938, p. 556–557 (DOI 10.1073/pnas.24.12.556).

[2] (en) Kurt Gödel, The Consistency of the Axiom of Choice and of the Generalized Continuum-Hypothesis with the Axioms of Set Theory, Princeton University Press, 1940, 72 pages, (ISBN 978-0-69107927-1) [lire en ligne].

[3] (en) Jon Barwise, Handbook of Mathematical Logic, Elsevier, 1989, 8^e éd. (ISBN 978-0-44486388-1, lire en ligne), p. 347, citant (en) Abraham Adolf Fraenkel, Yehoshua Bar-Hillel et Azriel Lévy, Foundation of Set Theory, Elsevier, coll. « Studies in Logic » (n^o 67), 1973, 2^e éd. (ISBN 978-0-72042270-2)

[4] (en) John J. O'Connor et Edmund F. Robertson, « A history of set theory », sur MacTutor, université de St Andrews.

[5] Plus précisément, l'axiome du choix dénombrable est une condition suffisante (mais non nécessaire) pour que tout ensemble fini au sens de Dedekind soit fini au sens usuel : voir par exemple Horst Herrlich, Axiom of Choice, Springer 2006, (ISBN 978-3540309895), chap 4, p. 48. Par contre, dans une théorie sans axiome du choix, on montre que l'on ne peut exclure l'existence d'ensembles qui sont à la fois finis au sens de Dedekind et infinis au sens usuel.

[6] N. Bourbaki, dans Éléments d'histoire des mathématiques section Fondements des mathématiques ; logique ; théorie des ensembles sous-section La formalisation de la logique, p.21 dit : ... la plus intéressante [des modifications ingénieuses des langages formalisés actuels] est sans doute l'introduction par Hilbert du symbole : τ, qui permet de considérer comme des signes abréviateurs les quantificateurs ∃ et ∀, d'éviter l'introduction du symbole fonctionnel "universel" ι de Peano et Russell (qui ne s'applique qu'à des relations fonctionnelles), et enfin dispense de formuler l'axiome du choix dans la théorie des ensembles ([163 a], t.III, p. 183.). La note ([163 a], t.III, p. 183.), renvoyant à : D. Hilbert, Gesammelte Abhandlungen, 3 vol., Berlin (Springer), 1932-35.

[7] N. Bourbaki, Éléments de mathématique : Théorie des ensembles [détail des éditions], ch.3

[8] Ceci se démontre en utilisant une variante simple de la méthode de forcing, qui n'utilise pas de générique, voir Jean-Louis Krivine, Théorie des ensembles [détail des éditions] chap 10.

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