Équations des télégraphistes

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Les équations des télégraphistes sont un système de deux équations aux dérivées partielles qui permettent de décrire l'évolution de la tension et du courant sur une ligne électrique en fonction de la distance et du temps . Ces équations ont été élaborées par Oliver Heaviside qui a développé dans les années 1880 le modèle des lignes électriques présenté dans cet article. Ce modèle permet en particulier de couvrir les phénomènes de transmission et de réflexion sur une ligne. Cette théorie est applicable à toute ligne électrique et à toute fréquence, en particulier aux lignes à haute fréquence (lignes de télégraphe par exemple), aux lignes à fréquence audio (lignes téléphoniques) ainsi qu'à basse fréquence (ligne à haute tension).

Les équations[modifier | modifier le code]

Formulation de base[modifier | modifier le code]

Représentation schématique des composants élémentaires d'une ligne de transmission.

Une portion de ligne électrique peut être représentée par le quadripole ci-contre où

  • La résistance linéique (par unité de longueur) R du conducteur est représentée par une résistance série (exprimée en ohms par unité de longueur).
  • L'inductance linéique L (est représentée par une self (Henry par unité de longueur).
  • La capacitance linéique C entre les 2 conducteurs est représenté par un condensateur C shunt (Farad par unité de longueur).
  • La conductance linéique G du milieu diélectrique séparant les 2 conducteurs est représenté par une résistance shunt (Siemens par unité de longueur). La résistance dans ce modèle a une valeur de 1/G ohms.

Dans ce modèle, on définit la tension en tout point éloigné d'une distance x du début de la ligne et à tout instant t la tension U(x,t) et le courant I(x,t). Les équations s'écrivent :

{\partial \over {\partial x}}U(x,t)=-{{L{\partial \over {\partial t}}I(x,t)}}-RI(x,t)
{\partial \over {\partial x}}I(x,t)=-{{C{\partial \over {\partial t}}U(x,t)}}-GU(x,t)

Autre formulation[modifier | modifier le code]

De la formulation ci-dessus, on peut tirer 2 équations aux dérivées partielles ne faisant chacune intervenir qu'une variable :


\frac{\partial^2}{{\partial x}^2} V =
L C \frac{\partial^2}{{\partial t}^2} V +
(R C + G L) \frac{\partial}{\partial t} V + G R V

\frac{\partial^2}{{\partial x}^2} I =
L C \frac{\partial^2}{{\partial t}^2} I +
(R C + G L) \frac{\partial}{\partial t} I + G R I

Conditions initiales[modifier | modifier le code]

Ces équations doivent être complétées par la définition de conditions initiales. On peut par exemple définir la condition de tension à l'extrémité initiale de la ligne (U(0,t)=U_0 \sin(2\pi f t) par exemple pour une ligne alimentée par une source sinusoïdale), et définir une relation entre courant et tension à l' autre extrémité de la ligne située à une distance l (U(l,t)=R'I(l,t) pour une ligne chargée par une résistance R', I(l,t)=0 pour une ligne à vide, ...)

Cas de la ligne sans perte[modifier | modifier le code]

Dans beaucoup de cas, on peut négliger les pertes en lignes. On pose alors R=0 et G=0. Les équations ci-dessus s'écrivent alors


\frac{\partial}{\partial x} I(x,t) =
-C \frac{\partial}{\partial t} V(x,t)

On peut combiner ces équations pour former les 2 équations de propagations suivantes :


\frac{\partial^2}{{\partial t}^2} V =
\frac{1}{LC} \frac{\partial^2}{{\partial x}^2} V

\frac{\partial^2}{{\partial t}^2} I =
\frac{1}{LC} \frac{\partial^2}{{\partial x}^2} I

Cas du régime sinusoïdal[modifier | modifier le code]

Cas de la ligne sans perte[modifier | modifier le code]

Vitesse de propagation et impédance caractéristique[modifier | modifier le code]

Ligne à vide[modifier | modifier le code]