Relations entre coefficients et racines

portrait de François Viète.

Un polynôme $P$ de degré $n$ sur un corps K s'écrit sous sa forme la plus générale :

$P=a_{n}X^{n}+a_{n-1}X^{n-1}+\cdots +a_{0}\,$

où $a_{i}$ est appelé coefficient de $x^{i}$.

Si $P$ est scindé, on peut aussi le définir grâce à ses racines, c'est-à-dire l'ensemble des valeurs de $x$ qui annulent $P$. Ainsi, le théorème de d'Alembert-Gauss garantit que tout polynôme de degré $n$ à coefficients complexes admet exactement $n$ racines sur $\mathbb {C}$, éventuellement multiples (sur $\mathbb {R}$ en revanche, ce n'est pas toujours vrai). Il en résulte qu'un polynôme $P$ à coefficients complexes peut se réécrire :

$P=a_{n}(X-x_{1})(X-x_{2})\cdots (X-x_{n})$,

avec $x_{i}$ les racines de $P$, éventuellement multiples. Les relations entre les coefficients et les racines portent le nom de François Viète, le premier à les avoir énoncées dans le cas de racines positives.

Relations de Viète

Polynômes symétriques

On définit le $k$-ième polynôme symétrique à $n$ indéterminées, noté $\sigma _{k}$, comme la somme de tous les produits à $k$ facteurs de ses indéterminées. (Il y a ${n \choose k}$ tels produits possibles.) Par exemple, les polynômes symétriques associés aux indéterminées $w$, $x$, $y$ et $z$ sont :

$\sigma _{0}=1$,

$\sigma _{1}=w+x+y+z$,

$\sigma _{2}=wx+wy+wz+xy+xz+yz$,

$\sigma _{3}=wxy+wyz+xyz+xzw$,

$\sigma _{4}=wxyz$.

Plus généralement, en considérant les polynômes symétriques $\sigma _{1}\cdots \sigma _{n}$ à $n$ indéterminées,

$\sigma _{0}(x_{1},\cdots x_{n})=1$,

$\sigma _{1}(x_{1},\cdots x_{n})=\sum _{i=1}^{n}x_{i}$,

$\sigma _{2}(x_{1},\cdots x_{n})=\sum _{1\leq i<j\leq n}x_{i}x_{j}$,

$\vdots$

$\sigma _{k}(x_{1},\cdots x_{n})=\sum _{1\leq i_{1}<\cdots <i_{k}\leq n}x_{i_{1}}x_{i_{2}}\ldots x_{i_{k}}$,

$\vdots$

$\sigma _{n}(x_{1},\cdots x_{n})=x_{1}x_{2}\ldots x_{n}$.

Théorème

Soient $P=\Sigma _{j=0}^{n}a_{j}X^{j}$ un polynôme scindé de degré $n$ et $x_{1},\dots ,x_{n}$ ses $n$ racines (les racines multiples étant comptées plusieurs fois). Alors pour tout $k\in [[0;n]]$,

$\sigma _{k}(x_{1},\dots ,x_{n})=(-1)^{k}{\frac {a_{n-k}}{a_{n}}}$

ce qui peut encore s'écrire

$a_{k}=a_{n}(-1)^{n-k}\sigma _{n-k}(x_{1},\dots ,x_{n})$

Ces relations se prouvent en développant le produit $P=a_{n}(X-x_{1})(X-x_{2})\cdots (X-x_{n})$, et en identifiant les coefficients du développement (qui s'expriment à partir des polynômes symétriques des racines) avec les coefficients de $P=a_{n}X^{n}+a_{n-1}X^{n-1}+\cdots +a_{0}$.

Exemples

• Cas $n=2$. Soient $P=aX^{2}+bX+c$ et $x_{1},x_{2}$ ses racines. Alors,

  $x_{1}+x_{2}=-{\frac {b}{a}}$,

  $x_{1}x_{2}={\frac {c}{a}}$.

• Cas $n=3$. Soient $P=aX^{3}+bX^{2}+cX+d$ et $x_{1},x_{2},x_{3}$ ses racines. Alors,

  $x_{1}+x_{2}+x_{3}=-{\frac {b}{a}}$,

  $x_{1}x_{2}+x_{1}x_{3}+x_{2}x_{3}={\frac {c}{a}}$,

  $x_{1}x_{2}x_{3}=-{\frac {d}{a}}$.

Sommes de Newton

Exemple introductif

On se donne le polynôme $P=X^{3}+2X^{2}+3X+4$ avec $a$, $b$, $c$ ses racines. On veut déterminer la somme $a^{2}+b^{2}+c^{2}$. Pour cela, on dispose de l'identité suivante :

$a^{2}+b^{2}+c^{2}=(a+b+c)^{2}-2(ab+ac+bc)$,

si bien que, d'après les relations de Viète :

$a^{2}+b^{2}+c^{2}=(-2)^{2}-2\cdot 3=-2$.

Théorème

Les sommes de Newton sont une généralisation de ce principe. On pose $s_{k}=x_{1}^{k}+\cdots +x_{n}^{k}$, où les $x_{i}$ sont les racines de $P=a_{n}X^{n}+a_{n-1}X^{n-1}+\ldots +a_{0}$ (en particulier, $s_{0}=n$). La méthode présentée dans l'exemple se généralise, mais les calculs deviennent compliqués. On peut par contre démontrer directement que, pour $d\leq n$ :

$a_{n}s_{1}+a_{n-1}=0$,

$a_{n}s_{2}+a_{n-1}s_{1}+2a_{n-2}=0$,

$a_{n}s_{3}+a_{n-1}s_{2}+a_{n-2}s_{1}+3a_{n-3}=0$,

$\vdots$

$a_{n}s_{d}+a_{n-1}s_{d-1}+\ldots +a_{n-d+1}s_{1}+da_{n-d}=0$.

Continuité des racines

En raison de leur expression polynomiale, les coefficients d'un polynôme à coefficients complexes sont des fonctions continues de ses racines. La réciproque est vraie mais plus délicate à prouver. Considérons l'application $F:\mathbb {C} ^{n}\to \mathbb {C} ^{n}$ définie par :

$F(z_{1},\dots ,z_{n})=(-\sigma _{1},\sigma _{2},\dots ,(-1)^{n}\sigma _{n})$

où les $\sigma _{i}$ sont les polynômes symétriques élémentaires définis à partir de $(z_{1},\dots ,z_{n})$. $F(z_{1},\dots ,z_{n})$ donne la liste des coefficients du polynôme unitaire $(X-z_{1})\cdots (X-z_{n})$ (hormis le coefficient dominant égal à 1). D'après le théorème de d'Alembert, cette application est surjective. $F$ est continue puisque les coefficients du polynôme sont des fonctions continues des racines. La factorisation canonique de $F$ conduit à introduire la relation d'équivalence suivante sur l'ensemble de départ $\mathbb {C} ^{n}$ de $F$ :

$(z_{1},\dots ,z_{n}){\mathcal {R}}(z_{1}',\dots ,z_{n}')\iff F(z_{1},\dots ,z_{n})=F(z_{1}',\dots ,z_{n}')\iff \exists \varphi \in {\mathfrak {S}}_{n},\forall i,z_{i}'=z_{\varphi (i)}$

où ${\mathfrak {S}}_{n}$ est le groupe symétrique sur l'ensemble $\{i,\dots ,n\}$ des indices. Notons $\mathbb {C} ^{n}/{\mathfrak {S}}_{n}$ l'ensemble quotient. Munissons cet ensemble de la topologie quotient. $F$ se factorise sous la forme ${\overline {F}}\circ \pi$, où $\pi$ est la projection canonique de $\mathbb {C} ^{n}$ sur $\mathbb {C} ^{n}/{\mathfrak {S}}_{n}$, et ${\overline {F}}$ l'application de $\mathbb {C} ^{n}/{\mathfrak {S}}_{n}$ dans $\mathbb {C} ^{n}$ qui, à une classe d'équivalence représentée par $(z_{1}\cdots ,z_{n})$ associe la suite des polynômes symétriques élémentaires correspondants. On peut alors montrer que ${\overline {F}}$ est un homéomorphisme entre l'ensemble $\mathbb {C} ^{n}/{\mathfrak {S}}_{n}$ des racines du polynôme à permutation près et l'ensemble $\mathbb {C} ^{n}$ des coefficients du polynôme.

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