Faisceau de droites

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En géométrie projective, un faisceau de droites d'un plan projectif est la famille de toutes les droites passant par un point^[1].

En géométrie affine, on distinguera un ensemble de droites parallèles (le point commun est à l'infini) et un ensemble de droites passant par un point.

On peut également définir dans un espace affine de direction ${\overrightarrow {E}}$ , un faisceau d'hyperplans comme une famille d'hyperplans, de rang deux.

Ainsi il existe deux hyperplans $H_{1}$ et $H_{2}$ d'équation $f_{1}(M)=0$ et $f_{2}(M)=0$ tels que tout hyperplan du faisceau ait une équation de la forme $(\lambda f_{1}+\mu f_{2})(M)=0.$ On parle alors d'un faisceau de base $H_{1}$ et $H_{2}$ .

Dans la géométrie euclidienne[modifier | modifier le code]

Cas parallèle[modifier | modifier le code]

On appelle faisceau impropre de droites le cas dans lequel un faisceau de droites forme un ensemble de droites parallèles soit avec un même coefficient angulaire. Si $H_{1}$ et $H_{2}$ ont la même direction ( $\ker \phi ,\,\,\phi$ étant une forme linéaire sur ${\overrightarrow {E}}$ ), il en sera de même de $H$ .

Réciproquement, tout hyperplan de direction $\ker \phi$ admet une équation de la forme $(\lambda f_{1}+\mu f_{2})(M)=0.$

En effet, on aura par exemple $f_{1}(M)=\phi ({\overrightarrow {OM}})+a,\quad f_{2}(M)=\phi ({\overrightarrow {OM}})+b,\quad f(M)=\phi ({\overrightarrow {OM}})+c$ où $a,b,c\in \mathbb {R} .$ Mais il existe toujours $\lambda \in \mathbb {R}$ tel que $c=\lambda a+(1-\lambda )b$ d'où il résulte $f=\lambda f_{1}+(1-\lambda )f_{2}$ .

Cas sécant[modifier | modifier le code]

On appelle faisceau propre de droites, le cas dans lequel un faisceau de droites forme un ensemble de droites sécantes en un même point. Si les parties linéaires de $f_{1}$ et $f_{2}$ ne sont pas proportionnelles, $H_{1}\cap H_{2}$ est de dimension n-2. Tout hyperplan contenant $H_{1}\cap H_{2}$ appartient alors au faisceau de base $H_{1},H_{2}$ .

Soit en effet $\ker \phi _{1}$ , $\ker \phi _{2}$ , $\ker \phi$ les directions respectives de $H_{1},H_{2},H$ . Comme $\ker \phi _{1}\cap \ker \phi _{2}\subset \ker \phi$ , on a $\phi =\lambda \phi _{1}+\mu \phi _{2}.$

(On peut prouver ce résultat d'algèbre linéaire en considérant l'application qui à $u\in {\overrightarrow {E}}$ associe le triplet $(\phi _{1}(u),\phi _{2}(u),\phi (u))\in \mathbb {R} ^{3}$ ; son noyau est de dimension n-2 donc elle est de rang 2 d'après le théorème du rang. Ainsi $\phi _{1},\phi _{2},\phi$ sont liés et comme $\phi _{1},\phi _{2}$ sont indépendants le résultat en découle.)

Cas particuliers[modifier | modifier le code]

C'est bien entendu le cas des droites parallèles dans le plan, celui des droites passant par un point (défini comme intersection de deux droites qui fournissent alors une base de ce faisceau).

C'est encore le cas des plans parallèles de l'espace ou des plans contenant une droite donnée (définie comme intersection de deux plans qui fournissent une base du faisceau).

Application élémentaire[modifier | modifier le code]

Soient les droites d'équation $2x+3y-1=0$ et $x+2y+2=0$ ; soit $A\,$ leur point d'intersection. Trouver l'équation de la droite passant par $A$ et le point $(1,-2)$ .

La droite cherchée appartient au faisceau des droites passant par $A.$

Son équation est de la forme $\lambda (2x+3y-1)+\mu (x+2y+2)=0.$ Elle passe par $(1,-2)$ si et seulement si $-5\lambda -\mu =0$ . On peut prendre $\lambda =1$ et $\mu =-5$ d'où l'équation cherchée