Relations entre coefficients et racines

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Un polynôme de degré sur un corps s'écrit sous sa forme la plus générale :

est appelé coefficient de . Si est scindé, on peut aussi le définir grâce à ses racines, c'est-à-dire l'ensemble des valeurs de qui annulent [1]. Ainsi, le théorème de d'Alembert-Gauss garantit que tout polynôme de degré à coefficients complexes admet exactement racines sur , éventuellement multiples (sur en revanche, ce n'est pas toujours vrai). Il en résulte qu'un polynôme à coefficients complexes peut se réécrire :

,

avec les racines de , éventuellement multiples. Les relations entre les coefficients et les racines portent le nom de François Viète, le premier à les avoir énoncées dans le cas de racines positives.

Relations de Viète[modifier | modifier le code]

Polynômes symétriques[modifier | modifier le code]

Article détaillé : Polynôme symétrique.

On définit le -ième polynôme symétrique, noté , comme la somme de ses éléments multipliés fois. Par exemple, les polynômes symétriques associés aux variables , , et sont :

,
,
,
.

Plus généralement,

,
,
,
.

Théorème[modifier | modifier le code]

Soient un polynôme scindé de degré et ses racines, éventuellement multiples. Alors,

.

Ces relations se prouvent en développant le produit , et en identifiant les coefficients du développement (qui s'expriment à partir des polynômes symétriques des racines) avec les coefficients de .

Exemples[modifier | modifier le code]

  • Cas . Soient et ses racines. Alors,
    ,
    .
  • Cas . Soient et ses racines. Alors,
    ,
    ,
    .

Sommes de Newton[modifier | modifier le code]

Article détaillé : Identités de Newton.

Exemple introductif[modifier | modifier le code]

On se donne le polynôme avec , , ses racines. On veut déterminer la somme . Pour cela, on dispose de l'identité suivante :

,

si bien que, d'après les relations de Viète :

.

Théorème[modifier | modifier le code]

Les sommes de Newton sont une généralisation de ce principe. On pose , où les sont les racines de (en particulier, ). La méthode présentée dans l'exemple se généralise, mais les calculs deviennent compliqués. On peut par contre démontrer directement[2] que, pour  :

,
,
,
.

Continuité des racines[modifier | modifier le code]

En raison de leur expression polynomiale, les coefficients d'un polynôme à coefficients complexes sont des fonctions continues de ses racines. La réciproque est vraie mais plus délicate à prouver. Considérons l'application définie par :

où les sont les polynômes symétriques élémentaires définis à partir de . donne la liste des coefficients du polynôme unitaire (hormis le coefficient dominant égal à 1). D'après le théorème de d'Alembert, cette application est surjective. F est continue puisque les coefficients du polynôme sont des fonctions continues des racines. La factorisation canonique de F conduit à introduire la relation d'équivalence suivante sur l'ensemble de départ de F :

est le groupe symétrique sur l'ensemble des indices. Notons l'ensemble quotient. Munissons cet ensemble de la topologie quotient. F se factorise sous la forme , où est la projection canonique de sur , et l'application de dans qui, à une classe d'équivalence représentée par associe la suite des polynômes symétriques élémentaires correspondants. On peut alors montrer que est un homéomorphisme entre l'ensemble des racines du polynôme à permutation près et l'ensemble des coefficients du polynôme[3].

Article connexe[modifier | modifier le code]

Note et référence[modifier | modifier le code]

  1. Si n'est pas scindé, il suffit de se placer sur la clôture algébrique de pour qu'il le devienne.
  2. Pellet, « Expression de la somme des puissances semblables des racines d'une équation, en fonction des coefficients », Nouvelles annales de mathématiques, 2e série, vol. 14,‎ , p. 259-265 (lire en ligne).
  3. Vincent Pilaud, « Continuité des racines d’un polynôme », (consulté le 11 avril 2018)