Faisceau de droites

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En géométrie projective, un faisceau de droites est un ensemble de droites passant par un point.

En géométrie affine, on distinguera un ensemble de droites parallèles (le point commun est à l'infini) et un ensemble de droites passant par un point.

On peut également définir dans un espace affine de direction , un faisceau d'hyperplan comme une famille d'hyperplans, de rang deux.

Ainsi il existe deux hyperplans et d'équation et tels que tout hyperplan du faisceau ait une équation de la forme On parle alors d'un faisceau de base et .

Dans la géométrie Euclidienne

Cas parallèle

On appelle faisceau impropre de droites le cas dans lequel un faisceau de droites forme un ensemble de droites parallèles soit avec un même coefficient angulaire. Si et ont la même direction ( étant une forme linéaire sur ), il en sera de même de .

Réciproquement, tout hyperplan de direction admet une équation de la forme

En effet, on aura par exemple Mais il existe toujours tel que d'où il résulte .

Cas sécant

On appelle faisceau propre de droites, le cas dans lequel un faisceau de droites forme un ensemble de droites sécantes en un même point. Si les parties linéaires de et ne sont pas proportionnelles, est de dimension n-2. Tout hyperplan contenant appartient alors au faisceau de base .

Soit en effet , , les directions respectives de . Comme , on a

(On peut prouver ce résultat d'algèbre linéaire en considérant l'application qui à associe le triplet ; son noyau est de dimension n-2 donc elle est de rang 2 d'après le théorème du rang. Ainsi sont liés et comme sont indépendants le résultat en découle.)

Cas particuliers

C'est bien entendu le cas des droites parallèles dans le plan, celui des droites passant par un point (défini comme intersection de deux droites qui fournissent alors une base de ce faisceau).

C'est encore le cas des plans parallèles de l'espace ou des plans contenant une droite donnée (définie comme intersection de deux plans qui fournissent une base du faisceau).

Application élémentaire

Soit les droites d'équation et  ; soit leur point d'intersection. Trouver l'équation de la droite passant par et le point .

La droite cherchée appartient au faisceau des droites passant par

Son équation est de la forme Elle passe par si et seulement si . On peut prendre et d'où l'équation cherchée

Dans la géométrie non Euclidienne