Mesure sigma-finie

Un article de Wikipédia, l'encyclopédie libre.
Aller à : navigation, rechercher
image illustrant les mathématiques
Cet article est une ébauche concernant les mathématiques.

Vous pouvez partager vos connaissances en l’améliorant (comment ?) selon les recommandations des projets correspondants.

Soit (X, Σ, μ) un espace mesuré. On dit que la mesure μ est σ-finie lorsqu'il existe un recouvrement dénombrable de X par des sous-ensembles de mesure finie, c'est-à-dire lorsqu'il existe une suite (En)n d'éléments de la tribu Σ, tous de mesure finie, avec

Exemples[modifier | modifier le code]

Propriétés[modifier | modifier le code]

  • En remplaçant En par Fn = E0 ∪ … ∪ En, on obtient une suite vérifiant les mêmes propriétés et qui de plus est croissante pour l'inclusion, donc μ(X) = lim μ(Fn).
  • En remplaçant Fn par Gn = Fn\Fn – 1, on obtient une suite vérifiant les mêmes hypothèses que (En)n et qui de plus est constituée de parties disjointes deux à deux, donc μ(X) = ∑n μ(Gn).
  • Si Y est un élément de Σ, la restriction de μ à Y est encore σ-finie.

Usages[modifier | modifier le code]