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Théorème d'interversion série-intégrale

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En analyse, divers théorèmes d'interversion série-intégrale donnent des conditions suffisantes d'intégration terme à terme de la somme d'une série de fonctions.

Théorème — Soient (X, 𝒜, μ) un espace mesuré complet (par exemple un intervalle de , muni de la tribu de Lebesgue et de la mesure de Lebesgue), E un espace euclidien (par exemple ℝ ou ) et une suite de fonctions intégrables de X dans E. On suppose que la série numérique converge.

Alors la série de fonctions converge presque partout sur X vers une fonction intégrable et

Remarques
  • Ce théorème se déduit des théorèmes de convergence monotone et dominée. L'intégrabilité de la série et l'interversion de et subsistent sous une hypothèse bien plus faible : il suffit[1] que la série converge presque partout et qu'il existe une fonction intégrable telle que, pour tout entier .
  • C'est un cas particulier des théorèmes de Fubini où une des intégrales se fait par rapport à la mesure de comptage sur .
  • Dans le cas particulier où l'espace mesuré est ℕ muni de la tribu discrète et de la mesure de comptage, on retrouve le théorème d'interversion pour les séries doubles à valeurs dans E, sous l'hypothèse de sommabilité.

Théorème — Soient I un segment de ℝ et une suite de fonctions continues de I dans E.

On suppose que la série de fonctions converge uniformément sur I vers une fonction S.

Alors S est continue sur I et

Référence

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  1. N. Bourbaki, Intégration, chapitres 1 à 4, Springer, (lire en ligne), chap. IV, § 4, p. 144, corollaire 2.

Article connexe

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Interversion série-intégrale pour une série de fonctions positives