Relations entre coefficients et racines

Un article de Wikipédia, l'encyclopédie libre.
Aller à : navigation, rechercher
 Formules de Viète redirige ici. Pour la formule sur le nombre π, voir Formule de Viète (en).

Un polynôme de degré s'écrit sous sa forme la plus générale :

est appelé coefficient de . On peut aussi définir grâce à ses racines, c'est-à-dire l'ensemble des valeurs de qui annulent . Le théorème de d'Alembert-Gauss nous assure que tout polynôme de degré admet exactement racines sur , éventuellement multiples (sur en revanche, ce n'est pas toujours vrai). On montre que peut se réécrire :

avec les racines de , éventuellement multiples. Les relations entre les coefficients et les racines portent le nom de François Viète, le premier à les avoir énoncées dans le cas de racines positives.

Relations de Viète[modifier | modifier le code]

Polynômes symétriques[modifier | modifier le code]

Article détaillé : Polynôme symétrique.

On définit le -ième polynôme symétrique, noté , comme la somme de ses éléments multipliés fois. Par exemple, les polynômes symétriques associés aux variables , , et sont :

Plus généralement,

Théorème[modifier | modifier le code]

Soient un polynôme défini comme ci-dessus et les racines de , éventuellement multiples. Nous avons le résultat suivant :

Exemples[modifier | modifier le code]

  • Cas . Soient et ses racines. Alors,
  • Cas . Soient et ses racines. Alors,

Sommes de Newton[modifier | modifier le code]

Article détaillé : Identités de Newton.

Exemple introductif[modifier | modifier le code]

On se donne le polynôme avec , , ses racines. On veut déterminer la somme . Pour cela, nous disposons de l'identité suivante :

Si bien que, d'après les relations de Viète :

Théorème[modifier | modifier le code]

Les sommes de Newton sont une généralisation de ce principe. On pose , où les sont les racines de . (En particulier, ). La méthode présentée dans l'exemple se généralise, mais les calculs deviennent compliqués. On peut par contre démontrer directement[1] :

Note et référence[modifier | modifier le code]

  1. Pellet, « Expression de la somme des puissances semblables des racines d'une équation, en fonction des coefficients », Nouvelles annales de mathématiques, 2e série, vol. 14,‎ , p. 259-265 (lire en ligne)