Mesure sigma-finie

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Soit (X, Σ, μ) un espace mesuré. On dit que la mesure μ est σ-finie lorsqu'il existe un recouvrement dénombrable de X par des sous-ensembles de mesure finie, c'est-à-dire lorsqu'il existe une suite (En)n d'éléments de la tribu Σ, tous de mesure finie, avec

X=\bigcup_{n\in\N}E_n.

Exemples[modifier | modifier le code]

Propriétés[modifier | modifier le code]

  • En remplaçant En par Fn = E0 ∪ … ∪ En, on obtient une suite vérifiant les mêmes propriétés et qui de plus est croissante pour l'inclusion, donc μ(X) = lim μ(Fn).
  • En remplaçant Fn par Gn = Fn\Fn – 1, on obtient une suite vérifiant les mêmes propriétés que (En)n et qui de plus est constituée de parties disjointes, donc μ(X) = ∑n μ(Gn).
  • Si Y est un élément de Σ, la restriction de μ à Y est encore σ-finie.

Usages[modifier | modifier le code]