Système duodécimal

Le système dozénal, duodécimal ou base douze est un système de numération qui utilise douze comme base. Autrement dit, dans ce système, on compte en douzaines. Le nombre douze est donc écrit 10, représentant une douzaine et aucune unité, alors qu'en base dix, douze s'écrit 12 (pour une dizaine et deux unités). Écrire 12 dans un système duodécimal revient donc à écrire une douzaine et deux unités, soit 14 en base dix.

Ce système a quelques avantages par rapport au système décimal dominant fonctionnant en base dix, dans la mesure où il permet de diviser par 2, 3, 4, et 6 et d'obtenir un résultat avec un nombre fini de chiffres après la virgule (au lieu de seulement 2 et 5 en décimal).

Le nombre douze est le plus petit nombre avec quatre facteurs non triviaux (2, 3, 4, 6), ce qui fait qu'il est plus agréable et facile à utiliser pour des calculs comme les multiplications ou les divisions.

Description

En base douze, on utilise les dix chiffres de 0 à 9, et deux symboles variables pour représenter dix et onze. Il existe de nombreuses situations où A représente dix et B onze, mais d'autres symboles sont aussi employés.

À part A et B, on utilise souvent X (dix en chiffre romains) et E (pour eleven, onze en anglais), les chiffres ↊ (deux culbuté) et ↋ (trois culbuté) proposés par la Dozenal Society of America (DSA), les lettres α (lettre grecque alpha minuscule) et β (lettre grecque bêta minuscule), les lettres T (de l'anglais ten) et E (de l'anglais eleven) ou les lettres X (chiffre romain dix) et Y (qui suit la lettre X).

Alors que le décompte de certaines quantités comme les heures, les œufs ou les huîtres par douzaines est fréquent, l'utilisation d'un système en base douze n'est pas courante. On en trouve pourtant un exemple pratique utilisé dans la langue du Népal. Dans le passé, les Romains, malgré le décompte en base dix, utilisaient le système duodécimal pour représenter les fractions.

Histoire

"Douze" est le nombre qui devrait être appelé "deux six" ou "quatre fois trois", et a été utilisé dans divers aspects historiquement.

En latin par exemple, il existe un grand nombre de noms (sans parler des adjectifs encore plus nombreux) pour désigner des ensembles de douze (duodecim^[1]) unités^[2], ce qui montre la familiarité du décompte par douze. Cependant, le latin nomme le nombre "quatre fois trois" comme "dix plus deux" plutôt que "nombre indépendant", et le traite comme un "accessoire de dix".

duodecajugum : attelage de douze coursiers ;
duodecas : douzaine ;
duodecennium : période de douze ans ;
duodecemvir : collège de douze magistrats ;
etc.

Des exemples de cet usage sont les douze mois de l'année, les douze heures d'une montre (découpage de la nuit et du jour en douze heures basé sur le décan en Égypte antique^[3]), les douze divisions traditionnelles du temps dans une journée en Chine, les douze signes du zodiaque de l'astrologie, les douze signes du zodiaque de l'astrologie chinoise, etc. Il s'utilise encore dans le commerce (douzaine, grosse^[4] pour douze douzaines ou 12²).

Certaines populations (Moyen-Orient, Roumanie, Égypte, etc.) connaissent ce système de longue date en comptant les phalanges de la main en omettant celles du pouce (qui est utilisé pour pointer les phalanges des autres doigts). Ce qui donne bien le chiffre douze, base de cette numération^[5].

L'avantage d'une divisibilité en quotients entiers explique que les systèmes de mesure aient longtemps comporté des sous-multiples en douzièmes (douze pouces dans un pied, douze pence dans un shilling, douze deniers dans un sou, douze pièces dans une douzaine, douze douzaines dans une grosse, douze grosses dans une grande grosse, etc.). À quelques rares exceptions près, dont celle notable des États-Unis d'Amérique, ces systèmes ont été abandonnés partout, au profit du système décimal. Le Royaume-Uni a, par exemple, adopté la décimalisation de sa monnaie, la livre sterling, en 1971.

Notation

Le système do-gro-mo


Duodécimal	Nom	Décimal
0.001	emo (grande grossième)	0.000578703703... (12^-3)
0.01	egro (grossième)	0.0069444... (12^-2)
0.1	edo (douzième)	0.08333... (12^-1)
1	un (unité)	1 (12⁰)
10	do (douzaine)	12 (12¹)
100	gro (grosse)	144 (12²)
1,000	mo (grande grosse)	1,728 (12³)
10,000	do-mo	20,736 (12⁴)
100,000	gro-mo	248,832 (12⁵)
1,000,000	bi-mo	2,985,984 (12⁶)
10,000,000	do-bi-mo	35,831,808 (12⁷)
100,000,000	gro-bi-mo	429,981,696 (12⁸)
1,000,000,000	tri-mo	5,159,780,352 (12⁹)
10,000,000,000	do-tri-mo	61,917,364,224 (12¹⁰)
100,000,000,000	gro-tri-mo	743,008,370,688 (12¹¹)
1,000,000,000,000	quad-mo	8,916,100,448,256 (12¹²)
10,000,000,000,000	do-quad-mo	106,993,205,379,072 (12¹³)
100,000,000,000,000	gro-quad-mo	1,283,918,464,548,864 (12¹⁴)
1,000,000,000,000,000	penta-mo	15,407,021,574,586,368 (12¹⁵)
10,000,000,000,000,000	do-penta-mo	184,884,258,895,036,416 (12¹⁶)
100,000,000,000,000,000	gro-penta-mo	2,218,611,106,740,436,992 (12¹⁷)
1,000,000,000,000,000,000	hexa-mo	26,623,333,280,885,243,904 (12¹⁸)
10,000,000,000,000,000,000	do-hexa-mo	319,479,999,370,622,926,848 (12¹⁹)
100,000,000,000,000,000,000	gro-hexa-mo	3,833,759,992,447,475,122,176 (12²⁰)
1,000,000,000,000,000,000,000	hepta-mo	46,005,119,909,369,701,466,112 (12²¹)
10,000,000,000,000,000,000,000	do-hepta-mo	552,061,438,912,436,417,593,344 (12²²)
100,000,000,000,000,000,000,000	gro-hepta-mo	6,624,737,266,949,237,011,120,128 (12²³)
1,000,000,000,000,000,000,000,000	octa-mo	79,496,847,203,390,844,133,441,536 (12²⁴)
10,000,000,000,000,000,000,000,000	do-octa-mo	953,962,166,440,690,129,601,298,432 (12²⁵)
100,000,000,000,000,000,000,000,000	gro-octa-mo	11,447,545,997,288,281,555,215,581,184 (12²⁶)
1,000,000,000,000,000,000,000,000,000	ennea-mo	137,370,551,967,459,378,662,586,974,208 (12²⁷)
10,000,000,000,000,000,000,000,000,000	do-ennea-mo	1,648,446,623,609,512,543,951,043,690,496 (12²⁸)
100,000,000,000,000,000,000,000,000,000	gro-ennea-mo	19,781,359,483,314,150,527,412,524,285,952 (12²⁹)
1,000,000,000,000,000,000,000,000,000,000	dek-mo	237,376,313,799,769,806,328,950,291,431,424 (12³⁰)
10,000,000,000,000,000,000,000,000,000,000	do-dek-mo	2,848,515,765,597,237,675,947,403,497,177,088 (12³¹)
100,000,000,000,000,000,000,000,000,000,000	gro-dek-mo	34,182,189,187,166,852,111,368,841,966,125,056 (12³²)
1,000,000,000,000,000,000,000,000,000,000,000	el-mo	410,186,270,246,002,225,336,426,103,593,500,672 (12³³)
10,000,000,000,000,000,000,000,000,000,000,000	do-el-mo	4,922,235,242,952,026,704,037,113,243,122,008,064 (12³⁴)
100,000,000,000,000,000,000,000,000,000,000,000	gro-el-mo	59,066,822,915,424,320,448,445,358,917,464,096,768 (12³⁵)
1,000,000,000,000,000,000,000,000,000,000,000,000	dodeca-mo	708,801,874,985,091,845,381,344,307,009,569,161,216 (12³⁶)
10,000,000,000,000,000,000,000,000,000,000,000,000	do-dodeca-mo	8,505,622,499,821,102,144,576,131,684,114,829,934,592 (12³⁷)
100,000,000,000,000,000,000,000,000,000,000,000,000	gro-dodeca-mo	102,067,469,997,853,225,734,913,580,209,377,959,215,104 (12³⁸)

Exemples de notations^[6]:

12₁₂ = 14₁₀ (en effet, 1᛫12¹ + 2᛫12⁰)
26₁₂ = 30₁₀ (en effet, 2᛫12¹ + 6᛫12⁰)
30₁₂ = 36₁₀ = 100₆ (en effet, 3᛫12¹ + 0᛫12⁰)
50₁₂ = 60₁₀ (en effet, 5᛫12¹ + 0᛫12⁰)
69₁₂ = 81₁₀ (en effet, 6᛫12¹ + 9᛫12⁰)
76₁₂ = 90₁₀ (en effet, 7᛫12¹ + 6᛫12⁰)
85₁₂ = 101₁₀ (en effet, 8᛫12¹ + 5᛫12⁰)
100₁₂ = 144₁₀ (en effet, 1᛫12² + 0᛫12¹ + 0᛫12⁰)
160₁₂ = 216₁₀ = 1000₆ (en effet, 1᛫12² + 6᛫12¹ + 0᛫12⁰)
1A6₁₂ = 270₁₀ (en effet, 1᛫12² + 10᛫12¹ + 6᛫12⁰)
265₁₂ = 365₁₀ (en effet, 2᛫12² + 6᛫12¹ + 5᛫12⁰)
294₁₂ = 400₁₀ = 100₂₀ (en effet, 2᛫12² + 9᛫12¹ + 4᛫12⁰)
400₁₂ = 576₁₀ (en effet, 4᛫12² + 0᛫12¹ + 0᛫12⁰)
576₁₂ = 810₁₀ (en effet, 5᛫12² + 7᛫12¹ + 6᛫12⁰)
6B4₁₂ = 1000₁₀ (en effet, 6᛫12² + 11᛫12¹ + 4᛫12⁰)
900₁₂ = 1296₁₀ = 10000₆ (en effet, 9᛫12² + 0᛫12¹ + 0᛫12⁰)
1000₁₂ = 1728₁₀ (en effet, 1᛫12³ + 0᛫12² + 0᛫12¹ + 0᛫12⁰)
11A8₁₂ = 2000₁₀ (en effet, 1᛫12³ + 1᛫12² + 10᛫12¹ + 8᛫12⁰)
2454₁₂ = 4096₁₀ = 1000₁₆ (en effet, 2᛫12³ + 4᛫12² + 5᛫12¹ + 4᛫12⁰)
3969₁₂ = 6561₁₀ = 10000₉ (en effet, 3᛫12³ + 9᛫12² + 6᛫12¹ + 9᛫12⁰)
4600₁₂ = 7776₁₀ = 100000₆ (en effet, 4᛫12³ + 6᛫12² + 0᛫12¹ + 0᛫12⁰)
4768₁₂ = 8000₁₀ = 1000₂₀ (en effet, 4᛫12³ + 7᛫12² + 6᛫12¹ + 8᛫12⁰)
5000₁₂ = 8640₁₀ (en effet, 5᛫12³ + 0᛫12² + 0᛫12¹ + 0᛫12⁰)
789A₁₂ = 13366₁₀ (en effet, 7᛫12³ + 8᛫12² + 9᛫12¹ + 10᛫12⁰)
10000₁₂ = 20736₁₀ (en effet, 1᛫12⁴ + 0᛫12³ + 0᛫12² + 0᛫12¹ + 0᛫12⁰)
23000₁₂ = 46656₁₀ = 1000000₆ (en effet, 2᛫12⁴ + 3᛫12³ + 0᛫12² + 0᛫12¹ + 0᛫12⁰)

Exemples d'opérations arithmétiques
Sénaire (Base 6)	Décimal (Base 10)	Duodécimal (Base 12)	Vicésimal (Base 20)
140 + 50 = 230	60 + 30 = 90	50 + 26 = 76	30 + 1A = 4A
3430 - 213 = 3213	810 - 81 = 729	576 - 69 = 509	20A - 41 = 1G9
13132 - 140 = 12552	2000 - 60 = 1940	11A8 - 50 = 1158	500 - 30 = 4H0
1130 ᛫ 52 = 104000	270 ᛫ 32 = 8640	1A6 ᛫ 28 = 5000	DA ᛫ 1C = 11C0
2400 / 13 = 144	576 / 9 = 64	400 / 9 = 54	18G / 9 = 34
3430 / 13 = 230	810 / 9 = 90	576 / 9 = 76	20A / 9 = 4A
2²⁰ = 30544	2¹² = 4096	2¹⁰ = 2454	2^C = A4G

Décomposition en facteurs de nombres premiers

En sénaire : 10 = 2᛫3
En décimal : 10 = 2᛫5
En duodécimal : 10 = 4᛫3 = 2²᛫3
En vicésimal : 10 = 4᛫5 = 2²᛫5

Puissances de douze en notation duodécimale
Exposant	Duodécimal	Équivalent en sénaire	Équivalent en décimal	Équivalent en vicésimal
-3	0.001	0.000043	1/1728 (0.000578703703...)	1/468 (0.004CBH0EG5JA782K53E19CBH0EG5JA782K53E19...)
-2	0.01	0.0013	1/144 (0.006944...)	1/74 (0.02FB248HFB248H...)
-1	0.1	0.03	1/12 (0.0833...)	1/C (0.1D6D6...)
0	1	1	1	1
1	douze (ou une douzaine) : 10	20	12	C
2	une grosse : 100	20² = 400	12² = 144	C² = 74
3	une grande grosse : 1,000	20³ = 12,000	12³ = 1,728	C³ = 468
4	douze grandes grosses : 10,000	20⁴ = 240,000	12⁴ = 20,736	C⁴ = 2,BGG
5	100,000	20⁵ = 5,200,000	12⁵ = 248,832	C⁵ = 1B,21C
6	1,000,000	20¹⁰ = 144,000,000	12⁶ = 2,985,984	C⁶ = ID,4J4
7	10,000,000	20¹¹ = 3,320,000,000	12⁷ = 35,831,808	C⁷ = B3I,JA8
8	100,000,000	20¹² = 110,400,000,000	12⁸ = 429,981,696	C⁸ = 6 E77,E4G
9	1,000,000,000	20¹³ = 2,212,000,000,000	12⁹ = 5,159,780,352	C⁹ = 40 C8C,AHC
A	10,000,000,000	20¹⁴ = 44,240,000,000,000	12¹⁰ = 61,917,364,224	C^A = 287,93A,AB4
B	100,000,000,000	20¹⁵ = 1,325,200,000,000,000	12¹¹ = 743,008,370,688	C^B = 1,909,A26,6E8
10	1,000,000,000,000	20²⁰ = 30,544,000,000,000,000	12¹² = 8,916,100,448,256	C^C = H,85E,17G,0CG

Fractions

1/2 = 0.6
1/3 = 0.4
1/4 = 0.3
1/6 = 0.2
1/8 = 0.16
1/9 = 0.14
1/10 = 0.1

D'autres s'expriment de manière plus compliquée (A = dix, B = onze) :

1/5 = 0.24972497 avec chiffres périodiques (nombre que l'on peut arrondir à 0.25)
1/7 = 0.186A35186A35 avec chiffres périodiques (nombre que l'on peut arrondir à 0.187)
1/A = 0.124972497 avec chiffres périodiques (nombre que l'on peut arrondir à 0.125)
1/B = 0.11 avec chiffres périodiques

Quelle que soit la base utilisée, une fraction irréductible peut s'exprimer en numération de position avec un nombre fini de chiffres si et seulement si tous les facteurs premiers du dénominateur sont des diviseurs de cette base.

Autres fractions :

2/3 = 0.8
3/4 = 0.9
2/5 = 0.49274927…
3/5 = 0.72497249…
4/5 = 0.97249724…
5/6 = 0.A
2/7 = 0.35186A35186A
3/7 = 0.5186A35186A3
4/7 = 0.6A35186A3518
5/7 = 0.86A35186A351
6/7 = 0.A35186A35186
3/8 = 0.46
5/8 = 0.76
7/8 = 0.A6
2/9 = 0.28
4/9 = 0.54
5/9 = 0.68
7/9 = 0.94
8/9 = 0.A8
3/A = 0.372497249
7/A = 0.849724972
9/A = 0.A97249724
2/B = 0.22
3/B = 0.33
4/B = 0.44
5/B = 0.55
6/B = 0.66
7/B = 0.77
8/B = 0.88
9/B = 0.99
A/B = 0.AA
5/10 = 0.5
7/10 = 0.7
B/10 = 0.B

En base 12, les fractions ayant pour dénominateur 5 (sauf si le numérateur est un multiple de 5) sont similaires à celles ayant pour dénominateur 7 en base 10 : chaque résultat est un mélange de chiffres (en base 12 : 2, 4, 7 et 9 | en base 10 : 1, 2, 4, 5, 7 et 8).

Exemple de calcul

Décimal - Division par trois
- Décimal : 100/3 = 33.33…
- Duodécimal : 84/3 = 29.4
Hexadécimal - Division par trois
- Hexadécimal : 100/3 = 55.55…
- Duodécimal : 194/3 = 71.4
Décimal - Division par neuf
- Décimal : 100/9 = 11.11…
- Duodécimal : 84/9 = B.14
Hexadécimal - Division par neuf
- Hexadécimal : 100/9 = 1C.71C71C…
- Duodécimal : 194/9 = 24.54

Fractions équivalentes en duodécimal et en sénaire
Fraction décimale	Fraction duodécimale	Fraction sénaire	Écriture duodécimale	Écriture sénaire
1/2	1/2	1/2	0.6	0.3
1/3	1/3	1/3	0.4	0.2
1/4	1/4	1/4	0.3	0.13
1/5	1/5	1/5	0.24972497…	0.1111…
1/6	1/6	1/10	0.2	0.1
1/7	1/7	1/11	0.186A35186A35…	0.0505…
1/8	1/8	1/12	0.16	0.043
1/9	1/9	1/13	0.14	0.04
1/10	1/A	1/14	0.124972497…	0.0333…
1/11	1/B	1/15	0.1111…	0.0313452421…
1/12	1/10	1/20	0.1	0.03
1/16	1/14	1/24	0.09	0.0213
1/18	1/16	1/30	0.08	0.02
1/24	1/20	1/40	0.06	0.013
1/27	1/23	1/43	0.054	0.012
1/32	1/28	1/52	0.046	0.01043
1/36	1/30	1/100	0.04	0.01
1/48	1/40	1/120	0.03	0.0043
1/54	1/46	1/130	0.028	0.004
1/64	1/54	1/144	0.023	0.003213
1/72	1/60	1/200	0.02	0.003
1/81	1/69	1/213	0.0194	0.0024
1/96	1/80	1/240	0.016	0.00213
1/108	1/90	1/300	0.014	0.002
1/128	1/A8	1/332	0.0116	0.0014043
1/144	1/100	1/400	0.01	0.0013
1/162	1/116	1/430	0.00A8	0.0012
1/192	1/140	1/520	0.009	0.001043
1/216	1/160	1/1000	0.008	0.001
1/243	1/183	1/1043	0.00714	0.00052
1/256	1/194	1/1104	0.0069	0.00050213
1/288	1/200	1/1200	0.006	0.00043
1/324	1/230	1/1300	0.0054	0.0004
1/432	1/300	1/2000	0.004	0.0003
1/486	1/346	1/2130	0.00368	0.00024
1/512	1/368	1/2212	0.00346	0.000231043
1/576	1/400	1/2400	0.003	0.000213
1/648	1/460	1/3000	0.0028	0.0002
1/729	1/509	1/3213	0.002454	0.000144
1/864	1/600	1/4000	0.002	0.00013
1/972	1/690	1/4300	0.00194	0.00012
1/1152	1/800	1/5200	0.0016	0.0001043
1/1296	1/900	1/10000	0.0014	0.0001
1/1458	1/A16	1/10430	0.001228	0.000052
1/1728	1/1000	1/12000	0.001	0.000043
1/1944	1/1160	1/13000	0.000A8	0.00004
1/2187	1/1323	1/14043	0.0009594	0.0000332
1/4096	1/2454	1/30544	0.000509	0.000015220213
1/5832	1/3460	1/43000	0.000368	0.000012
1/6561	1/3969	1/50213	0.00031B14	0.00001104

Différence entre décimal et sénaire

La différence entre le nombre duodécimal et le nombre "décimal ou sénaire" est que 10 comprend 2 à la 2^e puissance. Des phénomènes similaires se produisent également en vicésimal et octodécimal.

En décimal (= 2 ᛫ 5), les fractions dont les dénominateurs sont constitués de multiples de 2 ou 5 ont une représentation finie :

1/8 = 1/2³

1/20 = 1/(2²᛫5)

et

1/500 = 1/(2²᛫5³)

peuvent être exprimées exactement avec un nombre fini de chiffres après la virgule (0.125, 0.05 et 0.002 respectivement).

Cependant, 1/3 et 1/7 donnent les répétitions 0.33... et 0.142857142857...

En sénaire (= 2 ᛫ 3), les fractions dont les dénominateurs sont constitués de multiples de 2 ou 3 ont une représentation finie :

1/12 = 1/(2²᛫3)

1/20 = 1/(2²᛫5)

et

1/300 = 1/(2²᛫3᛫5²)

peuvent être exprimées exactement avec un nombre fini de chiffres après la virgule (0.043, 0.03 et 0.002 respectivement).

Cependant,

${\frac {1}{5}}$ et ${\frac {1}{11}}$

donnent les répétitions 0.11... et 0.0505...

En duodécimal (= 2 ᛫ 2 ᛫ 3), comme en sénaire, les fractions dont les dénominateurs sont constitués de multiples de 2 ou 3 ont une représentation finie :

1/8 s'exprime exactement avec un nombre fini de chiffres après la virgule : 0.16.

1/18 (décimal : 1/20) et 1/358 (décimal : 1/500) nécessitent une répétition périodique de chiffres après la virgule car leurs dénominateurs incluent 5 dans leur décomposition ;

1/3, 1/10 (sénaire : 1/20) et 1/90 (sénaire : 1/300) s'expriment exactement avec un nombre fini de chiffres après la virgule (0.4, 0.1 et 0.014 respectivement).

1/7 nécessite une répétition périodique de chiffres après la virgule, comme en décimal et en sénaire.

On peut argumenter que les facteurs de 3 sont plus facilement rencontrés dans la vraie vie que ceux de 5 lors des divisions. Mais en pratique, la gêne occasionnée par la périodicité des fractions est moins courante lorsque le système duodécimal est utilisé.

Cela est particulièrement vrai dans les calculs financiers, lorsque les douze mois de l'année entrent en ligne de compte dans les calculs. Bien que 1/3 et 1/9 soient divisibles, le système duodécimal est moins pratique que le sénaire lorsque nous divisons par de grandes puissances de trois. Par exemple, le chiffre approximatif annuel (2/3⁶, 2/3213 sénaire ou 2/509 duodécimal) est 0.000332 en sénaire (332/1,000,000 → 332 = 2¹¹, en sénaire), mais 0.0048A8 en duodécimal (101,532/144,000,000 → 101,532 = 2²¹ en sénaire = 2¹¹ en duodécimal).

Plaidoyer pour le dozénalisme

Il existe deux organismes : la Dozenal Society of America (DSA) et la Dozenal Society of Great Britain (DSGB) qui font la promotion du système dozénal en affirmant qu'un système en base douze est meilleur que le système décimal tant du point de vue mathématique que pour les questions pratiques. En effet 2, 3, 4, 6 sont des diviseurs de douze, ce qui facilite la mise en fraction. Comparé aux diviseurs 2 et 5 du système décimal, le système duodécimal offre plus de possibilités.

Un temps dozénal (ou duodécimal) et son horloge^[7] ont également été proposés.

Notes

↑ Outre sa signification numérique, le terme duodecim est une métonymie utilisée pour désigner la Loi des douze tables, le fondement du droit romain.
↑ Dictionnaire Gaffiot, p. 569.
↑ Jean-Pierre Verdet, Histoire de l'astronomie ancienne et classique, Presses universitaires de France, 1998, p. 16.
↑ Grosse sur le wiktionnaire.
↑ Dirk Huylebrouck, Afrique et Mathématiques, Asp, Vubpress, Upa, 2008, p. 67
↑ Notations malheureuses puisque dans « 12₁₂ », les deux nombres notés 12 ont des sens différents ! Le premier vaut quatorze et le deuxième, douze.
↑ « Dozenal clock », sur Dozenal society.

Liens

(en) Karl Pentzlin, Proposal to encode Duodecimal Digit Forms in the UCS, 30 mars 2013 (lire en ligne)
(en) dozenal.org
(en) dozenalsociety.org.uk

Portail des mathématiques

[1] Outre sa signification numérique, le terme duodecim est une métonymie utilisée pour désigner la Loi des douze tables, le fondement du droit romain.

[2] Dictionnaire Gaffiot, p. 569.

[3] Jean-Pierre Verdet, Histoire de l'astronomie ancienne et classique, Presses universitaires de France, 1998, p. 16.

[4] Grosse sur le wiktionnaire.

[5] Dirk Huylebrouck, Afrique et Mathématiques, Asp, Vubpress, Upa, 2008, p. 67

[6] Notations malheureuses puisque dans « 12₁₂ », les deux nombres notés 12 ont des sens différents ! Le premier vaut quatorze et le deuxième, douze.

[7] « Dozenal clock », sur Dozenal society.

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v · m Base de numération positionnelle
1 à 9	unaire (1), binaire (2), ternaire (3), quaternaire (4), quinaire (5), sénaire (6), septénaire (7), octal (8), nonaire (9)
10 à 60	décimal (10), undécimal (11), duodécimal (12), tridécimal (13), quindécimal (15), hexadécimal (16), octodécimal (18), vicésimal (20), base 36, sexagésimal (60)
Autre base	base d'or (φ), mixte, négabinaire (–2), négaternaire (-3), bases complexes (en) : quater-imaginaire (2 $i$ )
Notions	base chiffre nombre notation positionnelle numération système bibi-binaire