Métrique riemannienne

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En géométrie différentielle, les métriques riemanniennes sont la notion de base de la géométrie riemannienne. La première introduction a été donnée par Bernhard Riemann en 1854. Cependant, son article sur le sujet a été publié après sa mort, en 1868. La même année, Hermann von Helmholtz publie des résultats analogues.

Les métriques riemanniennes sont des familles différentiables de formes quadratiques définies positives.

Définitions[modifier | modifier le code]

  • Sur un fibré vectoriel E→M, une métrique riemannienne g est la donnée d'un produit scalaire gx sur chaque fibre Ex qui dépende de manière lisse du point de base x variant dans M. Plus formellement, x↦gx est une section en tout point définie positive du fibré vectoriel S2E→M des formes bilinéaires symétriques. On dit que la donnée (E,g) est un fibré riemannien.
Pour deux fibrés riemanniens (E,g) et (F,g' ) sur M, un morphisme de fibrés riemanniens f:(E,g)→(E,g' ) est un morphisme de fibrés vectoriels f:E→E' tel que, pour tout point x de M, l'application linéaire fx:Ex→Fx est une isométrie linéaire, c'est-à-dire :
\forall v,w\in E_x,\quad g'_x(f_x(v),f_x(w))=g_x(v,w).
  • Si M est une variété différentielle, une métrique riemannienne sur M est simplement une métrique riemannienne sur son fibré tangent. La donnée (M,g) est une variété riemannienne.
Étant données deux variétés riemanniennes (M,g) et (N,g' ), une isométrie F:(M,g)→(N,g' ) est une application différentiable F:M→N telle que l'application tangente dF:(TM,g)→(TN,g' ) est un morphisme de fibrés riemanniens. Cette dernière condition se réécrit : F*g'=g.

Exemples[modifier | modifier le code]

  • Tout produit scalaire  <,> sur ℝn induit sur tout fibré vectoriel trivial M×ℝn→M une métrique riemannienne : g_x((x,v),(x,w))=<v,w>.
  • Soient g une métrique riemannienne sur E→M et P une variété. Pour une fonction différentiable ψ:P→M, il existe sur le fibré vectoriel tiré en arrière (en) ψ*E→P une unique métrique riemannienne ψ*g telle que le morphisme naturel ψ*E→E soit un isomorphisme de fibrés riemanniens.
  • Si g est une métrique riemannienne sur E→M, alors, par restriction, g définit une métrique riemannienne sur tout sous-fibré vectoriel de E.

Existence[modifier | modifier le code]

  • Sur tout fibré vectoriel de base paracompacte, il existe une métrique riemannienne.

En particulier :

  • Sur toute variété différentielle paracompacte, il existe une métrique riemannienne.

Voir aussi[modifier | modifier le code]