Utilisateur:Cantons-de-l'Est/Brouillon/Relativité de la simultanéité

en:Relativity of simultaneity

Les évènements A, B et C arrivent dans un ordre différent selon la vitesse d'un observateur. Le trait blanc, qui progresse du passé vers le futur, montre l'ordre des évènements qu'il observe selon sa vitesse.

Les deux évènements A et B se trouvent à une certaine distance spatiale. La distance verticale est exprimée comme multiple de la vitesse de la lumière (c) et du temps (t, t′ ou t″). Si l'intervalle de temps de B multiplié par c est différent de ct, alors B se produit soit dans le passé, soit dans le futur de A. L'évènement A survient après l'évènement B dans le référentiel en rouge, est simultané à B dans le référentiel en vert et survient avant B dans le référentiel bleu.

En physique, la relativité de la simultanéité est une conséquence de la vitesse finie de la lumière : pour un observateur, qu'il soit immobile ou en mouvement, la simultanéité de deux évènements spatialement séparés est accidentelle, ou relative. À l'exception de cas géométriques précis, si deux observateurs sont spatialement séparés, alors chacun verra les deux évènements arriver en des temps différents. En conséquence, le temps n'est plus absolu, c'est-à-dire qu'il est impossible à deux observateurs distants d'observer deux évènements distants en affirmant mesurer le temps avec deux horloges parfaitement synchronisées : leur temps propre dépend du référentiel dans lequel chacun se trouve.

Description

Selon la relativité restreinte d'Albert Einstein, la vitesse de la lumière dans le vide est constante et maximale peu importe la nature et la vitesse de la source lumineuse qui la produit. Lorsqu'un évènement arrive, il faut un certain temps pour que la lumière atteigne un observateur puisque la vitesse de la lumière est finie. À cause de cette caractéristique, il est impossible d'affirmer que deux évènements distincts soient simultanés pour une personne en mouvement qui observe les deux mêmes évènements.

Supposons deux accidents d'auto, un à Paris et un autre à Montréal, qui arrivent tous deux en même temps selon l'horloge d'un observateur au sol. Pour un observateur dans un avion en vol reliant Montréal à Paris, les deux évènements paraîtront temporellement décalés selon son horloge, toujours à cause que la vitesse de la lumière est finie. Par ailleurs, si les deux évènements ne sont pas causalement reliés, l'un pourrait paraître arriver avant ou après l'autre selon le référentiel d'où ils sont observés. S'ils sont causalement connectés, l'évènement-cause sera toujours observé avant l'évènement-effet.

Histoire

En 1892 et en 1895, Hendrik Lorentz utilise la formule $t'=t-v{\frac {x}{c^{2}}}$, qu'il appelle « temps local », pour expliquer les échecs à démontrer l'existence de l'éther luminifère. Néanmoins, Lorentz ne donne aucune explication physique pour justifier cet effet. Ce qui est fait par Henri Poincaré qui a déjà discuté en 1898 de la convention sur la simultanéité et qu'il est utile de postuler la constance de la vitesse de la lumière, peu importe la direction d'où elle provient. Son article ne contient toutefois aucune allusion à la théorie de l'éther de Lorentz et ne discute pas de la simultanéité pour différents observateurs en mouvement relatif les uns par rapport aux autres. C'est en 1900 que Poincaré dérive le temps local en faisant l'hypothèse que la vitesse de la lumière est invariante dans l'éther. À cause du principe du mouvement relatif, les observateurs en mouvement dans l'éther croit qu'ils sont au repos et que la vitesse de la lumière est constante dans toutes les directions (seulement au premier ordre de v/c). En conséquence, s'ils synchronisent leur horloge respective en utilisant des signaux lumineux, ils vont seulement tenis compte du temps de transit de des signaux, mais pas de leur mouvement relatif par rapport à l'éther. Donc, les horloges en mouvement ne sont pas synchronisées et n'indiquent donc pas le « vrai » temps. Poincaré calcule que cette erreur de synchronisation correspond au temps local de Lorentz. En 1904, Poincaré met l'emphase sur la connexion entre le principe de relativité, le temps local et l'invariance de la vitesse de la lumière ; les raisonnements dans cet article sont néanmoins présentés de façon qualitative et conjecturale

Albert Einstein a recours à des méthodes mathématiques semblables en 1905 pour dériver la transformation de Lorentz pour n'importe quel ordre de v/c, c'est-à-dire l'application complète des transformations de Lorentz. Poincaré a obtenu cette transformation complète plus tôt cette même année, mais il ne mentionne aucune procédure de synchronisation dans les articles qu'il publie cette année-là. La dérivation obtenue par Einstein s'appuie sur l'invariance de la vitesse de la lumière et le principe de relativité, ce qui lui permet de ne plus s'appuyer sur la notion d'éther pour expliquer l'électrodynamique des corps en mouvement. En conséquence, la séparation entre « temps vrai » et « temps local » de Lorentz et Poincaré disparaît – tous les temps sont égaux et donc la relativité des longueurs et du temps sont des conséquences naturelles de la théorie d'Einstein.

La notion de ligne d'univers a été introduite par le mathématicien allemand Hermann Minkowski (1864-1909) dans un mémoire présenté à la Société royale des sciences de Göttingen le 21 décembre 1907 et publié en 1908 sous le nom de ligne d'espace-temps. Dans ce cadre, la notion de vitesse est remplacée par la notion de rapidité et la notion de simultanéité dépend dorénavant de l'orthogonalité hyperbolique des directions spatiales de la ligne d'univers associée à la rapidité.

Expériences de pensée

Train d'Einstein

Dans une expérience de pensée, Albert Einstein pose qu'un observateur est debout au milieu d'un train en mouvement, alors qu'un autre est debout sur le débarcadère d'une gare que le train dépasse. Selon le point de vue de l'observateur immobile, le train est frappé à chaque extrémité par un éclair simultanément. Dans son référentiel inertiel, il y a trois évènements simultanés qui sont spatialement distants tout en étant simultanés : l'observateur immobile est exactement vis-à-vis l'observateur mobile (qui se tient au milieu du train), un éclair qui frappe l'avant du train et un autre éclair qui frappe l'arrière du train.

Puisque les trois évènements sont dans le même plan géométrique, leur coordonnée temporelle sont différentes dans le référentiel inertiel du train en mouvement. L'observateur dans le train se rapproche de l'endroit où se trouvait l'extrémité avant du train et s'éloigne de l'endroit où se trouvait l'arrière du train. Pour lui, l'éclair qui frappe l'extrémité avant du train survient avant l'éclair qui frappe l'extrémité arrière du train (donc, un peu avant que les deux observateurs ne soient en vis-à-vis). De façon générale pour un observateur en mouvement avec le train, les évènements qui arrivent dans la moitié avant du train surviennent plus tôt que les évènements qui surviennent dans la moitié arrière du train, par rapport à un observateur immobile.

Wagon et plateforme

Daniel Frost Comstock, en 1910, et Albert Einstein, en 1917, proposent chacun une expérience de pensée semblable où un éclair lumineux apparaît au milieu d'un wagon en mouvement.

L'expérience du wagon et de la plateforme vue du référentiel de l'observateur à bord du train

La même expérience vue du référentiel de l'observateur sur la plateforme.

Un éclair lumineux illumine le milieu d'un wagon en mouvement vers la droite au moment où deux observateurs, un dans le train et l'autre sur une plateforme, se croisent. Pour l'observateur dans le train, la distance entre l'avant du wagon et l'arrière du wagon se trouvent à égale distance de la source lumineuse. Pour cet observateur, la lumière émise atteindra en même temps l'avant et l'arrière du wagon.

Pour l'observateur sur la plateforme, l'arrière du wagon se dirige vers le milieu du wagon où l'éclair est apparu et le devant s'éloigne de cette source lumineuse. La vitesse de la lumière étant à la fois finie et égale pour n'importe quel observateur peu importe la direction, la lumière qui se dirige vers l'arrière du wagon prendra moins de temps pour l'atteindre que la lumière qui se dirige vers l'avant du wagon. Donc, pour l'observateur immobile, les deux rayons lumineux vont frapper les deux extrémité en des temps différents.

Spacetime diagrams

Cet évènement peut être représenté par des diagrammes d'espace-temps. Pour un observateur donné, l'axe t sert à représenter un moment dans le temps et il est tracé verticalement. L'axe x sert à indiquer la position d'un point et il est tracé horizontalement. Par la relation d = vt, on peut remplacer l'échelle verticale t par l'échelle ct. Dès lors, puisque la vitesse de la lumière est finie et identique pour tout observateur, le parcours de la lumière dans ce nouveau type de diagramme est représenté par un trait à 45°.

Diagramme d'espace-temps dans le référentiel de l'observateur à bord du wagon.		Diagramme d'espace-temps dans le référentiel de l'observateur sur la plateforme.
L'éclair est symbolisé par le croisement des deux traits rouges. La distance horizontale parcourue par le rayon de lumière à gauche est identique à celle du rayon à droite. Idem pour les distances verticales. Le temps pris par la lumière pour atteindre l'avant du wagon est identique au temps pris pour atteindre l'arrière du wagon.		L'éclair est symbolisé par le croisement des deux traits rouges. La distance horizontale parcourue par le rayon de lumière à gauche est plus courte que celle du rayon à droite. Idem pour les distances verticales. Le temps pris par la lumière pour atteindre l'avant du wagon est plus grand que le temps pris pour atteindre l'arrière du wagon.

In the first diagram, the two ends of the train are drawn as grey lines. Because the ends of the train are stationary with respect to the observer on the train, these lines are just vertical lines, showing their motion through time but not space. The flash of light is shown as the 45° red lines. The points at which the two light flashes hit the ends of the train are at the same level in the diagram. This means that the events are simultaneous.

In the second diagram, the two ends of the train moving to the right, are shown by parallel lines. The flash of light is given off at a point exactly halfway between the two ends of the train, and again form two 45° lines, expressing the constancy of the speed of light. In this picture, however, the points at which the light flashes hit the ends of the train are not at the same level; they are not simultaneous.

Lorentz transformation

The relativity of simultaneity can be demonstrated using the Lorentz transformation, which relates the coordinates used by one observer to coordinates used by another in uniform relative motion with respect to the first.

Assume that the first observer uses coordinates labeled t, x, y, and z, while the second observer uses coordinates labeled t', x', y', and z'. Now suppose that the first observer sees the second observer moving in the x-direction at a velocity v. And suppose that the observers' coordinate axes are parallel and that they have the same origin. Then the Lorentz transformation expresses how the coordinates are related:

$t'={\frac {t-{v\,x/c^{2}}}{\sqrt {1-v^{2}/c^{2}}}}\ ,$

$x'={\frac {x-v\,t}{\sqrt {1-v^{2}/c^{2}}}}\ ,$

$y'=y\ ,$

$z'=z\ ,$

where c is the speed of light. If two events happen at the same time in the frame of the first observer, they will have identical values of the t-coordinate. However, if they have different values of the x-coordinate (different positions in the x-direction), they will have different values of the t' coordinate, so they will happen at different times in that frame. The term that accounts for the failure of absolute simultaneity is the v x/c².

A spacetime diagram showing the set of points regarded as simultaneous by a stationary observer (horizontal dotted line) and the set of points regarded as simultaneous by an observer moving at v = 0.25c (dashed line)

The equation t' = constant defines a "line of simultaneity" in the (x', t' ) coordinate system for the second (moving) observer, just as the equation t = constant defines the "line of simultaneity" for the first (stationary) observer in the (x, t) coordinate system. From the above equations for the Lorentz transform it can be seen that t' is constant if and only if t – v x/c² = constant. Thus the set of points that make t constant are different from the set of points that makes t' constant. That is, the set of events which are regarded as simultaneous depends on the frame of reference used to make the comparison.

Graphically, this can be represented on a space-time diagram by the fact that a plot of the set of points regarded as simultaneous generates a line which depends on the observer. In the space-time diagram, the dashed line represents a set of points considered to be simultaneous with the origin by an observer moving with a velocity v of one-quarter of the speed of light. The dotted horizontal line represents the set of points regarded as simultaneous with the origin by a stationary observer. This diagram is drawn using the (x, t) coordinates of the stationary observer, and is scaled so that the speed of light is one, i.e., so that a ray of light would be represented by a line with a 45° angle from the x axis. From our previous analysis, given that v = 0.25 and c = 1, the equation of the dashed line of simultaneity is t – 0.25x = 0 and with v = 0, the equation of the dotted line of simultaneity is t = 0.

In general the second observer traces out a worldline in the spacetime of the first observer described by t = x/v, and the set of simultaneous events for the second observer (at the origin) is described by the line t = vx. Note the multiplicative inverse relation of the slopes of the worldline and simultaneous events, in accord with the principle of hyperbolic orthogonality.

Accelerated observers

Roundtrip radar-time isocontours.

The Lorentz-transform calculation above uses a definition of extended-simultaneity (i.e. of when and where events occur at which you were not present) that might be referred to as the co-moving or "tangent free-float-frame" definition. This definition is naturally extrapolated to events in gravitationally-curved spacetimes, and to accelerated observers, through use of a radar-time/distance definition that (unlike the tangent free-float-frame definition for accelerated frames) assigns a unique time and position to any event.

The radar-time definition of extended-simultaneity further facilitates visualization of the way that acceleration curves spacetime for travelers in the absence of any gravitating objects. This is illustrated in the figure at right, which shows radar time/position isocontours for events in flat spacetime as experienced by a traveler (red trajectory) taking a constant proper-acceleration roundtrip. One caveat of this approach is that the time and place of remote events are not fully defined until light from such an event is able to reach our traveler.

Notes et références

(en) Cet article est partiellement ou en totalité issu de la page de Wikipédia en anglais intitulée « Relativity of simultaneity » (voir la liste des auteurs).

Articles connexes

• Paradoxe d'Ehrenfest
• Synchronisation d'horloges
• Synchronisation d'Einstein